问题2+线性规划中的参数问题-2018届高三数学成功在我之优等生提分精品+版含解析

1、2018届高三数学成功在我专题六不等式问题二：线性规划中的参数问题一、考情分析线性规划是高考必考问题 ，常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题.而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值.二、经验分享（1）求平面区域的面积：首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；对平面区域进行分析 ，若为三角形应确定底与高 ，若为规则白四边形（如平行四边形或梯形 ，可利用面积 公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解

2、再求和即可.（2）利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.（3）先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题 .（4）当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件 ，含参数的平面区域问题，要结合直线 的各种情况进行分析，不能凭直觉解答，目标函数含参的线性规划问题 ，要根据z的几何意义确定最优解，切 忌搞错符号.三、知识拓展常见代数式的几何意义：由2+ y2表示点（x, y）与原点（0,0）的距离，x a2y b2表示点（x, y）与点（a, b）的距离；X表示点（x, y

3、）与原点（0,0）连线的斜率，?三表示点（x,y）与点（a, b）连线的斜率.四、题型分析（一）目标函数中含参数若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域 内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值.目标函数中x的系数为参数x y -2 - 0【例1】【广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试，11】已知x,y满足约束条件x-2y-2W0,若2x - y 2 - 0z = y -ax取得最大值的最优解不唯二,则实数a的值为（）A. 1 或-1 B , 1 或 2C.1 或 2 D . -1 或 22【答案】D【解析】在直角坐标系

4、内作出不等式组所表示的平面区域，如下图所示的三角形 ABC ,目标函数z = y ax可变形为y = ax + z , z的几何意义为直线 y = ax + z在y轴上的截距，因为z = y _ ax取得最大值的最优解不唯一，所以直线y = ax+z与区域三角形的某一边平行，当直线y=ax + z与边线x + y-2 = 0平行1时，a = -1符合题思，当直线y = ax + z与边线x-2y-2 = 0平仃时，a =不符合题息，直线y = ax + z与 2边线2x-y -2 =0平行时，a =2符合题意，综上所述，实数a的值为-1或2,故选D.【点评】线性规划问题的最优解一般在平面区域的

5、边界顶点处或边界线上，当最优解为边界顶点时，最优解唯一，当最优解不唯一时，说明目标函数所表示的直线与区域的某一边平行，其最优解为边界线段上的所有的点.3x - y - 2 0 )的最大值为x -y 2-0,a =.【答案】3.3.【解析】约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B (4,1 )点是取得最大值， 1 = 4-a0,b 0)的最小值为2,则ab的最大y -x值为. i【答案】1 .4【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，易求得A(2,2), B(2,3),要目标函数 TOC o 1-5 h z ,，a b、21z = ax 十by(a 0,b 0)的最小值为 2, 2a +2

6、b = 2 ,即 a =b =1 , /. ab ()=一 ,当且仅当24.1-1a = b =一等3成立.故 ab的取大值为 一.24【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用.应明确若可行域是封闭的多边形，最优解一般在多边形的顶点处取得.应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”，缺一不可.2x - y - 2 0【小试牛刀】【广东省汕头市2017届高三上学期期末】设变量 x, y满足约束条件|x-2y+ 220,且x y - 1 - 0,22z=(a +1)x3(a +1)y的最小值是20,则实数a=.【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域 ，如图所示，由图知，当z =

7、 (a2 +1)x -3(a2 +1)y经过点A(2, 2)时取得最小值20 ,即 2(a2 +1)-6(a2 +1) = 20，解得 a =2 .y4.目标函数为非线性函数且含有参数x y 4,【例4】设不等式组 0)不经过区 x-1 至 0域D上的点，则r的取值范围是()A. 2. 2 ,2 5 1B. 2、,23.21C. 3,2,2. 5 1D. 0,2,. 2 一 2、. 5,二【答案】D.【解析】不等式对应白区域为 MBE .圆心为(-1,-1),区域中A到圆心的距离最小，B到圆心的距离最大，x=1、x=1x=1要使圆不经过区域D,则有0 r AC或r A BC .由 得，即A(1

