3.1.4概率的加法公式

1、3.1.4 概率的加法公式 高一数学组 孟欣 陈黎红一、互斥事件、事件的并、对立事件 1互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件（或称为互不相容事件）;2事件的并：由事件A和B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或A、B都发生）所构成的事件C，称为事件A与B的并（或和）。记作C=AB（或C=A+B）。 事件AB是由事件A或B所包含的基本事件所组成的集合。 3.对立事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件。事件A 的对立事件记作A.例1. 抛掷一颗骰子，观察掷出的点数. 设事件A为“出现奇数点”，B为“出现2点”. 已知P(A)= ，P(B)= ，求“出现奇数点或2点”的概

2、率。这里的事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件 设事件C为“出现奇数点”或2点”，它也是一个随机事件。 事件C与事件A、B的关系是：若事件A和事件B中至少有一个发生，则C发生；若C发生，则A，B中至少有一个发生，我们称事件C为A与B的并(或和)如图中阴影部分所表示的就是AB. 例2.判断下列各对事件是否是互斥事 件，并说明理由。 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中（1）恰有1名男生和恰有2名男生；（2）至少有1名男生和至少有1名女生；（3）至少有1名男生和全是男生；（4）至少有1名男生和全是女生。是不是不是是 例3.判断下列给出的

3、每对事件，（1）是否为互斥事件，（2）是否为对立事件，并说明理由。 从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花，点数从110各4张）中，任取1张：（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”。是不是是是不是不是 解：（1）是互斥事件，不是对立事件；（2）既是互斥事件，又是对立事件；（3）不是互斥事件，当然不可能是对立事件； 所以对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件。 假定事件A与B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)。 二、互斥事件的概率加法公式 证明：假定A、B为互斥事件，在n次试验中，事件A出现

4、的频数为n1，事件B出现的频数为n2，则事件AB出现的频数正好是n1+n2，所以事件AB的频率为 如果用n(A)表示在n次试验中事件A出现的频率，则有n(AB)=n(A)+n(B). 由概率的统计定义可知，P(AB)=P(A)+P(B)。一般地，如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么P(A1A2An)=P(A1)+P(A2) +P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于概率的和. 在求某些较为复杂事件的概率时，先将它分解为一些较为简单的、并且概率已知（或较容易求出）的彼此互斥的事件，然后利用概率的加法公式求出概率. 因此互斥事件的概率加法公式具有“化整为零、化难为易”的功效，但需要注意的是使用该公

5、式时必须检验是否满足它的前提条件“彼此互斥”.例1中事件C：“出现奇数点或2点”的概率是事件A：“出现奇数点”的概率与事件B：“出现2点”的概率之和，即P(C)=P(A)+P(B)=例4. 在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51,在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09，计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.解： 分别记小明的成绩在90分以上，在8089分，在7079分，在6069分为事件B，C，D，E，这四个事件是彼此互斥的. 根据概率的加法公式，小明的考试成绩在80分以上的概率是P(BC)=P(B)+

6、P(C)=0.18+0.51=0.69.小明考试及格的概率为 P(BCDE)=P(B)+P(C)+ P(D)+P(E) = 0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.对立事件的概率 若事件A的对立事件为A，则P(A)=1P(A).证明：事件A与A是互斥事件，所以P(AA)=P(A)+P(A)，又AA=， 而由必然事件得到P()=1, 故P(A)=1P(A). 在上面的例题中，若令A=“小明考试及格”,则A=“小明考试不及格”如果求小明考试不及格的概率，则由公式得P(A)=1P(A)=10.93=0.07.即小明考试不及格的概率是0.07. 例5. 某战士射击一次，问：（1）若事件A=“中靶”的概率为0.95，则A的概率为多少？（2）若事件B=“中靶环数大于5”的概率为0.7 ，那么事件C=“中靶环数小于6”的概率为多少？（3）事件D=“中靶环数大于0且小于6”的概率是多少？ 解：因为A与A互为对立事件，（1）P(A)=1P(A)