“半角”模型旋转变换几何练习

1、考点五：角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法核心母题如图，在正方形ABCD中,E、分别是BC、D边上的点，ZEAF=45，求证:EF=BE+DF.专題IE明题-分祈如圏，作辅助线，首先证AAFEAilFG,进而得到EF二FG问题即可解决（解苔XE明：.AB=AD,把山斑绕点丸逹时针施转至AADS,可便肛与同重合，如囹：-.ZBAE=ZDAG,VZBAD=90,ZEAF=45:ZBAE,ZEAF=ZPAG,-/ZADC=ZB=gO,.ZFEG=180c，点FlDiG共线m在ZXAFE和2UFG中,JA=AG2EAF=jAAFEAAFG（SAS）j-.EF=rGs即：EF=BE+DF点評雅查

2、正方形的性质、全等三角形的判定艮其性质拘核心构苣而战孑解题的关龍是作辅助线，枸造全等三角形.变式一：如图，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC、CD上的点，若AECF的周长是2,求ZEAF的度数？CB0ZHA.E=90ZEkF=45【考点翌等三角形的判定与性质：正方形的性质.分析li-CD至H,使得DH=BE)连接AH,得出ABEAADKj可得FHEF,即可证朋4AFEAkFH,可itZEkF=ZHkF,根lgZHkE=ZEkD=90即可解题.匚第吾期：延长CD至H,使得BH=BE,连接止H,Bj【点评慕题考查了全等三角形的判定，考察了全等三角形対应角相等的性质，本题中求证AATEAA

3、FH是解题的关键.CE+UF+EDW,BC+CD=2?Er=BE+FI!aadh是虹E逆时针选痢Cl度世成,.AABEAkDH,.ZDH=ZBE?AEAHjBE=DHj.F二ElF+D)二DF十FE二EF,ZHAE=ZEAD=90,.AAFEAkFH,(SSS)佗ZEkF=ZHkF5/在AAFE和脈H中iEF=FH,变式二：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，ZEAF=45,AG丄EF,求证：AG=AB.匚考点璇蒔的性质,全等三角形的刘定与性质；正方形的性质.【专毙IE明题.1分析班根据正方形的性质得础二mZBAD=9OS,则可把ADE绕直山顺时皆施轄叮存到ABQ,如图，

4、根拥旋转的性质得心虹,ZIAQ=9O,ZAB=ZE=90,则可判断点Q在为的延长线上，由ZEAPS得到MQATH呼-ZIAF=45,然后根据“SAS判断HQMZXME,得到FQ=FE,再根据全等三角形对应边上的高相等得到结论.明：叮四边&BCD为正方形，.AB=ADjZBD=gO!.把丸叮绕点亢顺时针施轻如。得到肛Q,如冋.AQ=AE,ZEXQ=OQ,ZXBQ=ZD=90Q,而ZABC=90,点Q在怖的証长线上，.ZEAF=45C,-.ZQAF=90-ZEAF=45,-Zeaf=Zqaf?AAFQ和丸FE中，iAF=Af7护=EAF,AQ=AE.-.AAFQAJlFE(SkS)s-.FQ=FE

5、,丫冊丄FQ,AG丄FE,.AE=AG.1点评慕题考查了離蒔的性质：对应点到龍藉中心的產离相等；对应虐与號轎中心所连绒段的夹甫等于旅转甫；决转前、后的图形全等-也考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质.综合：在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN二BM+DN,求证：.ZMAN=45.cacmn二2AB.AM、AN分别平分ZBMN和ZDNM.练习1、如图，在四边形ABCD中，AB=BC,ZA=ZC=90,ZB=135,K、N分别是AB、BC上的点，若BKN的周长是AB的2倍，求ZKDN的度数？2、已知：正方形ABCD中，ZMAN=45,ZMAN绕点A顺时针旋转，它的