8、,1).由，得x =1，即 B(1,3).y = 3y = x y = 1y=-x + 4AC =2j2 , BC =2j5 , 0 r 2，5 ,即 r 的取值范围是(0,2 .2) (2 5,二)，选 D.【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义，即圆与可行域无公共点的问题.对于目标函数为平方型：22z=(x -a )十(y-b ),可看成可行域内的点P( x y)与定点Q( a b)两点连线的距离的平方，即22,2PQ =(x -a ) +(y -b )；也可看成是以Q(a,b )为圆心，Jz为半径的圆，转换为圆与可行域有无公共点的问题.2x - y 0,【小试牛刀】【江苏省泰州中学

9、2017届高三摸底考试】已知实数 x、y满足x + y -5 A 0,若不等式I y -4 一 0,a(x2 +y2)之(x + y)2恒成立，则实数a的最小值是.5【解析】可行域为一个三角形 .,5 10 vABCM其内部,其中 A(2, 4), B(1,4), C(, 一)，因此 2 w kA, %b = 2, 4,因 3 3 xv x为一* 在2, 4上单调递增x y，所以Itx y75，17,不等式a（x2 +y2） （x + y）2恒成立等价于 TOC o 1-5 h z (x y)299a -22- max 二1-max =: amin = 一 x yy x 55x y,其次确【点

10、评】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围（二）约束条件中含参数由于约束条件中存在参数，.可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值.x 1,【例5】【河南省豫北名校联盟 2017届高三年级精英对抗赛】 已知实数x, y满足不等式组x-y + m2至0,x + y 1 之 0,若目标函数z = -2x + y的最大值不超过4,则实数m

11、的取值范围是（）A. (-V3J3)B . 0,峋 C.-73,0D . -73,73【答案】D2.2八【解析】由x 一y m =0, x y -1 = 0,21 -m1 m22，作出不等式组x 1,在约束条件 yWmx下，目标函数z = x + my的最大值大于2,则m的取值范围为、x + y E1（ ）.A. 1,1 +&） B . 1+衣尸） C . （1,3） D . （3尸）【答案】B，,1 Zl一人，一，【解析】把目标函数转化为y = -x +,表示是斜率为,截距为-的平行直线系m,当截距最大时，z最大，当过点时，截距最大2,解之得 m1+J2._ x y _ a.一 .【小试牛刀

12、】设 x, y满足约束条件x y 且z = x+ay的最小值为7,则a = x-y 0时,z 有最小值：z=2a2 2a - 1a2 2a -1,则=7 ,解得:2a =3；当a x, 且z = 2x + y的最小值为 y - -x b,4,则实数b的值为（A. 1 B. 2 C.【解析】作出不等式组对于的平面区域如图:m my= - 2x+z的截距最小时,z也取得最小值，2x y = 4则不等式组对应的平面区域在直线y= - 2x+z的上方，由;，解得2x - y =0y =2即A ( 1,2 ),此日A也在直线y= - x+b上,即2=- 1+b,解得b=3,故选D.2.【广东郴州市201

13、7届高三第二次教学质量监测】设关于2x - y 1 0! x, y的不等式组x + m 0内存在点P(x0,y0),满足x0 一2yo =2.则m的取值范围是()A.(-二:4、，1、，23) B . (-c3) c.(”,一3CD . (-00,_53由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点P(x0, y0)使2x0 -2y0 = 2成立，只2要点A(-m,m)在直线x -2y -2 =0下万即可，即m 2m -2 A 0解得m 1)所表示平面区域的面积为S,y - -kx 4k,kS则上的最小值等于()k -13032C.34D. 36【解析】kSk -18k2k -1:

14、8(k1) + 2+ 1 上82,/(卜_1)，工+2 = 32,当且k-1, k-1仅当k =2时取等号，所以选B.4.12016届河南省信阳高中高三上第八次大考】设x y - 6 . 0Ix,y满足不等式组2xy 1M0,若z = ax + y的最大3x-y-20值为2a +4 ,最小值为a +1,则实数a的取值范围为A. -1,2B . -2,1C . -3,-2 D . -3,17 11，如图所示的AABC内部(含边界)，其中A(1,1), B(- ), C(2,4), 3 3【解析】作出约束条件表示的可行域z = ax + y的最大值为2a +4 ,最小值为a +1 ,说明z在点C处

