选矿过程模拟与优化第五章重力选模型课件

1、 一重力选煤中，工艺计算一般要解决以下 几个问题（1）原煤可选性的分析（2）产物的实际产率、灰分和分选效率的计算（3）产物产率和灰分的预测（4）最大产率的计算 第五章 重力选数学模型第一节 重力选数学模型的研究现状第1页，共75页。 解决上述问题，过去一直是用手工进行计算的，以及作图分析，但是手工计算速度慢，效率低，作图精度也不够，但对我们同学来说，二种方法都应该兼顾，用了手工算过以后，可以加深理解。 由于手工计算效率低，精度不够，所以现在我们利用计算机进行优化计算，计算机的预测与手工计算本质上是相同的，但由于引入了计算机，我们就可以使用一些新的数学方法，建立起供计算机使用的数学模型进行计算。

2、 第2页，共75页。二目前重选模型一般包括以下几种模型可选性曲线数学模型（包括理论可选性模型，实际可选性模型） 对于原煤可选性分析，采用手工计算中，往往采用图解法，由于绘制曲线十分费时，而且精度较差，所以效率不高。建立原煤可选性数学模型，准确性提高，有助于更进一步研究可选性变化规律，以便能预测原煤的粒度和密度组成，而且采用了计算机，所以就大大提高了效率。第3页，共75页。 分配曲线模型 重选过程数学模型的研究中，许多研究工作者都把重点放在重选产物的预测上，其预测方法一般采用分配率的方法，所以许多研究工作者都把研究重点放在分配曲线模型上，提出了很多分配曲线经验模型。 第4页，共75页。第二节 煤

3、炭可选性曲线数学模型 一、煤的可选性曲线 1来源：煤的可选性曲线一般都通过煤的浮沉 试验来了解的。 2亨利曲线包括五条曲线：浮物累积曲线，沉物累积曲线，基元灰分曲线，密度曲线和0.1含量曲线。 第5页，共75页。 3这五条曲线中最重要的就是基元灰分曲线，这 是一条微分曲线，其数学表达式可写成： 式中：为密度级含量，A为密度级灰分 公式表达了分选产物的理论边界灰分，曲线弯曲程度表达了分选的难易程度。 4在、曲线中，都存在着浮沉资料不能确定的端点，这些端点要人为地确定，这就是所谓虚拟型值点。在计算机建模时，如果用外插法确定也是不准确的。所以在这方面就不如采用迈耶尔曲线。 第6页，共75页。二、迈耶

4、尔曲线 1迈耶尔曲线（M曲线）表示浮物累积产率与平均灰分的关系，即纵坐标表示浮物累积产率，横坐标表示浮物平均灰分。 051015202530355080100ARP1P2P3P4P5P60浮物产率，%迈耶尔曲线 平均灰分，%第7页，共75页。2改进后的M曲线：纵坐标仍然是累积产率，横坐标则是累积灰分量，所以改进后的M曲线表示是 灰分量关系。3改进后的M曲线优点：（a）M曲线上的二个端点可以由原始数据确定，不必设虚拟型值点。 （ 为原煤灰分） 第8页，共75页。（b）有了累积产率和灰分量的关系，可以比较方便地计算出其它数质指标。 为了推导方便，我们把M曲线的自变量和因变量交换一下。 即： 式中：

5、 浮物累积重量； 浮物累积灰分量。 这样，我们可以很方便地由M曲线，导出其它指标： 第9页，共75页。将M曲线微分，得到曲线函数在化简 上一阶差分，就是该区间的平均灰分：第10页，共75页。当 时，得到浮物累积灰分当 时，得到沉物累积灰分 结论：通过上面以亨利曲线和M曲线特点的分析，由于M曲线有上述优点，所以我们只要建立起迈耶尔曲线和密度曲线的数学模型就可以得到全部可选性资料。 第11页，共75页。 三、可选性曲线三次样条函数模型 目前，建立M曲线和密度曲线模型，一般均采用样条插值方法。 在建立M曲线和密度曲线的三次样条函数模型时，除对样条函数一般要求外，结合专业要求，再设定如下条件： （1）