6、两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N.当ZMAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1）,易证BM+DN=MN.（1）当ZMAN绕点A旋转到BMHDN时（如图2）,线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当ZMAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.匸考点丁说崔的咗底：仝竿三毎F?不聲壬匕性舌：王左羽胸隹馬-CtSlII芳題；圧轴強.【畀析】（I计-r：归删戍77,111岸F、F.叩-亡#汗別口|借判厶旗“竺hrilUl诣肝=叭,（2DJIEM=O.迈因方辻与（1）类像.【解言丁謡：一；汕+DM=my皿

7、丄.证明:如图IGAIDN点上顺时转施撷0得到厶施E，回刁运靜E、E、K三点#线囹形亘丘诵)，./FAcn0-z-nAM=.snc-心=册,買.二1也M-4肿，fAE-A-t!AjLEMAAIK巾ZJJ/=NAMA=A-AAEUANM(S/l；，-HE=MM，.MEBn+BMDW+BM,3I+DM-JKs(?)D1J-EM=NN.在纵段DN上载取DQ=EM，AD-ABJAadq-Aabm，DQ=3M1.-AADQAAPITin、-DAQ=.-二在八Ain和八昭q中，AOASDF之间的关系是EFhE-DF,理由是：在上截取驸刃F,连接側，.Z1BC+ZD=10O,ZADC+ZADF=1803M=

8、DFAAABMAADF(SAS),.AF=AH,ZDAFZBAM,/ZBAE=2ZEAF?.ZDAT+ZBAE=ZEAF,/.ZEAE+ZBAM=ZEAM=ZEAF、在卩砸和MAE中，fAE=AEFA=ZMAE,AF=AMAAFAEAMAE(SAS),.EFEHBE+BMBE+DF,即EF=BI+DF.(2)IS：EP.BE.DFZIB的关粟是EF=BE-DF,理由是：在为上截取珊二DF,连接別，ZAECZD=lSOi?ZADC+ZADILSO0?-.ZABC=ZABF,在ZU跚和ADF中!fA2=ADZ5=BF-.AAEMAADF(SAS),AF=AN!ZDAF=ZEAMjZBjW=2EAF

9、=2ZEAD+ZDA.F)=2(ZEAD+ZBAM)=2EAF+(GAD+G刖)yvZBJlD=(ZBAM4ZEAD)4-ZMAE-.ZMAE=ZEAFAFAEOALlkE,A=AAE=,AF=AM-.AFAEAMAE(SAS),EF=EN=BE-BH=BE-DFi即EF=BE-DF.8、如图，在AABC中，ZACB=90,AC=BC,P是厶ABC内一点，且PA=3,PC=2,PB=1.求ZBPC的度数【专卷丁计算题.【分析血点C作CD丄CP,使CBCP2连接CD,PD,AD,根卿2BC,由同角的亲角相等得到夹角相等，利用S昭的三角形收D与三角形MF全等！利用全等三角形耐应边相等！吋应角相等得

10、到AD=BP=1,ZADC=ZBPC,在直角三角形MF中，利用勾股定理求岀肚的忙，由ADAF的匠，利用勾般定理的逆定理得到三角冊MF芮直角三韬形，由Z4+Z5求出/ADC度數，即JZBFC度数.【解吾确：过点匚作匚D丄匚F,使CD=CF=2,连接EFD,ABVZl+Z2=ZACB=90c，=ZDCF=Z3+Z2,AZ1=Z3,在厶匚虹和匚盯中，CD=CPJZ3=Z1,AC=3CACADIAIZBF（SAS）,ADA=PB=1,ZALCZBFC,在等flRtADCF中，Z4=45,根据勾股定理得：DF2=CD2+CF2=22+22=8,.Dr2+DA2=8+1=9,AF2=32=9,.DT2+D

11、A2=kF2,AADF直角三角形，即Z5=90,则ZBPC=ZADC=Z4+Z5=45O+90=135.半角模型a=B且0+Y=1800.条件：2思路：（1）、延长其中一个补角的线段（延长CD到E,使ED=BM，连AE或延长CB到F,使FB二DN，连AF）:结论：MN=BM+DNMV二2ABAM、ANI分别平分ZBMN和ZDNM(2)对称(翻折)BMc思路:分别将AABM和“dDN以AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.(ZB+ZD=l8Oo且AB=)例题应用：例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移.CACMN二2ABACMN思路同上略.AM、AN分别平分Z

