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1、样本平均数的方差的推导:假定从任意分布的总体中抽选出一个相互独立的样本Xjl|,Xn，则有E(xJ即每一个样本单位都是与总体同分布的。在此基础上,证明样本平均数以总体平均数为期望值。E(X)=E(XiX2IIIXnn1E(XiX2IIIXn)n1E(Xi)E(X2)IIIE(Xn)1n1_(XX山X)二Xn接着，再以此为基础，推导样本平均数的方差。在此,需要注意方差的计算公式为:E(X-E(X)2以下需要反复使用这一定义:-X)2三二E(X-E(x)2=E(122EC(xX2IIIXn)-nX)nTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4122E(Xi-X)(X2-

2、X)III(Xn-X)n一1X)12E(Xi-X)(X2-X)III(Xn-X)(Xi-X)(Xj-X)nIL心-E(Xi-X)2E(X2-X)2IIIE(Xn-X)2八E(Xi-X)(Xjn122nn在证明中，一个关键的步骤是vE(Xi-X)(Xj-X)=0，其原i誚因在于这一项事实上是Xi与Xj的协方差。由于任意两个样本都是相互独立的，因此其协方差均为0。如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差n小于0。此时样本均值的方差为或=丄，也nN1样本方差的期望:证明了样本平均数的方差公式后，我们可以来分析一下样本方差的情况。n送(Xi-X)2先构造一个统计量为Sg，我们来求它的期望。TOC o 1-5 h z-x2-2根据方差的简捷计算公式：4-(X)，可得nE(S)=-Ex2-nX2二1E(xJ_nE(x2)nn-其中，同样运用简捷计算公式，可以得到：E(x：)乂；(E(xJ)2乂；X2；_2222；x2E(x)7(E(x)Xn原式化为E(S)=-|nX+X2)n(+X2)n.n一_2TOC o 1-5 h z22TX2=(；-XX)-(X)nn-12Xn等式的两端同除以右侧的系数项，得到E(一S)Vn-1TOC o 1

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