水力学-水静力学

1、第一章水静力学考点一静水压强及其特性1、静水压强的定义：静止液体作用在受压面每单位面积上的压力称为静水压强。2、静水压强的特性：（1）静水压强垂直于作用面，并指向作用面的内部；（2）静止液体中任一点处各个方向的静水压强大小相等。考点二几个基本概念1、绝对压强：以绝对真空为零点计量得到的压强，称为绝对压强，以Pabs或p表示;2、相对压强：以当地大气压作为零点计量的压强，称之为相对压强，用p表示。3、真空与真空度：（1）真空现象：如果p W0，称该点存在真空；（2）真空度：指该点绝对压强小于当地大气压的数值。Pk = Pa - p = |P|4、相对压强与绝对压强之间的关系：P = P - PP

2、n卜NiPNo 相对压强计算基准面pLI11t1PkOClaO绝对压强计算基准面5、压强的表示方法:1 (atm) = 10 (mH2O) = 98000 (N/m2)= 98 (kN/m2)=736 (mm 汞柱)考点三 液体平衡微分方程式（Euler方程）1、微分方程：液体平衡微分方程式，是表征液体处于平衡状态时作用于液体上的各种力之间的关 系式。P = P X合X d = P y合ym = p zl o z2、综合表达式一一压强差公式：dp =虫dx + 迪dy + 虫dz = p (Xdx + Ydy + Zdz)OxOyOzdp = p (Xdx + Ydy + Zdz)3、积分结果

3、：若存在一个与坐标有关的力势函数U(x,y,z),使对坐标的偏导数等于单位质量力在坐标投影，即X卫OxY =OUOy7_OUZ Oz可得dp =竺 dx +OxOU , dy +OyOUdz = p (Xdx + Ydy + Zdz) = pd U Ozdp = p dU积分上式得到：p = p U + C或者P=P0 + p (U -U0)式中，为自由液面上的压强和力势函数。考点四等压面1、定义：静止液体中压强相等的点所组成的面称为等压面。2、等压面方程：在等压面上，dp - 0，等压面的方程为Xdx + Ydy + Zdz 03、等压面的特性：（1）在等压面上，p=c；（2）等压面与质量力

4、的方向正交；（3）等压面也是等势面。举例1：如果液体在静止状态下，也即，作用于液体上的质量力只有重力，那么就局部范围，等压面一定是 一个水平面；就一个大范围讲，等压面是一个处处与地心正交的曲面。举例2：旋转液体中的相对平衡。一个盛有液体的原容器，以定常角速度绕铅垂轴旋转，液面的形状是一个旋转抛物面。等压面是旋转抛物面。举例3：作等加速直线运动的容器中液体相对平衡，液面是一个斜平面。等压面是倾斜平面。考点五 重力作用下液体的平衡1、 压强计算公式：p = P0 +Y h特性：（1）P0等值的传到液体内任一点；（2）p随h成线性变化。2、 水静力学基本方程：z + - = C 或 z1 + P =

5、 z2 + PY12式中，P0为液面压强；h为所测点在自由液面以下的深度；7为液体重度；z为液体内任一点距 基准面的距离；C为常数。3、物理意义：平衡液体内部同种液体任意两点测压管水头相等。z位置水头，表征单位重量液体所具有的位置势能；p-压强水头，表征单位重量液体所具有的压强势能；7z+P测压管水头，表征单位重量液体所具有的总机械能。7考点六几种质量力同时作用下液体的相对平衡1、.等角速旋转运动图示为盛有液体的开口圆桶，设圆桶以等转速绕其铅垂轴旋转，将坐标系取在运动着的容器上，原 点取在旋转轴与圆桶底面的交点上，Z轴垂直向上。则有（1）等压面方程：O 2 r 2-乙+ c乙（旋转抛物面）2

6、g（2）压强分布方程：p 2 r 2 八 z + -= CY2 g（3）压强计算公式：p = p 0+y h （压强分布规律与仅有重力作用下时相似）式中，为角速度；,为欲测压强点到旋转轴的距离；Z为任一点的垂直坐标，Z轴向上为正，向下为 负；力表示任一点在自由液面以下的深度。注意：公式不需要死记，重点掌握推导过程!2、等加速直线运动图示为一水箱，沿着与水平面成a角的斜面以等加速度。作直线运动，设作用于液面的压强为p0, 取如图所示的坐标系，则有：（1）等压面方程：（2）压强分布方程:（3）压强计算公式:z = 一。cs以尤+ C（倾斜平面）a sin 以 + gp - p - (y / g)a

7、 cos ax + (a sin a + g )z0p=p+yh（压强分布规律与仅有重力作用下时相似）式中，h表示任一点在自由液面以下的深度。注意：公式不需要死记，重点掌握推导过程!考点七 作用于平面上的静水总压力1、作用于矩形平面上的静水总压力（特殊情况）（1）静水总压力的大小：P = S b = V式中，S 静水压强分布图的面积b矩形平面的宽度V静水压强分布图的体积（2）静水总压力的方向：垂直指向作用面。（3）静水总压力的作用点：通过静水压强分布图的形心。2、作用于任意平面上的静水总压力（一般情况）图示为一任意形状平面EF倾斜置放于水中，与水平面的夹角为a平面面积为A，平面形心点为Co（1