12、BMN和ZDNM；动，且满足MN二BM+DN,求证：ZMAN=45例1拓展：在正方形ABCD中，已知zman=45。，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系.例2在四边形ABCD中，ZB+ZD=180。，AB=AD,若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF二BE+DF求证:”=2ZEAD.BDBBE提示:练习巩固：如图，在四边形ABCD中，ZB=ZD=90。,AB=AD,若E、F分别在边BC、CD上的点，且/EAF=2ZBAD-.求证：EF=BE+DFABBE提示:半角钢題:如国r将蜒点广顺时针族转抄.得g门”连瞎*仍”则也血丹，CtJ-CV,XAC

13、D-8CNtp-ZfCD=ACM-tZACD=ZACM-ZBC=歼巒“ytdcv.AMJCAAATrW-ACV-jr又易得41血=4卯+4于=餅.-在KlAliWD中,有川十/=z2,故应选竦习：L如医r正方形朋的边辰酣1.R.M上备存一成P一?若口陀的周隹为2求ZPT(?的眞数a严nEM3h如图fiF示在等腫直角的斜边异&上収两点Af*N,使WCV-45记却-m刚7.AV-h,求证：以-ft,”为边氏的二角吃的形狀是直角三角册.乙E、F分别是正方形遊D的边必、8上的点，旦血丄EF丿为垂足求证：All=AB.cliU4h已知：如图lRt4yC中,tABA点D*F分别为线段證上两动点,若Zfll

14、L_4刖-探究线段月少比曲三条馥段7间的欝量夫系4明的思路是：把心反骑点冲顺时針旌转也户，得到，宦结FD便问題導到解决一请你參考小明的思路探究并解;夬下列问题：皿髓噩）、虚、2T三条线段之同与在的数量式系式并对你的猜想给予证明；冊当朋点E在线段童口上动点D运动在线段延氏議上时，如图2,其它条件不变.中探究的结论是否炭生改变？请说明你的猜思井给予证朗.1、如图正方形血CD的边按为L他，一血上各存一点P、0,若2腔的周长为厂求ZPC0的度爲斡：出加牝境点（?虞转附到乂釦的位置，（?0=?F.-妊幺十廿7十qp=ij又锂4如+廿+Pfl=2,QD+BP=QP.又DQ=/iF,/.PQ=PF.：W=Z

15、FWP.又&CF=9(r.煙三4尸.求证:屈mAB解：延长册至存r使mdf,连结,易证匹個G竺ADF,ADj则.4D=I=n*CDCN,ZACD=ZJiC,故也Z-&C讨q乙CD-乙4山CAlQfP_4S45iZAJC*拭而SMDC呂AA0Qj贝l|.WD=JtV=x.flnZZ14.W=45-h45*=9CF,故杆彥角三角形HMD中百川+=?.法2；蒯门用上一习讨的对称变换“也龍儲懈答.如图所示,収何泊对秫轴博赵翻折到包违易证ACPN和ACifV关于C.V对称，且APA-1N为直甬三角形井且可得加一j!A/_砒,帕-临7刚i.圏iDE4.已知：如圄1在RIA砧中r/他,Ali=Aif点门，E分别为氏段HT上两动点若ZLkAEAS3，探兗馥段册ADEr取三聲理之间的散虽关系，小明的思路是：把吐壮匸绕点卫顺时针旋转期.得到也UH连结EDt便冋题得到解决请你螯考小明的思路舷井解决下列问題：删FD、DE、匸三磁尿之间存枉的数量羔系式，井对悔的猜銀给予证明；2）当动点在线尿上总点D运动在舗匚酋延妙上时其它条祥平变（1）中探究的结论是否友生改变?请说明悔的猜禺井给予还明(1)加=防+曲证明：很据ilC绕点诙时针施转财得到AECABir.4E=AEt,ZE4C=Z：4fi