6、对函数区间的设定 在分析的三次样条函数区间 ， 选煤中规定：第12页，共75页。（i）对于M曲线： ,对 值，即灰分量， 。这使得M曲线通过原点 和终点 。（ii）对 曲线： ，对Y值，即产率 ，这使得曲线通过原点 和终点 。（iii）对于边界条件： 二个边界点的二阶导数取 ，均按自然样条处理。 这样，我们就可以给出浮沉资料后，建立相应的可选性曲线三次样条函数模型了。 第13页，共75页。 四、可选性数据的细化 1什么叫可选性数据的细化？ 在分选作业的预测计算中，为了使计算结果更准确，往往希望增加浮沉试验的密度级，但要用浮沉试验来增加密度级是十分困难的。建立了可选性模型，利用计算机通过计算的办

7、法将浮沉试验加密，取得符合需要的一组新的可选性数据，这种方法称为可选性数据细化。 具体地说，我国选煤厂的浮沉试验，大多数采用6级浮沉，如果想要提高分选过程预测精度。我们一般可以把它细分为25级，每级产率为4（称为规格化的可选性数据） 下面我们介绍一下利用M曲线函数，细化可选性数据方法。 第14页，共75页。 2实现可选性数据的细化的方法： 可以采用二种方法： （a）用曲线拟合的方法，也就是根据试验出来的可选性数据，用曲线拟合的方法找出可选性曲线方程，然后用该方程求出相应的可选性数据。 （b）采用插值方法，用试验出来的数据点，求出中间所需的数据点。 下面我们介绍样条插值的可选性数据细化。 为了能

8、够得到加密后比重区间的产率和灰分，我们可采用迈耶尔曲线的函数关系和密度曲线的函数关系，即利用6级浮沉试验的累积重量和累积灰分量作为插值结点，用插值方法找到它的表格函数。 第15页，共75页。 虽然用各种插值方法都可以进行细化，但比较下来采用样条插值得到细化后数据连续性好。 根据迈耶尔曲线的函数关系 利用6级浮沉试验的累积产率和累积灰分量作为插值结点，用样条插值的方法可以找到加密以后的累积灰分量，经过换算以后，可以得到相应的累积灰分和各密度级的灰分。 计算时端点边界条件取 和 ， 原煤灰分 二个边界点的二阶导数按自然样条处理，即：第16页，共75页。 根据密度曲线函数关系 同样可以算出加密后的函

9、数值，这里二端点的坐标是虚拟型值点 和 ，边界重要依据仍按自然样条处理： 例题：P84例51 根据6级浮沉试验资料，用样条插值方法，将可选性数据细化为25个级别的数据。 解：根据题意：令 （浮沉数）， （细化后浮沉级数） 需读入的数据：N，M及6级浮沉试验数据 D(1)，W(1)，A(1)。 分析核心程序 建立样条函数子程序第17页，共75页。 第三节分配曲线数学模型 重力选煤的实际分配曲线一般都是利用单机检查中原煤和产物的浮沉组成，用格式法计算出产物的产率。然后按某一密度的物料在重产物中的重量计算出分配率而绘制的。它反映了重力选煤过程的效果。 第18页，共75页。1.21.31.41.51.

10、61.71.81.950250C75AB1002.22.02.1Dd25dpd75图a选煤分配曲线 第19页，共75页。分配曲线的特点：理想的分配曲线应该是折线型曲线（OBCD），但实际上它是一条S型曲线，分配曲线越陡，越接近折线，分选效率越高。由于分配曲线本身的变化比较复杂，故很难用曲线来比较分选过程，所以只能利用几个特性参数进行了比较。比较分配曲线的特性参数一般采用分选密度，可能偏差 和机械误差I，这几个参数确定了分配曲线的基本形态。第20页，共75页。分选密度 是指分配率为50时所对应的密度，大于 的物料分配到尾煤中机率多些，反之。可能偏差 ，它是用来衡量分选设备的效率，实际上，它体现的

