高中数学选修5习题、章末测试题等复习资料内含多套整理试题资料

1、最新人教版高中数学选修4-5测试题全套及答案第一讲不等式和绝对值不等式一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的）,则An b等于（、31 设集合 A = x|y = log2(4-2x-x2) , B=，x 1x+ 1A . x|- Kx/5- 1x|-3x2x|- 1x1正x3 或正一10可转化为 x2+ 2x 40,解得1 mx1 + p,A= x|-1- yf5x 1可转化为 0, x+ 1x+1解得1x42, .,.B=x|1x2, - A A B = x 1.答案： Ax+ 12.不等式 1的解集为()x- I7A .

2、x|0 x1B , x|0 x1C. x|- 1x0D. x|x0解析：方法一：特值法：显然x=1是不等式的解，故选 D方法二：不等式等价于|x+ 1|x- 1|,即(x+1)2(x1)2,解得 x*b|-b,a?+b24ab3b之，（D ab+ 2 ab TOC o 1-5 h z 恒成立的序号为（）A -B,C.D.解析：言隽=4,即相故不正确，排除A、B; ,ab + W2近2,即正确. j ua ua D答案： D1 1.已知a0, b0,贝U &+6+2m5的取小值是()A . 24解析:B, 27251 12. ab, b0, .-.-+-=,当且仅当a baba = b时取等号,

3、故；+(+20B的最小值为4,故选C.2师R焉+2师段/忘2旃=4当且仅当a=b= 1且焉 =2牺时成立，能取等号,答案： C.设|a|v 1, |b| 2. |a+b|+|a-b|2. |a+b|+|a-b|=2D.不可能比较大小解析： 当(a+b)(a b) 0 时，|a+b|+ |a- b|= |(a+b)+ (a-b)|= 2|a|2,当(a+b)(ab)0 时，|a+b|+ |a- b|= |(a+b)- (a-b)|= 2|b|1, b1.若 ax= by = 3, a+b=2j,则-+ ；的最大值为()3A. 2Bg-C. 1D.2解析： - ax= by= 3， x= log

4、a3, y= 10gb3,.1.11.1.一 + 一= ；-+；= 10g3a+ log 3bx y loga3 10gb3a+ b= log3ablog3V 4 = log33=1,故选 C.答案： C0a2|log + a(1 a)|log(1 a乂1+a)|log0 + a)(1 a)+ 10g(1 a)(1 + a)|log(1 + a)(1 a)| 110ga)(1 + a)|解析： 令a =，代入可排除B、C、D.答案： A TOC o 1-5 h z 8,若实数a, b满足a+b=2,则3a + 3b的最小值是（）A . 18B. 6C. 2小D.43解析：3a+ 3b 2淄专=

5、2j3E =2串=6.答案： B9.已知|a|w|b|, m二|a|一%, n= 1a|： %,则m, n之间的大小关系是（）|a- b| |a+ b|A . m nB . m|a|十|b|n =力=1, m w 1 w n.|a+b|a|+|b|答案： D10.某工厂年产值第二年比第一年增长的百分率为pi,第三年比第二年增长的百分率为P2,第四年比第三年增长的百分率为P3,则年平均增长率 P的最大值为（）3/ P1 + p2+ p3A. pp2P3B. QC P1P2P3D zC + aO;PzO + P3)解析： . (1 + p)3= (1 + P1)(1 + P2)(1 + P3),

6、3 1 P11 p2 1P3 TOC o 1-5 h z -1 + P= (1 + p1 1(1 + P2j1 + P3 尸3,P1 P2 P3pw 3.答案： B11.若 a, b, c0,且 a2+2ab + 2ac+4bc=12,贝U a+b + c 的最小值是()A. 26B. 32D.73解析：a2+2ab + 2ac+4bc=a(a + 2c) + 2b(a+ 2c)= (a+2c)(a+2b)v -(a+2c(a+2b)-221.(a+b + c)212,又 a, b, c0,a+ b+ c 2 3.答案： A12.当0 x4. tan x.、一一 1 一 .一这里tan x0,

7、且tan x=g时取等3.勺、1 + cos 2x+ 8sin2 x 5 3cos 2x方法f(x)=-=-(02x0.答案： C、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上.已知/a3, T=x|ax3, x 23 或 x 25 或 x5 或 x 1.又T=x|axa+ 8 , SU T=R,ra5. 一 3a 1. 1 1 1 1 Q 一-1 0 I 2 3 4 5 收4答案： 3a 1 ,求函数 y=(x+5tx+2屁最小值为.x+ 1解析： x - 1,x+ 10,(x+ 5 fx+ 2 L (x+ 1 广 4fx+1 . 1y=x+1x+1= (x+1)

8、 +5 + x；412 4147 +5=9.当且仅当x+1= -,即x=1时，等号成立.x+ 1 .V的最小值是9.答案： 9.某商品进货价每件 50元，据市场调查，当销售价格（每件x元）在50 xW80时，每天售出的件数510-x40解析：,若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为元.设销售价格定为每件 x元（50 xw 80）,每天获得利润 y元，则:一5 一10 fx50) y=(x50)p=R!105t105t设 x-50=t,贝U 0t30, y= (t+ 10 2= t2+20t+100 _ 5_ 5=0 = 2 500.t+华+20 20 + 20当且仅当 t=10,即 x=6

