专题1.5 圆锥曲线（解析版）

1、专题1.5锥曲线题组一、圆锥曲线中的直线问题11、（2021 江苏南通市高三期末）己知椭圆C：4 +（T11、（2021 江苏南通市高三期末）己知椭圆C：4 +（T2m = l（ab0）经过点A（2,l）,椭圆。在点人处的切线方程为y = x + 3.（1）求椭圆C的方程；（2）设过点8（3,0）且与X轴不重合的直线/与椭圆。交于不同的两点M, N,直线AM, 4/V分别与直线X = -3分别交于P, Q,记点的纵坐标分别为p, q,求P + q的值.【解析】（1）由题意知椭圆。在A（2,l）处的切线方程为习+耳=1也为y = 一工+ 3a b22椭圆。的方程为E +匕=1.63（2）（2）直

2、线/的方程为y =（x3）, M（冲J, N（x2,y2）二（；*nE_6x + 9） 6 = 0设户（气,%）（%。），=1,用代数方法求出弦长设户（气,%）（%。），=1,用代数方法求出弦长，又由题意可得A（扼,1）,代入椭圆方程可解得W=4,从而可得椭圆的方程; 根据相交两圆的公共弦所在直线方程的求法得到直线CD的方程为XX。+ XV。 EG,从而可得OEG的面积，最后根据函数的知识求范围.试题解析：（1）. 四边形ABE 为面积等于20的矩形， 1 x 2c = 22，故 c = 2，椭圆方程化为二+ 4= 1 ,CT CT _2.点A在椭圆上， TOC o 1-5 h z 11 =

3、1，CT Cl _ 2整理得”_5屏+4 = 0,解得。2=4.22椭圆G的方程为疽% = 1；（2）设P（Xo，y）（No主0）,则以线段OF为直径的圆的方程为（仍，又圆。的方程为尤2+y2=i, 两式相减得直线CD的方程为欢 + J% = 1.消去y整理得(2入()2 + 乂； )x2 4x0 x + 2 - 4y(： = 0.直线CZ）与椭圆G交于旦G两点， = 16X（）2 一 4（2虹 + 号）（2 _4%2） = 24才（而：+）（）,设研工1，凹）0（工2况），则 EG = J1 +则 EG = J1 +又原点到直线CD的距离为d = /寸玉）+ %S、1 OEG 2=EGd =

4、4x02 + 2y02 -1 =扼212必+。2（2气2 +为2）2AB,C,D四个不同点.求,的取值范围;(2)求四边ABCD面积S的最大值及相应厂的值. TOC o 1-5 h z 、兀 _4度-2x02 + y02 一 3必 + 4 0 x02 4 ,1.一0）相交于(1)【解析】(1)联立抛物线与圆方程【解析】(1)联立抛物线与圆方程寸=8工(x-8)2 + / = r2消 y 可得：x2-8x + 64-r2=0要圆与抛物线有四个不同交点，即方程有两个不等正根.所以,64-r2 064-4(64-尸2)0解得：43 rXj 0,则尤+扬=8,玉尤2=64-尸2 S = ：(4卜2入+

5、 42入2 )(入2 _ 工1) =(2。2工+ 22x2_ 站)(2)8(羽+%2 +2山工2 )(工2 +尤1 )2 _4尤尤2 S2 =64(4 + j64_l)16 (64_产)S2 =令尤=丁64-尸之(0 x 4)f (力=(4+ 尤)(16 尤2)(0 v XV 4)/ (x) = 16-8x-3x2 = (4-3x)(x + 4)4当0工0, f(x)单调递增;4,当一v工 4时，/ (x) 0, /(x)单调递减.f (对-=J4、 204827，S = E 半44a/35r =,当x = i时，S取得最大值，即64_=一,33方法二：/(x) = (4+x)(16-x2)

6、= |(4+x)(4+x)(8-2x)3 20481273 2048127S = !(4+x)(4 + x)(8-2x)瑚(4 + x) + (4 + k) + (8-2x)当尤+4 = 8 2尤时，即x = , S取得最大值，64-尸=,尸=4右333题组三、圆锥曲线中的定点、定值问题2231、（2021-山东泰安市高三期末）己知椭圆。：与+当= 1（。50）的左顶点为A（2,0）,点一1,三 在3、2；椭圆C上.（1）求椭圆C的方程;（2）过郴育圆。的右焦点F作斜率为，（10）的直线/,交椭圆。于M，N两点，直线AM, AN分别与直线工=之 交于点p, Q,则莎巧是否为定值？请说明理由.