11、是分配曲线中间线段的陡度， ，曲线越陡，分选效率 越高。 可能偏差 的计算公式为： 第21页，共75页。可能偏差 与影响因素之间的关系： 与原煤可选性无关；也就是与原煤的密度组成无关。只有当原煤性质特殊时例外。 与粒度有关， ，重介比跳汰选的影响要小。 随分选密度 增大而增大。（其中跳汰选变化明显）对跳汰来说，可能偏差随分选密度变化较大，这就是说，当分配曲线平移时，其形状要发生变化的。 与跳汰机的单位负荷有关，负荷越大， 。第22页，共75页。实验证明，当横坐标采用 ；分配曲线形状就不随 而变化了。在此情况下，可以导出新的特性参数，机械误差：它是衡量跳汰机的分选性能。 对于重介选，由于 值基本

12、上不随 而变化，所以重介仍采用 。 第23页，共75页。二分配曲线的正态分布模型1模型的建立根据数理统计知识，标准正态分布函数为： 式中： 标准差。它表达了随机变量的概率分布。 第24页，共75页。23X正态分布曲线的性质：该曲线是单峰曲线，x0时函数递减x=0时函数达极大值该曲线以x=0为曲线的对称轴枴点位置在x=处正态分布曲线 320yf (x)第25页，共75页。 若取 ，并将上式积分，则得到正态分布积分函数。 该函数表达了随机变量出现的累积概率，该曲线的主要特征： 函数以 ， 为渐近线；拐点位置在 处；曲线以拐点为对称中心。 第26页，共75页。3210123tf (t)5025751

13、00正态分布积分曲线 第27页，共75页。重选过程的密度级的分布规律与正态分布规律的物理意义是不同的。只不过是分配曲线与正态分布积分曲线外形上相似，实际上，二者在外形上也存在较大的差别，归纳起来有以下几点： A相似处： （a）它们形状都有S型； （b）渐近线都在 和 的平线上； （c）拐点都在 处。第28页，共75页。B差异：（a）正态分布积分曲线形状是以拐点对称的；而分配曲线除了重介质分选机以外均不对称，高密度端较为平缓；（b）正态分布积分曲线的分布中心在纵轴上，而分配曲线的拐点却在分选密度dp上，即分布中心不在纵轴上；（c）正态分布积分曲线的形状比分配曲线平缓。第29页，共75页。 所以我

14、们若要用正态积分曲线来表达分配曲线，或者说，要建立分配曲线的正态积分模型，则要进行一些数学转换，转换分为以下三步：（1）改变横坐标的比例，使分配曲线呈对称。 跳汰：即把横坐标改变为对数坐标， 对数坐标中，随着真数的增大，横坐标的实际间隔要缩小 这样能使高密度端变陡，低密度端变缓。 下面图中曲线由不对称的。第30页，共75页。（2）移轴，将分配曲线的分布中心（拐点）平移到纵轴上，平移后的新坐标为 ，分配曲线由。 （3）扩大横坐标的比例，使较陡的分配曲线与较平缓的正态分布积分曲线重合。要使二者完全重合较困难。 简便办法是使二者在分配率25%、50%和75% 三点重合，从而达到近似重合的目的。 第3

15、1页，共75页。-0.67450dptf (t)0.50.25正态第32页，共75页。对正态分布积分曲线 时，横坐标距离为0.6745。对分配曲线， 时，横坐标为 即 显然， 相差倍数： 若把分配曲线横坐标刻度间距扩大n倍，则使分配曲线变得平缓，而且二曲线在纵坐标为25%、50%、75%三点重合。 第33页，共75页。综合所述：分配曲线的横坐标用下式转化为t。 这样就可以用正态积分函数来计算分配率了。 第34页，共75页。 但是，对跳太机来说， 值是随分选密度 而变化的，所以上式右边还不是一个常数，如果 能用机械误差I表示，则上式就是一常数了。 还要进行变换： 在新坐标中，跳汰机的分配曲线已对

16、称。 即 第35页，共75页。根据机械误差定义： 或 得代入原式得 对于重介选，由于分配曲线是对称的，不必将横坐标改为对数坐标，只需移动和扩大坐标比例。 第36页，共75页。结论：如果已知分选密度 和机械误差I（或可能偏差 ），就可根据每一密度级的平均密度求出相应的随机变量t，从而用正态分布积分函数来计算分配率。 如果直接用正态分布积分函数计算分配率是很困难的，可以采用泰勒级数进行近似计算： 一般函数都可以用泰勒级数展开,若函数为 ,则泰勒级数展开式为:第37页，共75页。经过适当变换,函数 可以变为 的形式:令: 则: ,代入正态积分模型,可得:又；第38页，共75页。1分配曲线正态分布模型