9、0 时，ymax= 2 500.答案： 60三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. (12 分)已知 30vxv 42,16 y 24,求 x+y, x- 2y,；的取值范围. 解析：30 x 42,16 y 24,-46x+y 66. 16y24,一 48V - 2y v - 32,18V x- 2y10.30 x42,i i- - - - 24 y 16. 5.x 21 一 - 一4 y 8 .a . b(12 分)已知 a, b, x, yCR + , x, y 为变重，a, b 为吊数，且 a+b=10, +-= 1, x+y 的取小

10、值为18,求a, b.解析：x+ y=(x+y) 率x y=a + b+ bx+ay a+ b+ 2 Jab y x=(m+ 通)2,当且仅当拯=ay时取等号. y x又(x+y)min=(4+ 5)2=18,即 a + b + 21ab =18又 a + b= 10a = 2a = 8由可得 或t . b=8b=2（12 分）解不等式 x+1|+|x|2.解析：方法一：利用分类讨论的思想方法.3当 x 一 1 时，一 x 1 x2,斛仔一 2xW 1 ；当一1x0 时，x+ 1 x2,解得一1x0 时，x+1+x2,解得 0Wx2.fr 因此，原不等式的解集为仅|2x 0 )=彳 一 1 (

11、一 1 w x0 -2x-3 x- 1 .作函数f（x）的图象（如图）,知当 f(x)0 时，一|x1,故原不等式的解集为31 I|X|-|X| t方法三：利用数形结合的思想方法.由绝对值的几何意义知，X+ 1|表示数轴上点 P(x)到点A(1)的距离，|x|表示数轴上点 P(x)到点0(0)的距离.由条件知，这两个距离之和小于2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为 、31凶一|x33x 3x 42 2 x|= 3当且仅当3x方法四：利用等价转化的思想方法.原不等式？ 0wx+1|v| |x|,. 仅+1)2 化一|x|)2,且 |x|,即 04|x|3-|x,且 |x|v |. 16x2(3

12、 |x)2,且*.31斛得一| x|.故原不等式的解集为* - 9, x0)的最值. x解析： 由已知x0,4函数y=3x+F的最小值为 xd(m)正比于车速 v(km/h)的平方与s(m),且车速为50 km/h时车距恰为33 9.|1. (1|分)在某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段内的车距车身长s(m)的积，且最小车距不得少于半个车身长，假定车身长均为车身长s,问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此地段的车流量Q最大?解析： 由题意，知车身长 s为常量，车距d为变量.且d=kv2s,把 v=50, d=s代入，得 k= o 1nn,把 d = 1s代入 2 5002d = Tr v

13、2s,彳导v=25啦.所以 2 500f 2s(022 * * 25 2 .1 000v Q =d+s1 000v3(0v25 2.1 s1 +2 500 )当025 2时,Q2 =1 000V_v2 =一s 1 + 2 500 s1 000士 1 000 c 1 vs 2v 2 50025 000即v= 50时，等号成立.即当 v = 50时，Q取得最大值 Qzn或000.因为Q2Q1, s所以车速规定为 50km/h时，该地段的车流量 Q最大.fx x0If(x) (x0)故当02 时，解不等式 1Wx2 4W2,得y5wxw46；综合上述可知原不等式的解集为x|啦WxW 小或y/5V X

14、0-F(x)= -ax2-4 (x0)，mn0 ,则 n0, 1. m n0, 1- m2n2,F(m)+ F(n)= am2+ 4 an2 4=a(m2 n2),所以：当a0时，F(m) + F(n)能大于0,当a2,则下列不等式一定成立的是 ()c cB . lg alg bD.1 1C.bC解析:从已知不等式入手：色小?ab(cw0),其中a, b可异号或其中一个为 0,由此否定 A、B、C,应选D.答案:c 什12右 ab1-0,则下列结论不正确的是2B. ab2D. |a|+|b|a+b|解析:1 b0因为110?a b、a0 且 b0b- a0ab ? ba0.20, b0, y0

15、 , x+ y= 1,5+山的最大值是（）A. 1B.V223C.-D.-解析： x0, y0,1 = x+ y 2xy,1，2vxy，所以 0a1 ,所以 10g2a0.1a b0 所以12a b2所以2a b4, a ba而 ab ab 2 = 4，所以 10g2a + log 2b0, b0,贝U ab”是 “a1b” 成立的()a bA .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .即不充分也不必要条件解析：a- 1- b + 1= a-b + ab =(a- b)|l + .a bab. ab,. a0, b0,ab?(b)i0? ；b可得ab”是a 1b 9成立的充要条件.