7、c【解析】19在椭圆C上，彳+ - = 1,二）2 = 3 ,22.椭圆C的方程为：土 +匕=1.43（2）是定值-?，理由如下:4设肱（而双）,N（如巧），直线/的方程为y =、（x_l）（SO）,y =札尤_1）工2 y2 ,整理得（4妒+3）x2-Sk2x + 4k2-n = 094V-12 x + x9 =-，尤声=-12 4E -狄+3设P（3,*）,。（以），则圣=斜，*=壬 = 4同理可得% = 5*（易T）易+ 2FP =2 5札而_1）、,FQ，5 雄 _1）、护2 J+ 22V.序.电=4 +罕nN = 4 + 25 W 十+易)+ 1+2)(%2 +2)尤花 +2(尤1

8、+ x2) + 44妃_12 龈之=4 + 25k2 哲+3_4定 34好126k2.44妒+3 *4+3 +.序网为定值-?3-2. （2021-山东德州市高三期末）已知点氏、E分别是椭圆C的左、右焦点，离心率为g,点P是以坐标原点。为圆心的单位圆上的一点，且P*机 =0.（1）求椭圆c的标准方程;（2）设斜率为A的直线/（不过焦点）交椭圆于/W, N两点，若x轴上任意一点到直线心与与的距离均相等，求证：直线/恒过定点，并求出该定点的坐标.【解析】22设椭圆的标准方程为亳+ J = 1,户（3）a b屏=2尸=1c2=c _ V2a 2由题意可得J+y2=l解得:(工G y)3 + c, y

9、) =。 b2 +c2 =W22即椭圆C的标准方程： +匕=1.1设直线 /： y = kx + m.M(xyiN(x2.y2), y. kx,+m , y9 kx? +m 则知=不=-，编=TT=TF土+匕=1有 0-4mk因为x轴上任意一点到直线与NF；的距离均相等,所以x轴为直线心气与N*的角平分线,所以幻街+ *NF_kx+m kx2+mXj + 1工2 + 1=0,即2kxx2 +(m + k)(x + x2) + 2m = 0所以2比圭+g)*1 + 2k21 + 2k2+ 2m = 0整理化简得：m = 2k 即直线 /： y = kx + m = kx + 2k = *(x +

10、 2)故直线恒过定点（2,0）.3-3、（2021-湖北高三期末）己知在平面直角坐标系中，圆A： x2 + y2 + 2/7% 57 = 0的圆心为A，过点 B侦,0）任作直线/交圆A于点。、D,过点3作与平行的直线交AC于点（1）求动点E的轨迹方程；（2）设动点E的轨迹与轴正半轴交于点P,过点P且斜率为佑化2的两直线交动点日的轨迹于M、N两 点（异于点P）,若佑+七=6,证明：直线MN过定点.【解析】（1）求出圆A的圆心坐标和半径，利用AC = AD = r = S,平行关系可得/EBC = ZECB ,即EB = EC,进而可得EB+EA = EC+EA = r = SAB = 2y/；7

11、由椭圆的定义即可求解.（2）设7V（x2,j2）,当直线切V的斜率存在时，设直线枷的方程为： =奴+初，与椭圆 方程联立可得尤|+工2、工1尤2，利用佑+处=6可得比与m之间的关系，代入直线y = kx + m 中，即可得所过的定点，再计算直线枷 的斜率不存在时直线MN的方程，即可求解.【详解】2（1）由圆 A：工2 +2+2/7工57 = 0 可得（工 + 77） + 2=64,所以圆心A（J7,o）,圆的半径,=8,因为 AC = AD =尸=8,所以 XADC = /ACT），因为 BE/AD ,所以 ZADC = AEBC ,可得 ZEBC = ZECB ,所以 EB = EC , 所

12、以 EB + EA = EC+EA=r = SAB = 2yf7 f由椭圆的定义可得：点E的轨迹是以A（J7,0）、B商,0）为焦点，2。= 8的椭圆, 即 = 4, c、= V7，所以屏=疽一子=16 7 = 9，22所以动点E的轨迹方程为土 +匕=116 9（2）由（1）知，P（0,3）,设肱（*,必）,N为），当直线枷的斜率存在时，设直线V的方程为：、=奴+ ,y = kx + m由 j y2可得（9+162）%2 +32饥+16冰-144 = 0,J6+9rr. .-32km6m2 - 144所以2=， 9+16必，因为r +k =乂_3 | 比3_（炫+农_3）地+（切+淅_3）改v