17、的计算步骤：（1）计算各密度级分配率，需要输入分选作业的可能偏差 （对重介）或机械误差I（对跳汰选），分选密度 ；（2）根据各密度级平均密度 ，计算正态分布积分函数的随机变量 （对重介选或跳汰选采用各自的公式），然后换算成变量 ；（3）根据 ，计算分配率 。 2分析分配曲线正态分布模型的计算程序。 见教学软件！ 第39页，共75页。三、分配曲线的经验模型1由于分配曲线呈S型，所以我们可以选择适当的S型函数，用实测的数据进行拟合，确定模型参数，建立经验模型。作为分配曲线的S型函数，应该满足以下条件： 时， ； 时， ； 时， 。能满足上述条件的S型函数很多，这些函数中X为物料密度，Y为分配率，

18、为模型参数。 第40页，共75页。 分配曲线常用的经验模型编号模型名称模型函数式1改进的LOGISTIC模型22函数模型3改进2函数模型4反正切模型5正态积分模型6复合正态积分模型7双曲正切模型8复合双曲正切模型第41页，共75页。上述函数都是非线性函数，用一般的线性最小二乘法是难以进行拟合的，因此，需要用无约束条件的最优化方法，进行迭代计算，找出它的模型参数，目标函数仍然是分配率的实测值与计算值的偏差平方和最小。 式中， 、 为已知的实测值，未知数为模型参数 ， ， ，所以，实质上是一个无约束条件下的多变量寻优。常用的寻优方法是采用阻尼最小二乘法，该方法优点是收敛速度快，迭代次数少，但对初始

19、参数的选择要求比较严。第42页，共75页。2在选择经验模型时，应该考虑以下二点：（a）模型的拟合精度。 可用拟合误差来衡量 式中，N为密度级数， 为第i密度级计算值， 为实测值。模型选择时，应该优先采用拟合误差小的模型。（b）模型参数的数目 从数学角度看，模型参数的数目应小于或等于数据的组数， 通常选煤厂用以拟合分配曲线的数据有六个密度级 模型参数第43页，共75页。第四节 重力选煤的预测方法一、重选作业的产物的计算方法： 重力选的产物预测是利用原煤浮沉试验，按各密度级在产物中的分配率进行产率的计算。 若原煤浮沉级别为N，j表示其中某一级别，那么则有： 第44页，共75页。 式中： 原煤中第j

20、密度级重量 和灰分% 精煤和尾煤的产率，% 精煤和尾煤的灰分，% 分配率(在尾煤中分配率) 第45页，共75页。 两产物的计算是重力选作业的计算基础，实际重选过程可由许多两产物作业组成，顺次调用二产物的计算子程序，就可以完成复杂的计算任务。不同重选方法进行计算时，主要区别是由于分配曲线的不同，因而产生不同的分配率。 第46页，共75页。两产物重选作业的计算方法 密度级平均密度原煤在尾煤中的分配率%尾煤重量，%灰分，%重量，%灰分量DRWRAET=RWERAT-1.31.31.41.41.51.5.161.61.8+1.81.251.351.451.551.72.230.8827.9513.96

21、7.765.2514.206.8311.2019.6829.5041.1770.7701.85.214.344.991.100.500.731.112.3612.9405.6014.3732.7597.16916.76100.0020.4917.641065.64第47页，共75页。二、实际计算中的二种情况一种是给定分选密度，计算产物数质量这种情况可以归纳为以下二步：（a）根据已知条件，调用正态分布积分模型计算各密度级的分配率；（b）根据二产物计算公式，计算产物的产率和灰分。另一种是给定精煤灰分（或尾煤灰分），计算产物的其他数质量。第48页，共75页。 这种情况，需要采用迭代计算。即首先任意给

