高中数学递推思想在解题中的应用例析

1、高中数学递推思想在解题中的应用例析递推思想及递推方法常见于数列有关题目求解中，然而在实际中却有许多别的数学问 题与此思想相结合形成一类“整合性问题”。解决这类问题时如果能融递推方法于题目之 中，对学生的解题能力和创新能力的培养是大有裨益的。笔者下面结合教学实际举例说明 几种常见情形的应用及求解。一.与有关函数问题的结合及求解2x例 1.已知函数 fi(X)=2,fn(X)=fifn(X),求 f5(243)的值。1 -X2x-2tan r解析：依据条件fi(x)=2 ,联想到正切函数的二倍角公式tan29 =2一,于-x21 - tan2 1tan。是条件函数式可写成fi(tanH) =- =

2、tan28。所以由条件递推式 fn (x) =f ifn(x)1 -tan u得：f5(tan e)=tan(258) =tan(32e),所以 f5(2 -3) =f5(tan15 =tan(32x 150) = _套。注：本题灵活的依据函数 f(x)的结构联想三角函数关系式，类比三角函数的有关运算规则结合递推条件式，应用递推思想及方法使问题简易获解。例2.已知函数y=f(x)的图像是自原点出发的一条折线，当nWyWn+1(nWN)时，该图像是斜率为bn的线段(其正常数 b#1),设数列xn,由f(xn) = n。(ne N )定义。(1)求 x1，x2 和 xn。(2)求f(x)的表达式，

3、并写出其定义域。解析：(1)要求xi,x2，xn只能紧扣题目定义f(xn) = n。探求x1如下：当0Wy W1时，f(xi) -f(0) =b0 =i,f (0)=0, f(x)=1 ,所以 x1 =1。同理 f (x2)-f(xi) = = b。x i _ 0 x 2 _ x i x 2 _ 1所以x2 =1 +1。同理f(xn)f(xn)bn-1,xn 一xn，由此递推关系可求得： TOC o 1-5 h z bx n _ x n .1b11 一111 bnx n =1 +一 +=。x n2, n 4b b b 1_2b(2 )由 f(xn)=n 知：当 0WyE1 时，f(x)=x ,

4、当 nWyWn+1 时,一一_. n一一_*一、一U、xn Exxn + ,f(x) =n +b(x -xn)(xnxExn 由)(n=N )。(以下略)例3.设f(x)是定义在非零自然数集上的函数，满足 f(1)=2,对任意非零自然数x有12f (x +1)=(1 +)f (x) +x2 999x 2002。求 f(2002)之值。x 1解：条件等式可转化为f (x +D -3=x -1001 ,由此递推关系式可令 x 2 x 1/口 f (2)f(1)f (3)f(2)f (2002) f (2001) TOC o 1-5 h z x =1,2,3, ,2001 得：v v =1 -100

5、1 ov v =2 -1001, V)324320032002= 2001 1001。把上述各式相加得：f(2002)=0。将 f(i)= 2代入得:f (2002) =2003。20032二.与立体几何某些问题结合及应用71例4.已知底面半径为r的圆锥，轴截面的顶角为 arccos-71 , 一根绳子由A。用最短的距 72离绕圆锥面一周至 Ai,再由A i用最短的距离绕圆锥面一周至A2。如此下去，求所有绳子长度的总和。ffi 1图2解：设轴截面顶角为 2a ,母线长为I,侧面展开图中心角为6 ,则2ct=arccos。所72以 cos2ot=71,sino(= 1，又sino( = r= 1

6、。而日=r 360，所以日=30。图 1 中曲线 AAi 7212I 12 I长为图 2 中 A0B1 长，从 Ao 作 A0B1 _LSBo 于 B1，作 BA 1 A Bo。再从 A1作 A1B2 _L SB2A0B1 A0B0 SB。 IA1B2 A1B1 SB1 Ic o 第 c og于 B2 ,作 B2A2 _LA0B0 ,由 AA0B1B0 - AA1B2B1 ,所以又 AoBIsinB,且2=%=阻= cose, 0 1A0B1 SA0 SB0所以 A1B2 =A0B1cos日= Isin OcosO ,同理 A2B3 = A1B2 cos日=Isin 8cos2 日=。其中 I

7、 003| cos 6| 0 时 由 kn十一kn =一0。 所 以knkn1 knkn + = ki (工十工十工)k12时，kn 1 0矛盾。当ki k2knk1-kn 1时有bn噂 = bn父0.94 + x , 所以 bn =bn/X0.94 +x(n3)。所以 bn省-bn =(bn -bnJ1) .0.94,所以数列bn+ bn是以 b2b=x_1.8为首项，以 0.94 为公比的等比数列。(b2 -b1)(1 -0.94n)b1。bninin)仙-人)(b2-b1)b1 J 0106)bn 1(I _0.94n)=30 0.06当30 xx(x -1.8)=(30 0.060.06)M0.94n。lim bnn_：0.06D 当 30- -0.06x之0即x W1.8时,bn由 bn Wbi =30 ；1.8时，数列bn是单调lim (30 -n0.060.06)M0.94n, =x-。因为 bn E60即一x- 0.060.0660o 所以 x 3.6 o综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆。或者由bn41 =bn M0.94+x两边同除以0.94n*得:bn0.94 n 10.94n以 a b10.9420.94 0.941 b3(),-0.94 0.94b230.9420.94X (-)2 0.94，bnx0.94b1 一M()n。所0.94