13、212 皿 花2kxx2 +（2-3）（工+x9）= =6 ,xyx2所以（2R 6）尤入2 +（23）（工+ 的）=0,=0,即（2-6）x16m -4+（m-3）xV 79 + 16妃 v ） 整理可得：（秫一3）（Sm_3）= 0所以化= m+3或m = 3 ,当m = 3时，直线V的方程为：，=奴+ 3,此时过点P（0,3）不符合题意,所以k = m+3，所以直线 A/N 的方程为：y = kx+m = /a+k-3 = k（x+l）-3 ,此时直线过点（-h-3）,当直线枷的斜率不存在时羽=工2，力=一乂，幻+比2=心+心=旧+ *2 = * = 6,解得尸-1 工 x2 X X x

14、此时直线的方程为：Jt = 1,过点（-1，-3）,综上所述：直线枷过定点（-1，-3） 题组四、圆锥曲线中的探索性问题4-1. （2021-河北邯郸市高三三模）己知抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为/设过点F且不与x轴平行的 直线m与抛物线C交于A, B两点,线段的中点为M,过M作直线垂直于/,垂足为N,直线M/V与抛 物线C交于点P.（1）求证：点P是线段M/V的中点.（2）若抛物线C在点P处的切线与y轴交于点Q,问是否存在直线万，使得四边形MPQF是有一个内角为60。的菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：由题意知直线m的斜率存在且不为0,故设直

15、线m的方程为）=奴+ 1侬。0）,代入必=4y,并整理得4奴4 = 0所以 = 16好+160，设A（M，y）,研尤2，力），则而+工2=4切 工花=一4.设 A/。,）,则尤。=* *2 = 2k , y0 = Ax0 +1 = 2k2 + 1 ,即 M（2k,2+1）.由 MN JU,得 N（2k,-1）,所以MN中点的坐标为（2奴#2）.将尤=2化代入尤2=4y,解得y = k则P（2k.k2 所以点P是MA/的中点.r2r(2)由必=4，得 =j，则 V = 5所以抛物线C在点P（2kk）的切线PQ的斜率为k, 又由直线m的斜率为k,可得m/PQ； 又MN/y轴，所以四边形MPQF为平

16、行四边形.而|=或2化)2+1 1)2 = 2眼侦2+1), |=|(2炉+1)好| =化2+1, 由MF=MP,得2小2(*2+1) “2+1,即当土咨,即当土咨,四边形MPQF为菱形,且此时 | PF |=(2k 0)2 + (炉if =妒 +1 习 MP |=| MF |，所以 ZPMF = 60,的方程为y=李+1， 即工- y/3y + 右=0 或 x + y/3y - 右=0 ,所以存在直线m,使得四边形MPQF是有一个内角为60。的菱形.4-2、（2021湖北黄冈市高三三模）已知椭圆。：日+号=1（。力0）,四点 J5,乎，（0,龙），（ r4 1,，乙1,一 中恰有三点在椭圆。

17、上.A 2 J I 2 J（1）求椭圆C的方程：（2）已知直线y = kx + 2与椭圆。有两个不同的交点A,B,D为x轴上一点，是否存在实数#，使得 是以。为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出*值及点。的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由对称知：6,乙都在椭圆C上，对于椭圆在第一象限的图像上的点（尤,y）,易知：y是I的减函数，故匕、中只有一个点符合，显然匕不在椭圆上，:史2*璀4三点在椭圆上，.b = e 代入点当得：。=2,.椭圆。方程为；_尤2 2 得：（2尸+1）工2+8奴+ 4 = 0,F = 1 42y = kx + 2 （2）设。,0）,假设存在化符合题意，由=6

18、4 尸 _16+1）05手,或设A（M，y ）,3（花况）,43中点为G（七,为）,则设A（M，y ）,3（花况）,43中点为G（七,为）,则8k4xx7 = 2 好+1所以 w _万+易_ 4k _y + y2_k（xl+x2）2所心一丁一一五箱必一一房-节亍由A8D是以。为直角顶点的等腰直角三角形有：DGA-AB.DALDB.郊=T9dadb = q，.郊=T9dadb = q，即有2k nt = 02k +1,解得：/?0）的左、右焦点分别为F2, M为 椭圆上一点，线段与圆/ + ；/= 1相切于该线段的中点N,且左MFA的面积为2.（1）求椭圆C的方程;（2）椭圆C上是否存在三个点A