16、a b答案： C9.设a0, b0,则以下不等式中不恒成立的是 ()A. (a+b)(+b i!4B. a3+ b32ab2C, a? + b?+2 2a+2bD.|a b | Ta-/b解析： 因为(a + b)%；声 277ab 2、Job = 4,所以 A 正确.a3+b32ab2? (ab)(a2+abb2) 0,但 a, b 大小不确定，所以 B 错误.(a2+b2+ 2)- (2a+2b)=(a-1)2+ (b-1)20,所以 C 正确.4|a- b|afa Vb? /|a b| +Vb Va? bja- b 产0,所以 D 正确.答案： Ba2 b210.设 a, bCR+,且

17、awb, P=1十=，Q=a+b,则()b aPQP010,ab PQ.答案： A.若函数f(x), g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足 f(x)g(x)= ex,则有()A. f(2)f(3)g(0)B. g(0)f(3)f(2)C. f(2)g(0)f(3)D - g(0)f(2)2 x当a = 1时2强=1. 8但当a=2时，2必=4,当然有2x +1所以是充分不必要条件.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上).设 a=y13-质,b=J6 J5, c= V7-乖,则 a, b, c 的大小顺序是 . 解析：用分析法比较，ab?5

18、+乖&+优？ 8+2干58 + 2版，同理可比较得 bc.答案： abc.已知三个不等式：ab0; (2) cad.a b以其中两个作为条件，余下一个作为结论，为 (2)切入，去寻觅它与(1)的联系.解析：运用不等式性质进行推理，从较复杂的分式不等式-cd? c-d0 a b a b a bc bc ad? ab 0? ab (bc ad)0.答案： (1)、(3)? (2); (1)、(2)? (3); (2)、(3)? (1).若 f(n)=n2+ 1 -n, g(n)=n-n2-1, 48) = ，则 f(n), g(n), (f)(n)的大小顺序为 解析： 因为 f(n) = Jn2+

19、 1 - n=,nn2+1 + ng(n)=-g =*21 + n.又因为 n21+n2n n2+1 + n,所以 f(n) &n)(j)(n)f(n)完成反证法整体的全过程.题目：设a1, 82,，a7是1,2,3,，7的一个排列，求证：乘积p= (a1一 1)(a22)-一(a77)为偶数.证明：反设p为奇数，则 均为奇数.因奇数个奇数的和还是奇数，所以有奇数=.=0.但奇数w偶数，这一矛盾说明p为偶数.解析： 反设p为奇数，则(a1-1), (a2 2),，(a77)均为奇数.因为数个奇数的和还是奇数，所以有奇数=(a1 1)+ (a2 2)+ + (a7 7)= (a+ a2+ +a7

20、) (1 + 2+3+ + 7)=0.但奇数w偶数，这一矛盾说明 p为偶数.答案：(a1一1), (a2 2),，(a7- 7)1)+02)+ + (a77)(a+a2+ a7)(1 + 2+3+ 7)三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)(12 分)若 abc,求证：a2b+b2c+c2aa2c+b2a+c2b.证明： abc, a b0 , b c0, a c0,于是：a2b+b2c+c2a(a2c+ b2a+c2b)=(a2b a2c) + (b2c b2a) + (c2a c2b)=a2(b c) + b2(c a) + c2(a b)

21、=a2(b c) b2(b c)+ c2(a b) b2(a b)=(b-c)(a2- b2)+ (a-b)(c2-b2)=(b c)(a b)(a+ b)+ (a b)(c b)(c+ b)=(b c)(a b)a+ b (c+ b)=(b c)(a b)(a c)0,1- a= .又因为 a2+b2=1, c2+d2=1.b+ b2 c+ c2a 午c 1-1 20由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘,W岖福8ca b c，一 .，1 ，一，一当且仅当a=b= c=1时取等号. 3（12 分）求证：43+481+币0.证明： 用分析法证明,8+ 31 + ,10?8+3+2 241 +

22、10 + 2 10?2 242 10? 24 10.最后一个不等式是成立的，故原不等式成立.2.求证 |ac+ bd|0,且x+y2,则土丁和1广中至少有一个小于证明：反设2且生2,xyx, y0,1 + y 2x,1 + x2y 两边相加，贝U2+ (x+y)2(x+ y),可得 x+ y2 矛盾，口上已中至少有一个小于 2.x y(12 分)已知 a, b, c, d 都是实数，且 a2+ b2= 1, c2+ d2= 1,证明：证法一(综合法)因为a, b, c, d都是实数，所以a2+c2 b2+d2|ac+ bd| |ac|+ |bd|2 +2a2 b2 c2 d2所以 |ac+ b

23、d| 1.证法二(比较法)显然有|ac+bd|wi? 1 ac+ bd 1.ac+ bd ( 1).1,1=ac+ bd+ + ga2+b2 c2+d2=ac+ bdd122=a+c2+ b+d1 02 ac+ bd 1.再证明ac+ bd 1.11,.1 1 (ac+ bd) = Q + Q (ac+ bd)a2+b2 c2+d22 + -2 ac bdja c/b-d2 接 2ac+ bd 1.综上得 |ac+ bd| 1.证法三（分析法）要证|ac+bd|W1.只需证明（ac+ bd）2 1. TOC o 1-5 h z 即只需证明a2c2+2abcd+b2d2w 1.由于a2+b2 =

