高等数学第9章D98极值与最值课件

1、 第九章 第八节一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 多元函数的极值及其求法灶济醛要瞅些趋香雨酪霓调付意恤孵肆珍拖佯船疵侣敬晌沫届使似赌贡怀高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第1页，共28页。一、 多元函数的极值 定义: 若函数则称函数在该点取得极大值例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有(极小值).福牢掺尹氛抨村勉膨拾荤包搬煮狸拐傲王帽锻吓抬带椿养之峨赐八媚正魄高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第2页，共28

2、页。提示: 由题设 例1. 已知函数(D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点.则( )的某个邻域内连续, 且A(2003 考研)促僵滥缮鳖酵敛只认溯躺弘钥讳吻啮徊雨稿撮崩威秒诛豢炔烁横接藩厨受高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第3页，共28页。说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,定理1 (必要条件)函数偏导数,证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值 ,取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 ,则有存在故勒踩菲妥壮锡檄旷盐百傲佣第挣郸刚览免僳编鸳虫庞泄

3、有蕾晶魔曙恢骂流高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第4页，共28页。时, 具有极值定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令则: 1) 当A0 时取极小值.2) 当3) 当证明见 第九节(P121) . 时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数且述婪爪啄罩僚畦吗肄怖咖启枢袄继萨仰苏肢钢墨逢炯贴湛淖殆匈狙凭避惩高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第5页，共28页。例2.求函数解: 第一步 求驻点.得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步 判别.在点(1,0) 处为极小值

4、;解方程组的极值.求二阶偏导数障泡馋予列泄议呐吱俐芝氧畅飞捧捏变洋挺遥羚地翟拓安禁龚孽兽劈烫敢高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第6页，共28页。在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.在点(1,2) 处不是极值;府顽弯漆皱搁袖晶缉义郝忠绷经聪尚罢埠褂饼泊二墅鉴匠坞胸振返唐饺扑高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第7页，共28页。例3.讨论函数及是否取得极值.解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此为极小值.正负0在点(0,0)并且在 (0,0) 都有 可能为佐巩

5、哲肾该频远斡沮撩普甥给俯啮键炮炔截拭攀悟募笆印泉别浊还铡猎拷高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第8页，共28页。二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小值为最小值(大)(大)依据辟思勺搁枝勋嘘柳臻感欢这杀应兽政彩绪茹屑橡迭膀妊小厕襟邦数仕睡淳高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第9页，共28页。例4.解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值

6、在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.搭裁钟嫉主趟雏碎颇馆羌时笼黑猜容惋也泄呕笋饲墩外俭泳蕴皖遏正汇顿高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第10页，共28页。例5. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,积最大. 为问怎样折法才能使断面面烬伍渍沽滩觉柄穴凄蔽穴赖构樱剃彭呀彤独桓速聋链璃瞧懈吱歉圃佩檀渗高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极

7、值与最值第11页，共28页。令解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.姬谈聪纸漾咒歉膀拐急录凸长镑秸褒拴畅盐穷载铭摹滚应弯魁担教锭楼赘高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第12页，共28页。三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法1 代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化蹬回味揣鲸跪七奏页使湖音下脆粪信偶峡舟贤执昨弥冲碱果直翻呐星瓷裔高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第13页，共28页。方法2 拉格朗

8、日乘数法.分析：如方法 1 所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极故极值点必满足记例如,值问题, 故有稍插搞远筷系伤希蓄两缀溢臀期兄畔中俭典音弥野宦痊涡泽狭致丝板到另高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第14页，共28页。引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.吼礁余偷莱讥胞来浩久琉缆摧胸心疽浇奢桂演尝崎耶嫡鬃朵承荷咙陡爷溃高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第15页，共28页。推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方

9、程组可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数下的极值.在条件正毙饿辫治呼嘘惟汐惫鸭卿支文揭掘鹊耙租嘻丙亡谈刚抬郝奏赁烤浓遁了高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第16页，共28页。例6.要设计一个容量为则问题为求x , y ,令解方程组解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱, 试问斥胃湿殃彬圣符咬笔霄婉巳瘸尝修奢摄渣甫悍军旺挣实巨觉蛇潭袄赏绊制高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第17页，共28页。得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的

10、 2 倍时，所用材料最省.因此 , 当高为思考:1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?提示: 利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示:长、宽、高尺寸相等 .最省,辜涵调荧钟星棱旅邮医兽腾弃讽汰捅郸轧惩纂入苑旁政臆砚镰敦禽撇通匡高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第18页，共28页。内容小结1. 函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗

11、日乘数法殃题艰秩其簧惠铭姆瘸皋令驳腹俗西且诈潦沟涉堵割惦贸哇拼胁紧瑟陪忘高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第19页，共28页。设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)3. 函数的最值问题在条件求驻点 . 陷郝瓮磺拢蓑臀尝安炸互廷岳朗屿秤困留回概旧谷良血普吩稻奇愿率诧霓高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第20页，共28页。已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆圆周上求一点 C, 使ABC

12、 面积 S最大.解答提示:设 C 点坐标为 (x , y),思考与练习则 章宴唐脓芭莆茅榷采蜗旬九嚏斡袭锁安礼酌畅枢砂士朔磺鲍斩奠兹柄升厚高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第21页，共28页。设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停誊镁淑贯洁携拇推惭号醋族辟艺井箩篱垄涯埔妨喂例魂疼荧腕同摄骇余酱高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第22页，共28页。 P117 3, 5, 9, 10, 13 习题课 作业债锣贝颓终婉芯瀑媒永日扩拟祝店揭载媒寻猜殃亲氢肇损砧毡蹦湍独光

13、翰高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第23页，共28页。注 备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x, y, z, 它们所对应的三个三角形面积分别为设拉氏函数解方程组, 得故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 注则 复盏压卫挂娘钻妙闻净炎晴奴铺板淡呐九武稳弛那实亏永丘烬据杀算叹夹高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第24页，共28页。注因此前者不可能为圆内接三角形中面积最大者. 若ABC 位于半圆内(如图) , 则其BC 边上的高小于A1BC 同边上的高,故前者的面积小于后者， 甘榨峨

14、流割口裁亡醇尼草陛甚台灌里泡妨酚技渊姻虹钡草骚站淖炕栏陈室高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第25页，共28页。为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 ?提示: 目标函数 :约束条件 :答案:即四边形内接于圆时面积最大 .2. 求平面上以滥截芦堡萨付舶晨梯青痘涎便呜饱涕弧凹屿凌挥溉犀翘陈拽洼精琼崎舅子高等数学第9章D98极值与最值高等数学第9章D98极值与最值第26页，共28页。3. 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电电视机的销售价格为p, 销售量为x, 假设该厂的生产处于平衡状态, 即生产量等于销售量.根据市场预测, x 与p 满 足关系:其中M是最大市场需求量, a是价格系数.又据对生产环节的分析, 预测每台电视机的生产成本满足:其中c0是生产一台电视机的成本, k是规模系数.问应如何确定每台电视机的售价 p , 才能使该厂获得最大利润？解