19、 B,（2）椭圆C上是否存在三个点A B,P,使得直线AB过椭圆C的左焦点乌，且四边形Q伽是平行四边形？若存在，求出直线A3的方程;四边形？若存在，求出直线A3的方程;若不存在，请说明理由.【解析】（1）连接QV,由FN = MN ,且 0F = 0F2E1QV为A/鸟的中位线,ElMg =2ON = 2且岫 VMF2, 国根据椭圆的定义可得：MF=2a-2,回=s（2o-2）2 = 2 ,解得。=2,（1 + 2尸）工212炉尤+ 快26 = 0直线函方程为：xx-2直线函方程为：xx-2（x-2）+ l,令x = -3n p= +1xx-2直线AN方程为y = 二（、2） + 1,令尤=

20、_3ng=5（）2_1）+1 x2-Zx2 -2p + q = _5七1 + K1 + 2 = _5心卫 + 尘丑l + 2 _ 2_ 2 X| _ 2Xq _ 2=5-2）_k_1 人（工2_2）_k_1+ 2 = -10妇5侬+ 1）.（二技三2产12k2 A24=-m+5（m）+2/_-+2v ）18必62* A41 + 2好 1 + 2炉Ab2 _4=-10上 + 5（# + 1）% + 22k 2=10妇5（妇1）2 + 2 =12即 p + q = 2.2251-2 （2021-江苏省新海高级中学高三期末）己知椭圆C：1-2 （2021-江苏省新海高级中学高三期末）己知椭圆C：/+

21、* = 1（ab0）的离心率为项，右顶点、上顶点分别为A、B,原点。到直线A3的距离为-ab.6（1）求椭圆。的方程；（2）若p,。为椭圆C上两不同点，线段PQ的中点为当M的坐标为（1,1）时，求直线PQ的直线方程当三角形。PQ面积等于时，求|伽|的取值范围.【解析】解：（1）设直线 AB:- + = 1,即bx + ay-ab = 0 9 a bMFX =MF2 =2,a(2c)2=22 +22,解得c=e 昵=Jq2_2 =&研尤2况），P（33）x3=xi +x2 =my -42 + my2-2 =m(yl +y2)-22 =rrT + 2x3=xi +x2 =my -42 + my2-

22、2 =m(yl +y2)-22 =rrT + 2HPHPf-应 2y/2m由尸在椭圆上，代入可得m2 +216m22 ,解得 m = +V2 9m2 +2国存在直线AB： x = 42y-yj2符合题意.国存在直线AB： x = 42y-yj2符合题意.所以O到直线AB的距离为后胡后*岑如所以疽+妇，-ababc V2e = = a 2又因为xp2 2一-1- =2=尤/=27=xM2 = 2,，M=，所以OMyl若直线PQ不垂直于X轴，设直线PQ方程：y = kx+m（m0）,尸3油）,。（花,力），= (1 + 2k2)+ 4kmx + 2m2 -4 = 0y = kx-m22% + 匕=

23、1422所以 W + 花=-:;好 X F =， =(4k/n) 4(1+ 2化2)(2/7?2 4) 0,即 4 + 2Z:2 m2 m又因为。到FQ的距离为=I所以J1 + 1 m I7 /2m J4 + 8好-2m21OPQ = 3 . /,、/1 + A 寸(工1+工2) _4工尤2 = d =J2,Z yjl + k1 + Z/C2 L12=(2 + 42 _以2)= (1 + 2*2) = (1 + 2*2)-= 0 = 1 + 2*2 =所？，且此时4 + 2Z:2 m2,即 0满足,%! + x2 -2km2 一 1 + 2必所以OM =-1V m22k z 1=，y” =奴

24、m + m,mm因为1 + 2妒=己 所以Wx,所以122,所以1 （2021山东威海市高三期末）已知椭圆C:%+ = 1 （ Z?0）的离心率为C 4 B分别是它的左、 右顶点，F是它的右焦点，过点作直线与。交于RQ （异于AB）两点，当PQLx轴时，AAPQ的面9积为一2（1）求C的标准方程；（2）设直线AP与直线交于点肱，求证:点肱在定直线上.【解析】c 1解：（1）由题意知一=二，所以 a = 2c , X a2 =b2 +c2a 2所以 Z? = a/3c9当PQLx轴时，KQ的面积为，2 TOC o 1-5 h z 海 2）292V 7 a 2所以/ = 4, b1 = 3 ,22