24、 1, c2+d2=1,因此式等价于a2c2 + 2abcd+ b2d20.因为a, b, c, d都是实数，所以式成立，即式成立，原命题得证.a1=3, b1（14分）数列an为等差数列，an为正整数，其前n项和为0,数列、为等比数列，且 =1,数列ban是公比为64的等比数列，b2及=64.（1）求 an, bn； TOC o 1-5 h z （2）求证：2 + 2+ 1=1 卜1*-七,(a+ b)2, 所以a+bC-2书,2洞,故选A.答案： A.若 x2+x2+x2= 1, y2+y2+. 2. 3解析：由(x1y1+x2y2+ xnyn)2W(x2+x2+x2)(y2+y2+y2)

25、=1,故选 B.答案： B3.学校要开运动会，需要买价格不同的奖品 40件、50件、20件，现在选择商店中单价为 5元、3元、2元的奖品，则至少要花（）A. 300 元B. 360 元C. 320 元D. 340 元解析：由排序原理知，反序和最小为320,故选C.答案： C.已知a, b, c为非零实数，则（a2+b2+c2）g +、：和最小值为（）91218解析:由(a2+ b2+ c2) , $+ 112 c= (1 + 1 + 1)2=9,，所求最小值为9,故选B.答案： B TOC o 1-5 h z .设 a, b, c0, a2+b2+c2=3,则 ab+bc+ca 的最大值为()

26、A. 0B. 133C. 3D.青3解析：由排序不等式 a2+b2 + c2ab+ bc+ac,所以ab+ bc+ ca 3.故应选 C.答案： C TOC o 1-5 h z 6.表达式x1 y2 + y,1 x2的最大值是（）A. 2B. 1C. 2D.-23解析： 因为 x,1 y2 +yy1 x2 1,故选 B.答案： B7,已知不等式（x+ y） 1+ 1 ia对任意正实数x, y恒成立，则实数a的最大值为（）42D. 16解析： 由（x+y）卫 + ：异（1 + 1）2= 4,因此不等式（x+y）（x+ 丫）$ + ； Fa对任意正实数x, y恒成立, 即aW4,故应选B.答案：

27、B8.设a, b, c为正数，a+ b+4c= 1,则/+/+2爪的最大值是（B. 3,3D.2A. 5C. 2/3解析：1 = a + b+4c=(1)2+(加)2+(2也)2=1(狙)2+($)2+(2也)2 ( j+12+12) 3c 1(乖 + /b+2m)w，3.(乖+/+2啊V3,即所求为 后答案： B.若 abcd, x= (a+ b)(c+ d), y= (a+c)(b+d),z= (a+d)(b+c),则x, y, z的大小顺序为()A. xzyB. yzxC. xyzD. zyd且bc,则(a+ b)(c+ d)(a+ c)(b + d),得 xb 且 cd,则(a + c

28、)(b + d)(a + d)(b + c),得yz,故选C.答案： C TOC o 1-5 h z .若0va1va2,0v b1 b2且a + a2=b+b2= 1,则下列代数式中值最大的是()A . a1b + a2b2B. aa2+b1b21C. a1 b2 + a2 b1D2解析：利用特值法，令 a = 0.4, a2=0.6, b1 = 0.3, b2= 0.7计算后作答；或根据排序原理，顺序和最大.答案： A.已知a, b, c, d均为实数，且a + b+c+d = 4, a2+b2+c2+d2 =差，则a的最大值为()3A . 16B. 10C. 4D. 2解析： 构造平面

29、兀：x+y+ z+(a 4)=0,球 O: x2+ y2+ z2= 16 a2,3则点(b, c, d)必为平面 兀与球。的公共点，从而341ss、/?二2即 a2-2a0,解得 0WaW2,故实数a的最大值是2.答案： D. x, y, z是非负实数，9x2 + 12y2 + 5z2 = 9,则函数u= 3x+6y+5z的最大值是()B. 10C. 14D. 15解析：u2= (3x+ 6y+ 5z)2& (3x)2 + (2V3y)2+ ()2 12 +(73)2 +(W)2= 9X9= 81, 1. u3 + 5+ 4+4+2= 12.33答案： 12.已知a, b是给定的正数，则 a2

30、+ 3-的最小值是 sin a cos a解析：事+ -bsin a cos a=(sin2 叶 cos2 )22+ 与-(a + b)2 in a cos ay答案：(a+b)2x, y, z,则 x, y,z所满足.已知点P是边长为2我的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为 的关系式为 , X2+ y2+ z2的最小值是 .解析：利用三角形面积相等，得2x2V3(x+y+z)=x(2V3)2,即 x+ y+ z= 3;由(1 + 1 + 1)(x2+ y2+ z2) (x+ y+ z)2= 9,则 x2+y2+z23.答案：x+y+z= 3 3a的取值.若不等式|a-1|x+2y+ 2z

