3.1.1线性回归思想

1、3.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）高二数学 选修2-37/27/20221复习一 变量之间的关系 1 确定性的函数关系 2 不确定性的相关关系： 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系，相关关系是一种非确定的关系7/27/20222.年龄脂肪239.52717.83921.24125.9454927.526.35028.25329.65430.25631.45730.8年龄脂肪5833.56035.26134.6如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄 之间有怎样的关系吗？二 线性回归分析的步骤 :7/27/20223下面我们以年龄为横轴，脂

2、肪含量为纵轴建立直角坐标系，作出各个点，称该图为散点图。如图：O20253035404550556065年龄脂肪含量5101520253035401 画散点图将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图像叫散点图7/27/20224从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关。但有的两个变量的相关，如下图所示：如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。 作出散点图发现，它们散布在从左上角到右下角的区域内。又如汽车的载重和汽车每消耗1升汽油所行使的平均路程，称它们成负相关

3、.注：可考虑让学生思考书P77的思考.O（1）正相关，负相关7/27/20225我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附 近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系,这条直线叫做回归直线，该直线叫回归方程。那么，我们该怎样来求出这个回归方程？请同学们展开讨论，能得出哪些具体的方案？20253035404550556065年龄脂肪含量0510152025303540（2） 线性相关7/27/20226我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强，人们经过长期的实践与研究，已经找到了计算回归方程的斜率与截距的一般公式:以上公式的推导较复

4、杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。（参看如书P80）2 回归方程的求解 7/27/20227 线性回归分析的步骤 :1、画散点图4、用回归直线方程进行预报3、求回归直线方程 2、求 8 最小二乘估计公式 ：称为样本点的中心。9三 描述两个变量之间线性相关关系的强弱的相关系数r10课前检测： 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料。使用年限x 23456维修费用y 2.23.85.56.57.0若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求：（1）线性回归方程 的回归系数 ；（）估计使用年限为10年时，维修费用

5、是多少？使用年限为10年时，维修费用是:12.38万元11 2008年5月，中共中央国务院关于加强青少年体育、增强青少年体质的意见指出城市超重和肥胖青少年的比例明显增加.“身高标准体重”该指标对于学生形成正确的身体形态观具有非常直观的教育作用. “身高标准体重”从何而来？我们怎样去研究?创设情境：12例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。问题呈现：女大学生的

6、身高与体重13解； 1.由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量x，体重为因变量y3.回归方程：2. 散点图；4.本例中, r=0.7980.75这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的。14探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg。15例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/

7、kg4857505464614359女大学生的身高与体重16我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e， (3)其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)= (4) 在线性回归模型(4)中，随机误差e的方差 越小，通过回归直线 (5)预报真实值y的精度越高。随机误差是引起预报值 与真实值y之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。另一方面，由于公式(1)和(2)中 和 为截距和斜率的估计值，它们与真实值a和b之间也存在误差，这种误差是引起预报值与真实值y之间误差的另一个原因。17 假设 1:身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，

8、 54.554.554.554.554.554.554.554.5体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号54.5kg怎样研究随机误差？185943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号 假设2:随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。 怎样研究随机误差？19 因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，称 为残差。例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：20我们可以用相关指数R2来刻

9、画回归的效果，其计算公式是如何衡量预报的精度？显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。 如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。21学以致用：1、在对两个变量，进行线性回归分析时有下列步骤：对所求出的回归方程作出解释，收集数据（，）求线性回归方程，求相关系数，根据所搜集的数据绘制散点图如果根据可靠性要求能够作出变量，具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是（）22学以致用：2、对于相关指数，下列说法正确的是（）、的取植越小，模型拟合效果越好、的取值可以是任意大，且取值越大拟合效果越好、的取值越接近，模型拟合效果越好、以上答案都不对23学以致用：3、甲、乙、丙，丁四位同学各自对，两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：则哪位同学的实验结果体现，两变量有更强的线性相关性甲乙丙丁24学以致用：4、 已知两个变量x和y之