15、取得最大值，在点A处取得最小值，则有kBc -a - kBA, kBc/ 114 -7 = -1, kAB2 -3=2 ,所以1 W a E 2,即2 W a E1,选 B.5.12016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】x-1,已知a a 0, x, y满足约束条件x+y = 3,若z = 2x+y y-a(x-3)的最小值为1,则a =()故答案选BA. 1 B . 1 C , 1 D , 2 TOC o 1-5 h z 42【答案】B【解析】先根据约束条件画出可行域，设z = 2x + y ,将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x + y经过点B时，z最小，x =1x =1a由l2

16、x y 一1得：1y 一一1，代入直线y =a(x3),解得22017届高三第一次联考】已知 x, y满足约束条件x y -2 -0权-2y-2 0,若2x + y + k之0恒成立，则实数k的取值范围为 2x -y 2-0【答案】k -6【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中A(2,0), B(-2,-2),C(0,2)，直线z = 2x y过点b时取最大值6,而2x+y+k之0恒成立等价于k之_(2x + y)max =6x -17.12016届广西河池高中高三上第五次月考】已知aA0,x,y满足约束条件 x+yM3 ，若z = 2x+y的y -a(x-2) 11最大值为一，则a

17、=()2C . 1 D . 2A. 1 B4【答案】C【解析】根据题意作出 x, y满足约束条件下的平面区域,如图所示，由图知，当目标函数z = 2x + y经过点A(2a3,)时取得最大值 U,所以2 Ma 1 a 122a 3十a 1_a_ = U，解得a = 1,故选C.a 12x-ky-20,8.若实数x , y满足 0 ,其中k 0,若使得x 6y -10 -1【解析】作出不等式组Jx -y 2 表示的区域如下图所示.由2 = 2*+丫得：y = ax + z .当a0时,3x y 14平行直线的倾斜角为锐角,从第一个图可看出，a = 1时，线段AC上的所有点都是最优解；当 -a 0

18、时，直线即为 -+-y 1,其在x轴的截距2之2n 0 0,二由a M b+c E 2a,得1 E +E 2 a ab c b由 b E a+ c E 2b得一E1 + 2.设bx = 一,ya_ x y _ 22 1 _则有xM1+y ，其可行域如图，其中A( ,),B(3 31 y _2x3 1.b一,一工x =2 2ay 2x 0)取得最小值 y 1k .可知目标函数 z=2xy,经过点|_二,0 3的最优解有无数多个，则m的值为z = mx + y可化为y = -mx + z, = -m 1,变量x, y在约束条件y W mx下，目标函数 x y -1z = x + my的最大值为2

19、,【答案】m =1 、,2【解析】作出可行域如图所示当直线z = x + my经过点B时，z有最大值，此时点B的坐标为=2，解之得 m =1 + J2或 m = 1 J5 (舍去)，所以 m =1 +J2 .x ,0,17.若关于x, y的不等式组y之x, （ k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则kx - y 1 _ 0k =.【答案】1或0 .x .0, _一 【解析】作出不等式组 y2x,表木的区域如下图所不，由图可知，要使平面区域的边界是一个直角三kx -y 1 .0-2-2x-2y- 2 018.【湖北七市（州）教研协作体2018年33月高三联考】已知 x, y满足约束

20、条件 x+y-20 ，若-32x-y 2_0z = ax + y取得最大值的最优解不唯一 ，则实数a的值为【答案】-2或1【解析】由题可知若 z = ax + y取得最大值的最优解不唯一则y = -ax + z必平行于可行域的某一边界 ，如图:要Z最大则直线与y轴的截距最大即可，当a0时，则直线平行 AB即可，故a=119.【安徽省宿州市2018届高三上学期第一次教学质量检测】在平面直角坐标系中，若不等式组x y -1 _0 x-1 0（ a为常数）所表示的平面区域内的面积等于1,则a的值为.ax -y 1 _0【答案】1题意得直线ax y+1 =0过定点（0,1）.当a0时，不等式组所表示的平面区域为上图中的M 一个无限的角形区域，面积不可能为2,故a0不合题当a? 0时，不等式组所表示的平面区域为上图中的N为三角形区域.若这个三角形的面积为1,则有AB=2,所以点B的坐标为（1,2）,代入ax - y+1 = 0，得a=1.x 2y _ 0,20 .【福建省漳州市2018届高三上学期