31、,对满足x2+y2+z2= 1的一切实数x, y, z恒成立，则实数 范围是.解析：由柯西不等式可得（l2+ 22+ 22）（x2+y2+z2）（x+2y+2z）：所以x+2y+2z的最大值为3,故有 |a1|3,. a4 或 a4或aw2三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）（12 分）已知 a?+b2=1, x?+y2=i.求证：ax+by （ax+ by）1 （ax+ by）222222又 a b+ a b + a a+ ab +ab 3a b + 2ab .则 3a3+2b33a2b+2ab220. （12 分）已知 x, y, zC

32、R,且 x+y+z= 3,求 x?+y?+z?的最小值.解析：方法一：注意到x, y, z R,且x+y+z=3为定值，利用柯西不等式得到（x2+y2+z2）02+l2+12）仅 1+y 1+z1）2 = 9,从而当且仅当x=y=z=1时取“=”号，所以X2+ /+ z2的最小值为3.方法二：可考虑利用基本不等式“a2+b22ab”进行求解，由 x2+ y2+ z2= （x+ y+ z）2- （2xy+ 2xz+ 2yz）,1-1 |ax+ by| ax+ by,所以不等式得证.（12 分）设 x?+2y2= 1,求 kx+2y 的最值.解析： 由 |x+2y|=|1 x+ yj2 y|b0,

33、求证：3a +2b 3a b+2ab .证明： ab0,.aaabb0, a? a?b?0,由顺序和 乱序和，得3 ,3 ,3 , . 3 , 3、 2222 ,.2a + a + a + b + b a b+ a b+ a a+ ab +ab .所以x2+ y2+ z2的最小值为3.21. （12分）设a, b, c为正数，且不全相等，求证:2229，一.a+b b+ c c+ a a+b+c证明： 构造两组数yja + b,b+ c, c+ a;,7匚，7三,则由柯西不等式得aja+ b /b + c cjc+ a(a+b+b+c+c+a)指+上广(1 + 1 + 1)2,即 2(a+b+

34、c)岛+吉+会9.于是W +9.a+b b+c c+a a+b+ca+bb+c c+a a+b+c由柯西不等式知,中有等号成立？1_a+bb+ cc+ a? a+ b= b+ c= c+ a? a= b= c.因题设a, b, c不全相等,故中等号不成立，于2229- +- .a+b b+c c+a a+b+c22. (14 分)设 x1，x2,xnC R +,且 x + x2+22xn=1,求证：+1 +x11 + x2x2、1法1+xnn+1证明： 因为x1 +x2+xn=1,所以 n+1 = (1+x)+(1 + x2)+ (1+xn).+2 x21x22 上1 +x2+x21 + xn

35、 (n +1)2xn1 +xn(1 + x)+ (1 + x2) + (1 + xn)2. (x1 + x2+ + xn) = 1 ,22所以+1 + x11 + x22 xn1 + xnn+ 1第四讲数学归纳法证明不等式、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的） 111.用数学归纳法证明1+2+3+ 211 1)时，第一步应验证不等式 ()B.1 11+o22 31 , 1C. 1 + 2+33D.1,1,11+2+3+41, n取的第一个自然数为，一 一. 11 一，2,左端分母最大的项为2 = 3故选B.答案： B2,用数学归纳法

36、证明12 + 32+ 52+ (2n1)2 = %(4n21)的过程中，由 n = k递推到n=k+1时,3等式左边增加的项为()(2k)2(2k+3)2C. (2k+ 1)2D. (2k+2)2解析： 把 k+1 代入(2n1)2 得(2k+21)2即(2k+ 1)2,选 C.答案： C3.设凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线的条数，加上多的哪个点向其他点引的对角线的条数须+1)为()A . f(n) + n+ 1B.f(n) + nC. f(n) +n1解析： 凸n+1边形的对角线的条数等于凸D.f(n) + n 2n边形的对角线的条数，加上多的那个点向其他点引的对角线白勺

37、条数(n2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有 f(n) + n1条对角线，故选 C.答案： C2653711024观察下列各等式：二十二=2,二十二=2,乙十=2,于7+F =2,依照以 TOC o 1-5 h z 上各式成立的规律，得一般性的等式为()n8 n2A/ - 4 |8- n - 4B.浦+仁君=2n+1 n+ 52D, n+1-4 n+5-4解析：观察归纳知选A.答案： A5,欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n,总有2nn3,那么验证不等式成立所取的第一个n的最小值应该是()B. 9C. 10解析:D. n10,且 nC N +由210= 1 024103知，故应选C.

