常见特殊数列求和

1、常见特殊数列求和前n项和公式都是以正整数为自变量的函数，在熟练掌握等差、等比数列求和方法的基础上，还要会用其他方法求常见特殊数列的和。一、分解法有些特殊数列可以分解为基本的等差数列或等比数列，再分别求和。TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark111111例1：求数列1斤，2丁,3-，n的前n项和S。2482nn.解：这个数列可以分解成一个等差数列和一个等比数列之和。11111112nS=1+2-r+3=+n=(1+2+3+n)+(+-；+n2482n24n(n,1),1)2+1-二、错位相减法有些数列可以把原数列的前n项分别乘以一个适当的因数作出一个辅助数列，它与

2、原数列相减，从而得到S所满足的一个关系式，然后解出S。nn123n例2：求数列.，c的前n项和S。222232nn123n-1n解：S=+-+1作辅助数列：上式两边同时乘以21123n-1nS=+2n2223242n2n,1S=2-n12n-1于是-，得112132nn-1nSS=+(一）+(-)+(-)n2n2222223232n2n2n,1111111nS=+一+一+2n22223242n2n,11111-22nn1n=-=11-12n,12n2n,1评注：设a1，a2，a3，a组成等差数列，b,b2，b3，b组成等比数列，那么求TOC o 1-5 h zn123naaaaS=+2+d,+

3、t*或S=a1b1+a2b2+a3b3+ab都可以考虑用错位相减法求和,nbbbb112233nn123n第1页共3页第 页共3页一般是在原式两边同时乘以等比数列的公比，作辅助数列，然后两式错位相减。这种方法主要来源于等比数列求和公式的推导。三、裂项法把数列的每一项都拆成两项的差，拆分后的相邻两项能够相消去，这样所得的结果只剩下首末两项，再化简就是数列的和。11例3：求数列帀，23134一右一祜的前n项和Snm+1n解：1、n(n+1,第 #页共3页第 #页共3页111丄丄丄S=+n122334n1111nn+1111=1-+-+223341n+1n+1第 #页共3页第 #页共3页评注：凡属a

4、aa12k，(其aaa23k+1aaann+1n+k1第 #页共3页一般都可以用“裂项法”求解。中a,a2,a3，a组成等差数列)。这种形式的数列,123n四、累加法在推导自然数的n次幕的和的公式时，常用累加法。例4：求数列12,22,32,，n2的前n项和S。n解：(n+1)3=n3+3n2+3n+1.*.(n+1)3-n3=3n2+3n+1第 #页共3页第 #页共3页.23-13=3X12+3X1+133-23=3X22+3X2+1第 #页共3页第 页共3页43-33=3X32+3X3+1n+1)3-n3=3n2+3n+1把上面各等式两边分别相加，得(n+1)3-13=3(12+22+32+n2)+3(1+23+n)+n.3(12+22+32+n2)=(n+1)3-13-3X-n=n(n+1)(2n+1)26S=n(n+1,(2n+1)n6事实上,累加法和裂相法从思路上说都是利用交叉相消的方法求出这类数列的和。特殊数列求和没有一般规律可循,除上面介绍的四种方法以外,还有一些数列求和的特殊技巧,举例如下：例5：求S=7+77+777+7777n解：7S=(9+99+999+9999)n97=9【(10-1)+(102-1)+(103-1)+(10n-1)7=9(10+102+103+10n)-n=97101-10J-n1-1