22、定一个分选密度，计算精煤的灰分，若算出的灰分与要求的灰分相比小于允许误差，则计算结果就是最终结果；如果大于允许误差，则应该重新规定分选密度，重复计算，直到满足要求为止。 这样的迭代计算可以采用二分法和逐步搜索法。 第49页，共75页。（一）二分法 二分法就是二等分规定的密度区间来规定分选密度，然后进行搜索计算。 AAC1分选密度dndp1dp2d1精煤灰分%第50页，共75页。步骤如下：（1）在任意规定的分选密度区间 和 中，取平均值，求得一个分选密度 ；（2）根据 ，算出相应的精煤灰分 ；（3）判断，设e为允许误差，若 ，则达到最终结果，若 ，则需进一步判断。 若 ，说明实际分选密度不可能在

23、右半部，这时，去掉右半部。可在左半部区间重新开始搜索。 同理，若 ，则去掉左半部，在右半部重新搜索。 第51页，共75页。（二）逐步搜索法 在规定的密度区间，从小到大（或从大到小）增加步长，寻找分选密度，计算分选结果。通常用较大的步长作粗搜索，然后用较小的步长作细搜索。 步骤如下：（1）从最小密度开始选择分选密度，并采用步长 递增，每次选择一个分选密度 ，进行重选计算。求得精灰AC。若ACA，则继续搜索。若ACA，则进一步判断 ，若成立，则得最终结果。否则退回一个步长，以新的步长进行第二轮搜索计算。第52页，共75页。（2）用步长 进行第二轮搜索，方法同1（3）如果第二轮搜索仍不得最终结果，则

24、以步长 进行第三轮搜索，以此类推。第53页，共75页。三、重选预测与实际结果的偏差分析 利用上述方法对重选过程进行预测时，往往与实际结果有偏差。归纳起来一般有以下原因。（1）所建立的分配曲线模型不够准确 分配曲线一般都是经验模型，所以原始数据准确是计算准确的前提条件。由于建模所用的分配率都是由产物浮沉试验间接计算出来的。本身不可避免地存在误差，型值点分布往往很不均匀，所以容易导致所拟合的分配曲线模型不准确。第54页，共75页。（2）密度级的平均密度选取不当 在分配曲线模型建立和使用时，分配率都是用各密度级的算术平均密度计算的，对于煤质分布均匀的原料，这样选取是可以的，但对煤质不均匀的过渡段，这

25、种选取是有出入的，此时，可采用以下二种方法： （a）加密浮沉试验。 （b）采用加权平均密度。（3）密度级的灰分数据不准 在重选计算中，精煤和尾煤灰分都是根据原煤各密度级的灰分，用加权平均的方法计算的，但实际上，虽然同一密度级，其原煤、精煤和尾煤的灰分是不同的。（4）煤泥污染的影响 第55页，共75页。第五节 实际可选性曲线的数学模型 一、实际可选性曲线来源、意义 煤的实际可选性考虑了分选过程效率的影响，所以根据实际可选性曲线确定的指标，比较接近实际。在实际可选性曲线中，实际基元灰分曲线是最有用的一条曲线。 实际基元灰分曲线的原始数据是由计算所得的实际分选结果，它包含了分选效率的影响，用它确定的

26、边界灰分是实际分选的边界灰分，因此，它能够应用于选煤优化中的最大产率计算。为此接下来我们讨论实际基元灰分曲线模型的建立。 第56页，共75页。二、实际基元灰分曲线模型 要进行选煤优化，计算最大产率，就必须确定以下三种函数关系。（1）精煤产率与实际基元灰分的关系（2）精煤累积灰分A与实际基元灰分L的灰分（3）分选密度D与实际基元灰分L的关系 有了上述关系，如果已知实际基元灰分L，就可以计算精煤产率，灰分和分选密度，所以实际基元灰分曲线包括互相依存的三根曲线。确定这三条曲线的原始数据可由计算所得的一组实际分选结果中推得。 第57页，共75页。1推导：在某一基元灰分情况下的精煤产率G，精煤累积灰分A

27、，分选密度D。 若分选密度为 时，我们可通过分配曲线模型，求得精煤产率 ，灰分 。 同样分选密度为 时，可得精煤产率 ，灰分 。 当分选密度从 时， ，增加这部分的平均灰分为： 若将L视为基元灰分，即当基元灰分为L时，对应的产率为：第58页，共75页。 对应的精煤累积灰分应为： 对应的分选密度应为： 这样，我们若进行M个分选密度的计算，就可以得到M-1个对应的L，G，A，D数值，即可利用曲线拟合或插值法建立对应的曲线模型。为了编程方便我们可令：第59页，共75页。2实际基元灰分曲线的计算步骤：采用不同分选密度 计算产率 和灰分量 。和用上面数据 和 计算 ， ， 和 3实际基元灰分曲线模型程序