38、6.用数学归纳法证明:n n+1 n+ 2l+aMnCN*, 22）时，由到1,不等式左端的答案： C变化是（）一 1 一A .增加丁丁一项2 k+ 1B.增加2k+1 2(k+1)两项 TOC o 1-5 h z 1 一 11 一C.增加元力和上7四项，同时减少k一项2 k十 12k十 I kD.以上都不对1111而 f(k+1) =解析： 因 f(k)=k+kZ7+2+十二？ k k1 k2 kk+ +,k+1k+2 k+k k+k+1 k+k+2111故 f(k+1) f(k)=+-1,故选 C.2k+12k+2k答案： C7 .用数学归纳法证明 34n+1+521（nC N+）能被8整

39、除时，若n= k时，命题成立，欲证当n=k+1时命题成立，对于S4+D+jak+A1可变形为（）56 X 34k+1 + 25(34k+1 + 52k+1)34X 34k+1 + 52X 52kC.34k+“2k+125(34k+1+52k+1)解析：由 34(k+1) + 1 + 52(k+1)+1=81 X 34k+1+25X 52k+1 + 25X 34k+ 1 25 X 34k+1= 56X34k+1+25(34k+1 + 52k+1),故选 A.答案： A8.用数学归纳法证明 (n + 1)(n +2)(n+ n)=2n 1 3 5 (2n- 1)(nC N*)” 时，从 n=k至U

40、 n = k+ 1 等式的左边需增乘代数式为（）2k+ 1k+ 12k+ 3D7 k+ 12k 12k 2-k7解析： 左边当n=k时最后一项为2k.左边当n=k+1时最后一项为2k+2,又第一项变为 k+2,，需乘答案： C9,数列an中，已知a1=1,当n2时，an- an i = 2n- 1,依次计算a2, as,包后，猜想an的表达式是（）2A . 3n 2B. nC. 3n 1D. 4n-3解析： 计算出 a= 1, a2= 4, as = 9, a4= 16.可猜an=n2故应选B.答案： B4十口210.用数学归纳法证明1 + 2 +3+门2=，2，则当n= k+1时左端应在n=

41、k的基础上加上（）A . k22(k+1)2(k+1)+ (k+ 1 22(k2+1) + (k2+2)+ - + (k+1)2解析： :当n=k时，左端=1 + 1 + 2+3+ k2,当 n = k+1 时，左端=1+2+3+ - +k2+(k2+1)+(k2 + 2) + - - + (k+ 1)2.故当n= k+1时，左端应在 n=k的基础上加上(k2+1) + (k2+2) + (k+1)2,故应选 D.答案： D.用数学归纳法证明“ 由2+ nn+1（nC N*）”的第二步证 n=k+ 1时（n= 1已验证，n=k已假设成 立）这样证明： 迎+ 1 j+ （k+ 1尸 #2+ 3k

42、+ 22n+ 1(n3);(2)2 + 4+6+- + 2n = n2+n+2(n 1);凸n边形内角和为f(n)= (n-1) Ttn(3);(4)凸n边形对角线条数f(n) =血64).n=其中满足“假设 n = k(kCN+, kn)时命题成立，则当 n= k+1时命题也成立.”但不满足“当 n0(n0是题中给定的n的初始值)时命题成立”的命题序号是解析： 当n取第一个值时经验证(2)(3)(4)均不成立，(1)不符合题意，对于(4)假设n= k(k N + , kno) 时命题成立，则当 n=k+1时命题不成立.所以(2)(3)正确.答案：(2)(3) TOC o 1-5 h z 三、

43、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤). (12分)用数学法归纳证明：1.1,.11,1.1+ + = + +1 X 2 3X4(2n1)2n n+1 n+2n+n1证明： (1)当n=1时，左边=7y = 1，1X2 2,1 右边=2，等式成立.(2)假设当n = k时，等式成立，即+ +1 X 2 3X4(2k1 )2k TOC o 1-5 h z . 1+ + 77, k+1 k+22k则当n= k+1时,111+ +1 X 2 3X4(2k1 )2k (2k+10k+2), 1 ,1=+ + +k+1 k+22k (2k+10k+ 2)111

44、11= k7+kT+ , + 2；+(2k+1-2k+ 2，i+ 不1 , iLk+2+k+3+ + 2k+ 2k+ 1 + 2k+ 2+ +k+1 +1 k+1 +2即当n= k+1时命题成立.由(1)(2)知，对任意nC N+原命题成立.(12分)证明凸n边形的对角线条数:、1，7,、f(n) = n(n 3)(n4).1证明： 当n=4时，f(4) = X4X (4 3) = 2.四边形有两条对角线，命题成乂.1假设当n=k(k1)时，命题成立，即凸k边形的对角线的条数f(k) = k(k 3)(k4),当n= k+ 1时，凸k+1边形是在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点Ak+3

45、增加的对角线条数是顶点Ak+1与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边AAk,增加的对角线条数为(k+1) 3+1 = k1,.11 2f(k+1) = 2k(k- 3)+ k- 1 =(k k-2)1= 2(k+ 1)(k-2)1= 2(k+1)(k+1)-3.故门=卜+1时，命题也成立.故可知，对任何 nCN + , n4命题成立.(12 分)求证：(1 + 1)9 + 1；1+ 5卜+1M2n+1.证明：利用贝努利不等式(1 + x)n1 + nx(n C N + , n 2, x - 1, xw0)的一个特例 i+ 2k 1 j1 +12 2k-1此处n = 2,k分别取1,2,3,，n时