25、所以椭圆C的标准方程为公+匕=1.3（2）由（1）知F（l,0）,设直线FQ的方程为工=邛+ 1,22与椭圆1联立，得（3冰+4）尸+6my-9 = 0 .43）显然A。恒成立.设户（茶，乂）,0尤2，、2）， 所以有有力=-次*，-土（*） 直线AP的方程为 =二2壬（X+2），直线BO的方程为y = 里一2）X I Z花 _ L联立两方程可得，所以旦土（工+ 2）=旦2）1 IL*2 L力 _（+3）力砂力+3力x + 2 _ 工+ 2尤2必 x2-2乂(奶2_1)3由（*）式可得乂力=了（必+力），Zm3x + 2 5（乂 + 力）+ 3力 代入上式可得口 = M工_少1 +力）_乂解得

26、x = 4,故点M在定直线尤=4上.题组二、圆锥曲线中的最值问题V22.1、（2020河北邯郸市高三期末）已知椭圆E：y+/=1长轴的左、右端点分别为A，总，点户是椭圆E上不同于人，盅的任意一点，点。满足再.两=0,西.苒= 0,。为坐标原点.（1）证明：PR与P&的斜率之积为常数，并求出点。的轨迹。的方程;（2）设直线l:y = x + m与曲线。交于心3，乂）,0（花,必），且工1花+人乂力=。，当人为何值时2MN 的面积最大?【解析】设 P(x,y)(y 主 0),设 P(x,y)(y 主 0),由已知 (-72,0), A (72,0),尸=1_丈=_止222工即=_J22 x + a

27、/2 x a/22uum uuir uuir.kp& ,kp、=-三,QQA FA = 0,QA, - PA, = 0 , UMpa2 QA -L PAQA _L PA2，:. kQA -kQA = -2设0。力），.一万一万=2q + J2 q J2+ 三=13。0).42.222即仁+=10。）, .轨迹。的方程为y2(2)将直线/代入曲线C 中整理得3尤2 + 2nu + nr -4 = 0,A = 4m2 -12(m2 -4)0,rrr 0, XjX2 = , y2 =九= 33222.2、（2021 湖北高三期末）己知椭圆C： - + L-ab 0）的左、右顶点分别为A，B且左、右焦

28、点分别为K，匕,点P为椭圆。上的动点，在点P的运动过程中，有且只有6个位置使得 pf2为直角 三角形，且的内切圆半径的最大值为2-（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点3作两条互相垂直的直线交椭圆。于M , N两点，记的中点为Q,求点A到直线的 距离的最大值.【解析】点P为椭圆C上的动点，当PF（x或P_Lx时，嫁旺为直角三角形.此时满足条件的点尸有4个，根据满足条件的点P有6个.则满足条件的点F的另2个位置位于椭圆C的上下顶点处.当点P位于椭圆。的上下顶点处时，PRE为等腰直角三角形，即b = c的内切圆半径我为R ,则，是旺=52。|刃=5（帽可+ p* + pf? ）r即 d%l=S+c）

29、R，所以 r=la + c当点P位于椭圆C的上下顶点处时，4PFE的的内切圆半径的最大值.12所以 R = 2 2，即 =2 由 c2 = a2 b2 = a2 c2 ,即 a = V2ca+ca+c解得a = 2，Z，所以椭圆C的标准方程为：（2）由条件3（2,0）,设肱（而油）,32况），设直线MN的方程为奶+乃x = my+ n由 v 尤2 2,得+2)j?+2my + 2 _4 = 0+ = 1、八U 2-2mn-2mnm2 +2，力=n2-4 冰+ 2据条件直线跛，3N的斜率存在，由条件可得知编=左旗=-1据条件直线跛，3N的斜率存在，由条件可得知编=左旗=-1即泰一2吧：_2=T，即-涉2 =无牌+机-2如+力）+ （“-2）2所以（冰 +1）乂力 +力（一 2）（必 +%） + （_ 2）2 =0贝 0 (nV +1) +m(n-2 mn +(n-2)2 = 0 。疽+2 VJm2 + 2 V 72化简可得(一2)(3一2) = 0,即=或 =2当n = 2时，直线过点不满足条件.2-2/77 XA所以=,则 _ 4m心力-花+2 一 3(冰+2由V的中点为Q,则光=由V的中点为Q,则光=-2m3（冰+2） TOC o 1-5 h z -