面角的向量求法

1、。，电的夹角为华，则有日+甲=几（图1）或日=邛（图2）基本结论构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角.如何求平面的一个法向量：例题1:如图3,在正方体 ABCD-A iBCiDi中G、E、F分别 为AAi、AB、BC的中点，求平面 GEF的法向量。图3B漫谈向量法求解二面角台山华侨中学 梁剑平向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直 接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些空间 想象能力较差的同学提供了机遇。利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计 算

2、和一些证明的问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成的角和二 面角）时，法向量有着它独有的优势，以下举例全面剖析在立几中如何用法向量 求二面角。.利用法向量求二面角的大小的原理：设n1,n2分别为平面0，B的法向量，二面角 a _| _p的大小为日,向量 TOC o 1-5 h z 略解：以D为原点建立右手空间直角坐标系，则 E(1, 1,0)、F(1, 1,0)、 22111 11G(1，, 5)由此得:ge = (05W fe =(-,-0) 设平面的法向量为n=(x,y,z)由门_16=及门_15=可得-11 Cn * GE = 一 y z=02211n FE = x y = 0

3、22令y=1取平面的一个法向量为n =(1,1,1)评析 因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量(教简单的)即可三.法向量的应用举例：BC=4, AA1=2，点 Q 是 BC 的z例题4.在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB=2,中点，求此时二面角 AADQ的大小.解 如图2,建立空间直角坐标系.依题意：A1(0,0, 2), D(0,a,0).Q (2, 2,0),D (0, 4,0),.a1q =(2,2,-2),QD=(-2,20).面AA 1D的法向量n1 =(1,0,0).设面A1DQ的法向量 叫=(81,82,83),eh 尸2 A

4、iQ =2a1 +2a2 2a3 =0,82 =ai, TOC o 1-5 h z 则4 一 一.二1n2 QD = -2a1 +2a2 =0,03 =2ai, % =(8i,8i,28i).令 a1=1,则 m =(i,i,2),必 叫 i_6 cos0；若要法向量n的方向a“向前”，可设 n = (1, y,z)或 n = (%,y, z),其中、Xo 0；若要法向量n的方向“向右”，可设n=o /*1。)或1= (x,y0,z),其中 Vo 0所以，只要我们判断两个法向量的方向是/ -“一进一出，那么所求的二面角的平面角就等x/B图7于两法向量的夹角，如果是“同进同出”，那么所求的二面角

5、的平面角就等于两法向量的夹角的补角，掌握了这点，那么用法向 量求二面角就可以做到随心所欲。CiBi例题6改编自2007年福建高考题如图，正三棱柱ABC-AB1cl的所有棱长都为2 , D为CCi中点.(I )求证：AB1，平面 A1BD ;(H)求二面角A-AB-勒的大小；解：(I ) .取BiCi中点Oi,以O为原点，OB , Ooi , OA的方向为x, y, z轴的正方向建立空间直角坐标系.解略(H)设平面AAB的法向量为n =(x, y, z).AB =(i,0,-V3), 京=(0,2,0).n _ AB,n _ AAinAA = 2y = 0J n *AB = x- .3zi =0

6、令z =i,得平面aad的一个法向量n =(J3,0,i) 设平面AiBCi的法向量为v = (a,b,c).BA =(-i,2,V3), BC； = (-2,2,0).v _ BA,v _ BC；n *BA = -a 2b 3c =0二(一.n *BC； = -2a 2b = 0令a = -1,得平面 ABC；的一个法向量v = (-1,1,-J3)155 TOC o 1-5 h z n v-2 3cos :二 n,vnv25一 一，一, 15所求的二面角的平面角是 -arccos，评析 上题中的两个平面的法向量是符合“一进一出”的，所以它们的夹角就 等于所求的二面角的大小。可见通过判断法向量的方向，就可以解决直观不能判 断二面角的锐或钝的情况。将向量引入