46、,n个不等式左右两边相乘，得(1+1),+3 )G+3人借系.即0+1) r+1+5卜卜+2717 1亚+1成立.(12 分)是否存在常数 a, b, c使等式(n212) + 2(n222)+ n(n2 n2) = an4+bn2+c对一切正整 数n成立？证明你的结论.解析： 存在.分别有用n= 1,2,3代入，解方程组露:13?!：b4,1a+ 9b+c= 18 c= 0下面用数学归纳法证明.(1)当n= 1时，由上式可知等式成立；(2)假设当n = k时等式成立，则当 n=k+ 1时,左边=(k+1)212 + 2(k+1)222 + k(k+1)2k2+(k+1) (k +1)2(k+

47、1)2= (k2 12)+2(k2 22)+ + k(k2- k2) + (2k 1) + 2(2k+ 1) + k(2k+ 1)=k4+ ,；卜2+ (2k+ 1) kk； 1)= %k + 1)4 ：(k+ 1)2.由(1)(2)得等式对一切的nC N+均成立.(14 分)对于数列an,若 a1 = a+1(a0,且 aw1), an+1 = a1一： aan求a2, as, a4,并猜想an的表达式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.11斛析： (1) :a1= a + 一，an+1 = a1一一, aan a2= a1 一= a Ha111a十 一 aa2+1a4+a2+ 1aa2 +

48、1 a a2+ 1 _1a3=a1- -a2aa2+ 112+ 1a6+a4+a2+ 1 a a4+ a2+ 1 -，h 口a8+a6+a4+a2+1同理可将 a4= a(a6+a4+a2+1)转相 a2n+a2+ a2+1 狷心 an = a(a*2+a2n-4+ + 1：a22 1a2-a2n+2-1a2n1 =a a2n-1 .a a2-1(2)当n= 1时，右边=a4 - 1a a2- 1a +11片4A=a1，等式成乂.a假设当n=k时(kC N*),等式成立，即a22 1ak=a(a2k_ 1)则当 n=k+ 1 时,ak+1 = a1 aka2+ 1aa2k_ 1 )a2k+2-

49、 1a2+ 1 a221 a2 a2k 1=a a2k+2-1a2k+ 2-1= a(a2F)1 j这就是说，当n=k+1时，等式也成立,r 一 r 一.，a , .*根据可知，对于一切n N ,a2n+2T -an = a a2n_ 1 成乂一、选择题（本大题共12小题，每小题 题目要求的）.已知：a+b0, bb a b C. a bba 解析： a+ b0 a b, b a .b0b - a b b a 答案： C. a+ cb+ d是ab 且 cd”的（A .必要不充分条件C.充分必要条件 解析： 答案：全册质量检测5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合B. a ab

50、 bD. a bab）B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件ad 且 cd,选 A.易得ab且cd时必有a + cb+d.若a+cb + d时，则可能有Aa0, b0,且 a+b= 2,则()A .1r ,1A . ab2C, a2+b22D. a2+b2w3解析： 由 a0, b0,且 a+b=2,.,4=(a+b)2=a2+b2 + 2abw 2(a2+ b2),.a2+b2R2.选 C.答案： C4,若不等式|2x3|4与不等式x2+px+q0的解集相同，则 p： q等于()A . 12 ： 7B. 7 ： 12C. ( 12) ： 7D. (-3) ： 4解析： |2x-3|4?

51、2x- 34 或 2x-37或. 7 1_0 x0对一切xC |成立，则a的最小值为（）5- 2 O - A c解析： -.X +ax+ 10 xe（o. I又.一 夕十1）勺最大值为一x21- amin= - |.答案： C6.如果 P= Vl7, Q=1+Vl5, R=,+ 那么有（）A . PQRB, RPQC. QRPD, RQP解析： P2=17, Q2= 16+2/15,R2= 12+2/35,j. q2-P2= 2-715-10,r2p2 = 2 樨5o,P最小.q2r2= 2标+42 传，又（2 屉+4产=16+60+ 1615=76+16/752 匹+4,Q2R2, Qn+i

52、答案： D7.用数学归纳法证明“对于任意x0和正整数n,都有时，需验证的使命题成立的最小正整数值rio应为（）n0=2C. no = 1,2D.以上答案均不正确解析:n0= 1 时,x+ -1+1成立，再用数学归纳法证明. x答案:8.函数y=log2，+x3+ 5 （x1）的最小值为（）C. 4解析:x1 ,x- 10,= log28=3,x0, 一 . .1，.一，当且仅当x1：时等号成立,又.x=2时，y有最小值3,选B.答案： B” |x1|2” 是 x3 的()A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析： |x- 1|2? -2x- 12?1x

53、3.1x3? x3,反之不成立.从而得出“|x1|2是艾0 , 1. qp.答案： B11.已知实数 x, y 满足 x2+y2=1,则（1xy）（1+*丫）有（）B.最小值4和最大值1D.最小值1A ,最小值1和最大值1C,最小值I和最大值4 解析：1 = x2+ y2 |2xy|,，一 1 |xy|2，2(1 xy) (1 + xy) = 1 (xy), 1-Wy%3且 1 x2y2W1.答案： B112.在数列an中，a1 = -,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2, 83, 84,猜想an的表达式为(31A，n 1 n+ 11c-2n 1 2n+ 11解析： 经过a = 1可算出3

