24讲：91幂法反幂法

1、第九章 矩阵特征值与特征向量的计算矩阵特征值与特征向量的计算 幂方法及程序 幂法的加速反幂法及程序Jacobi方法及程序QR方法及程序幂方法与反幂方法第一节 幂法与反幂法 幂法运算及程序 幂法的加速反幂法及程序引言 小结 在实际问题中，矩阵的模最大特征值往往起重要作用，例如矩阵的谱半径就是矩阵的模最大特征值，它决定了迭代矩阵是否收敛。因此矩阵的模最大特征值比其他特征值的地位更加重要. 幂法就是计算矩阵的模最大特征值及特征向量的数值方法。 反幂法就是计算矩阵的模最小特征值及特征向量的数值方法。一、引言如何计算矩阵的特征值和特征向量？在线性代数中（1）计算特征多项式（3）将所求的特征根逐个代入方组

2、中，所有引 言要历经下列步骤：（2）计算特征多项式的根解的全体组成A的特征向量。Mathematica语句（1）求A的全部特征值、特征向量: EigensystemA（2）求A的数字特征值： EigenvaluseA（3）求A的特征向量组: EigenvectorsAClearA,xA=1,2,1,-1,2,1,0,4,2;MatrixForm%EigenvaluesAEigenvectorsA;MatrixForm%DetA-x*IdentityMatrix3EigensystemA(4) 求A的特征多项式：DetA-x*IdentityMatrix3程 序1 2 1-1 2 10 4 2

3、2 3-6 x + 5 x - x0, 2, 3, 0, -1, 2, 1, 0, 1, 3, 1, 4运行结果：程序运行结果预备知识：预备知识预备知识 二、幂法运算及程序幂 方 法幂 方 法解题步骤：幂 方 法幂方法说明几点说明：因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干次后，必然它在u1方向上的分量不为零，这样，以后的计算就满足所设条件。会产生一个向量 ，1）如果 的选取恰恰使得a10，幂法计算仍能进行。或由初始向量的任意性，选取其它不为零的初始向量。幂方法说明幂方法说明幂方法说明用幂法求矩阵按模最大特征值1和对应的特征向量x1 。解:取初始向量V0=(0.5,0.5,1.1)T ，根据程序：

4、A=2,-1,0,0,2,-1,0,-1,2;MatrixForm%vx=0.5,0.5,1.1;Dovy=A.vx;Printk, ,vy, ,vy1/vx1, , vy2/vx2;vx=vy/MaxAbsvy,k,1,15EigensystemA例1 运行结果：幂方法例题 反幂法就是计算矩阵A的模最小特征值（即求A的逆的最大特征根）及特征向量的数值方法。 三、反幂法运算及程序反幂法及程序因为 的计算比较麻烦，而且往往不能保证矩阵A的一些好的性质，如稀疏性，因此反幂法在实际计算 时以求解方程组:代替幂法迭代：反幂法及程序例2A=2,-1,0,0,2,-1,0,-1,2;MatrixForm%

5、y=0,0,1.;Dox=LinearSolveA,y; Printk, ,x, ,y1/x1; y=x/MaxAbsx,k,1,20EigensystemAMathematica语句反幂法例题1 0.166667, 0.333333, 0.666667 02 0.458333, 0.666667, 0.833333 0.5454553 0.708333, 0.866667, 0.933333 0.7764714 0.855655, 0.952381, 0.97619 0.8869575 0.930132, 0.98374, 0.99187 0.9423656 0.966146, 0.9945

6、36, 0.997268 0.9706167 0.983483, 0.998174, 0.999087 0.9850638 0.991886, 0.999391, 0.999695 0.9924349 0.995993, 0.999797, 0.999898 0.99618110 0.998013, 0.999932, 0.999966 0.99807711 0.999012, 0.999977, 0.999989 0.99903412 0.999508, 0.999992, 0.999996 0.9995151, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, -1, 1运行结果为：反幂法程序运行结果内