28、计算中，最小分选度 ， ，M待定。 第60页，共75页。第六节 重力选煤过程的优化计算 选煤优化计算的目标有二种：一种是在一定精煤灰分下，使产率最大；另一种是合理安排产品结构，使总经济效益最大。由于精煤的价格比大，在综合经济效益中占主导地位。因此，对一般选煤厂来说，最大精煤产率和最大经济效益是一致的。所以在重选过程优化计算中，往往着重讨论最大精煤产率问题。 选煤流程优化计算二类方法：一类是利用计算机采用传统的工艺计算方法，包括等基元灰分法、搜索法、穷举法。二是采用最优化方法，包括线性规划和非线性规划法。这里我们只介绍第一种方法。 第61页，共75页。一、等基元灰分法什么叫等基元灰分法 等基元灰

29、分法原则又叫等原则，该原则认为：在分选二种或二种以上质量不同的原煤时，只要每种煤都按相等的基元灰分进行分选时，就能在规定的总精煤灰分下，获得最大的综合精煤产率。 它的物理意义就是：在分选二种以上原煤时，最合理的分选制度应该让各原煤中的低灰部分优选进入精煤，这样才能达到最大的综合精煤产率。等原则的应用 运用等原则，可以解决选煤工艺中许多重大原则问题：第62页，共75页。（1）在选煤厂设计中，运用等 原则；可以论证不同原煤配煤入洗或分组轮换入洗的合理性；在精煤灰分一定时，确定设置中煤再洗、煤泥浮选和煤泥掺入作业的合理性。（2）对现有生产厂，根据规定精煤灰分，合理地确定各分选作业的分选指标。 第63

30、页，共75页。3运用等 原则确定各个分选作业指标的步骤 （手工计算一般通过图解法） 首先求得各作业原煤混合所得到的综合可选性曲线 。 根据综合灰分AC求综合原煤分选时的 。 根据 值求各作业的精煤产率 及相应分选指标。 第64页，共75页。 4过去选煤厂设计和选煤厂生产管理中应用情 况 在过去选煤厂设计和生产管理中，等原则的应用只起到定性的作用。主要原因：如果采用理论可选性曲线进行等计算，计算结果与实际结果出入较大；如果采用实际可选性曲线进行计算，手工计算工作量太大；我国选煤厂大多数采用不分级主再洗跳汰流程，再洗原料受主洗的分选密度影响。也不适用等原则。 目前，实际可选性曲线可以通过计算机进行

31、计算，有了实际可选性曲线，就能运用等原则解决选煤优化问题。 第65页，共75页。5下面我们以分级重介选为例，介绍等 原则进行优化计算的方法。（1）条件：分级重介选中，块煤和末煤的比例为 和 ，块、末煤的原煤浮沉资料（可选性资料），可能偏差分别为 和 。（2）优化计算步骤： 利用正态分布积分模型，计算当分选密度 时，对应的精煤产率 和灰分 。（m个 ）。 第66页，共75页。根据计算实际可选性曲线数据的一组公式，（5-61至5-64式）。求出两种原煤的实际分选指标的8个数组的数据。即： ， ， ， ， ， ， 根据 和 的对应关系，用一元三点插值法，求出按这个基元灰分 分选时的两种精煤累积灰分 和 ，以及分选密度 和 。用加权平均可算出综合精煤产率和灰分。 第67页，共75页。6实际计算方法： 由于在实际预测中，一般是已知综合精煤灰分，此时究竟两种原煤按多大的值分选，才能达到所要求的精灰指标，事先不能一下子确定，就必须多次试算。通常采用二分法进行搜索计算。 二分法计算方法： 先给定一个基元灰分区间 ，用二分法确定第一个基元灰分 ，计算相应的综合精煤灰分。 用计算的综合精灰AC和AA给定灰分比较判断，用二分法确定第二基元灰分LD，以此类推，直到满足要求，求出分选指标。