54、1B.2n 2n+ 11D.- -(2n+ 1 0n+2)a2=Q，a3=,所以选C.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.若不等式|x1|a成立的充分条件是 0 x4,则实数a的取值范围是 .解析：|x- 1|a? 1 ax4 .故 a3.答案： 3, +oo ).如果 x0 , y0, x+ y+xy=2,贝U x+y 的最小值为 .解析： 由 x+y+ xy=2 得 2 (x+ y)=xy,2(x+y)w 亨,2，即(x+y)2+ 4(x+y)-80,x+yW 223或 x+ y2t3 2,又x0, y0,.(x+y)min=2/3

55、-2答案： 2,32.若 f(n)=,n2+ 1 - n, g(n) = 2n-, nCN + ,则 f(n)与 g(n)的大小关系为 .解析：f(n)= Rn2+ 1 n = , 2 1 f(n).已知 f(n)= 1+； + !+=(n C N ),用数学归纳法证明f(2n)n时，f(2k+1)- f(2k) = TOC o 1-5 h z 2 3n2一一 一 1 11解析：；f(n) = 1 + 2+3+ +nf(2k)= 1+1 + 1+ +* 2 32k+11,1, 11,1,1f(2-什+了+汴k+1 k 111f(2 )-f(2)=2V7+k2+ + 厂，一 111答案：2T7+

56、27T7+ 27T1三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (12 分)设函数 f(x) = |x-4|+|x-1|.求f(x)的最小值；(2)若f(x)4)=，3 (1x4 而一2x (x 1 )作出y= f(x)的图象，如图所示.i : TOC o 1-5 h z R* *I i 2 “ 1t则(1)f(x)的最小值为3.(2)若 f(x)W5,则 2x-5 5,4x5.35, 1. 1x4.由 5-2x5, 1. 0 x 1，x的取值范围为0,5.18. （12分）已知0a9.证明： -.(3a-1)20,2 9a 6a + 1

57、0 1 + 3a 9a(1 a). 0a1,厂9,1 a即1 a+4a a(1 a j(12 分)若 0a2,0b2,0c1, (2-b)c1, (2-c)a1,2a 91,那么同理（24=一117. + 一 3+7 n2-b）+c1,中1.由+得 33,上式显然是错误的, .该假设不成立. (2 a)b, (2b)c, (2c)a 不能向日寸大于1.（12分）若n是不小于2的正整数，试证:411111272+3-4+力-2；T.1 1 1证明：1卞+丁”+2 3 42n- 1 2n小，1,1, 11,1, 1=(1 + 尹3+一+五)2(万+4+一+屈=7 + -+ + 玄， n +1 n+

58、22n所以求证式等价于7n+ 1 + n+ 2,1 .2+ 2nn ,2n：二I- -= T :(n+1 (n+ 2+2n 3n+1又由柯西不等式，有1111, f(n)= 1+1+1+ 1 23 n- n 2求证：f(2n)-2-.证明：用数学归纳法. TOC o 1-5 h z 当n= 2时，f(22)= 1 + 1 + 1+1=2!弩，所以命题成立. 234 122设n= k(k2)时，命题成立，即f(2k),2,那么当n= k+ 1时，f(2k+1)= 1+m+:+k1 +22 322 十 1,1卜+ 21m11 k+211上+广-+尸+大k2k个k+22k k+3 k+1 +22 +

59、2k+1- 2 2，所以当n=k+1时，命题成立，根据及，由数学归纳法知，原命题对任何大于1的正整数n都成(14 分)已知数列an满足 a = 2, an+ = 21 + ；f an(nC N +),(1)求a2, a3,并求数列an的通项公式;(2)设 Cn=F,求证：c+C2+c3+ + Cn. anIU解析： (1).a1=2,12-、an+1 - 2 ( + n J an(n N ), - a2= 2 1 +1a1=16,又an+1(n+12c an=2 孑，n N ,野为等比数列.an= n 2 .(2)Cn = = n, an n 2 C1 + C2+ C3+ + Cn._ _I-

60、 _ _2 I-3 I , , , In1 2 2 23 2 n 2+重 十2n1,1, 1 , 12 8 24 41 %n 3 TOC o 1-5 h z 211理-2=3+41- 212 1 24213+4 F=3+亚1-2_67_670 96X7 _ 7_ 一而96O1的自变量x的取值范围是（）A.（- 8,-2 U 0,4B.（-巴-2 U0,1C.（- s,-2 U1,4D.-2,0 U1,4【解析】选A.当x1时，由（x+1） 2n1 得 xW-2 或 0Wx1 时，由 4-|x-1| 1 得 1 WxW4.综合上述，使f（x） 1的自变量x的取值范围是（-巴-2 U 0,4.（2