2.基本不等式

1、基本不等式小店一中 任慧芳思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1ab问2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角形，它们的面积和是S=问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则正方形的面积为S=，问3：S与S有什么样的关系？ 从图形中易得，s s,即探究1探究2问题1：s, S有相等的情况吗？何时相等？ 图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 形的角度数的角度 当a=b时a2+b22ab=(ab)2=0结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成

2、立此不等式称为重要不等式探究2问题2：当 a,b为任意实数时， 成 立吗？ 类 比 联 想 推 理 论 证 （特别的）如果 也可写成 a0 ,b0 , 当且仅当 a=b 时“”号成立 此不等式称为基本不等式探究3概念算术平均数几何平均数(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数.(2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.aboABPQ对基本不等式的几何意义作进一步探究:如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则PQ=_,半径AO=_几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长探究4 已知 都是正数，试探究：（1）如果积 是定值P

3、，和 是否有最小值？若有，那么当 时，最小值为：（2）如果和 是定值S，积 是否有最大值？若有，那么当 时，最大值为探究5例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m. 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 强调：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最

4、大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18矩形菜园的面积为xym2=18/2=9得 xy 81当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2强调：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。应用基本不等式求最值的条件： a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最大强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“”应用基本不等式求最值的条件： a与b为正实数若等号成立，a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最

5、大强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“”例2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:由容积为4800m3,可得:3xy=4800因此 xy=1600由基本不等式与不等式的性质,可得即 当x=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低总造价为297600元.练一练练习1：练习2：若的最小值。求1. 两个不等式（1）（2） 当且仅当a=b时，等号成立注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。2.不等式的简单应用：主