8、）静水总压力的大小：P = p A =yh A式中，Pc该平面形心点的压强A平面的面积h 平面形心点c在液面下的淹没深度（2）静水总压力的方向：垂直指向作用面。（3）静水总压力的作用点（压力中心）：（压力中心在形心点以下）LD = L + I /（L A）压力中心距形心的距离为e = L L = I /（L A）D c c c式中，L为平面EF形心点c距泌轴的距离；气为平面EF形心点c在液面下的淹没深度；LD为压 力中心距泌轴的距离；e为偏心距；I为平面EF对通过其形心c并与ob轴平行的轴的面积惯性矩， 对于矩形断面I = bL3/12,对于圆形断面，I =兀&4/4。考点八作用于曲面上的静水

9、总压力求曲面上的静水总压力P，可将总压力分为水平分力Px和垂直分力Pz，然后求其合力P。1、静水总压力的水平分力（1）大小：作用在曲面上的静水总压力的水平分力Px，等于作用在该曲面的铅垂投影面Ax上的静 水总压力。P = p A =y h A（2）方向和作用点：方向垂直指向铅垂投影面Ax；水平分力Px的作用线应通过Ax平面的压力中 心。2、静水总压力的垂直分力（1）大小：静水总压力的垂直分力Pz的大小等于压力体的水重，即P =y V式中，V为压力体的体积。（2）方向：实压力体垂直分力P的方向向下；虚压力体P的方向向上。（3）作用点：垂直分力Pz的作用线，应通过压力体的体积形心。3、压力体（1）

10、压力体的画法：压力体由下列周界所围成：（a）受压曲面本身；（b）液面或液面的延长面；（c）通过曲面边缘向液 面或液面的延长面所作的铅垂平面。（2）实压力体：当液体和压力体位于曲面同侧时，此时的压力体称为实压力体，垂直分挣的方z向向下；（3）虚压力体：当液体及压力体各在曲面一侧时，这个想象的压力体称为虚压力体，贝四的方向z向上，如图所示。（a）（b）4、曲面上的静水总压力的大小、方向及其作用点由力的合成原理，曲面上的静水总压力的大小为P =弋+ P；静水总压力与水平面之间的夹角为tan a = P / Px典型例题【例1】一容器中有三种不同的液体，Y1 72 v*，如图所示。试求：（1）三根测压

11、管中的液面是否与 容器中的液面齐平，如不齐平，试比较各测压管中液面的高度？71 = 7.62kN/m2、y 2 = 8.56软血2、y = 9.8kN/m2，a = 2.5m、a = 1.5m、a = 1m 时求匕、h2 和 h3。图中1-1、2-2、3-3三个水平面是否都是等压面？解：（1）已知y 1 y2 y3，由习题2.49的推证可 知，三根测压管中的液面不齐平。由于第一根测 压管中的液体与油箱中的液体为同一种液体，且 上面只有一种液体，所以第一根测压管中的液面 与水箱中的液面同高。其余测压管中的液面均低 于水箱的液面，且第三根测压管中的液面低于第 二根测压管中的液面。求h1、气和 h3

12、 对于第三根测压管，有y a +y a +y (a -Ah ) =y (h -Ah )1 12 2333333伉 + a = 7.62 2 25 + 856 1.5 +1 = 4.254mY 339.89.8(1)对于第二根测压管，有Y a +Y (a -Ah ) =Y (h -a -Ah )112222232h =W + a + a =二62 x 2.5 +1.5 +1 = 4.725m2y 223 8.561(2)对于第一根测压管，有h = a + a + a = 2.5 +1.5 +1 = 5m(3)(3)求等压面由图中可以看出，只有3-3面为等压面。【例2】矩形木箱长3m，静止时液面离

13、箱底1.5m， 现以a=3m/s2的加速度水平运动，试计算此时液 面与水平面的夹角以及作用在箱底的最大压强与 最小压强。解：已知加速度的方向与x的方向一致，则惯性 力的方向与加速度的方向相反。在x、y、z方向的单位质量力分别为X=-a、件0、Z=-g。由静止液体的平衡方程得dp =p (Xdx + Ydy + Zdz)dp = p(-adx - gdz) = -Y / g(adx + gdz)对上式积分得p = -Y / g(ax + gz) + C下面确定积分常数C，在坐标原点，x=z=0，p=pa，代入上式得C=pa。由此得 p = pa -Y / g (ax + gz)在自由表面，p=p

14、a，由上式可得tana = z / x = a / g = 3/9.8 = 0.306则a = arctana = arctan0.306=17.02下面求箱底的最大压强和最小压强。由图中可以看出，在A点压强最大，x=-1.5、z=-1.5； B点压 强最小。x=1.5、z=-1.5。如果不考虑大气压强，则p=-p (ax + gz) = -1 x (3 x (-1.5) + 9.8 x (-1.5) = 19.2kN/m2A maxp=-p (ax + gz) = -1 x (3 x (1.5) + 9.8 x (-1.5) = 10.2kN/m2【例3】设有一盛满水的容器，在盖板中心开一

15、小孔，如图所示。已知容器的高度为H，绕铅垂 轴旋转的角速度为力，试求容器盖板及底部的压 强分布，并求盖板上的静水总压力。解：当容器以等角速度刃沿铅垂轴旋转时，相对压强 为零的等压面如图中的虚线所示，因为盖板的阻 挡，迫使水面不能上升，盖板上各点所受的相对 压强为在盖板的中心，p = 0，在盖板的边沿，p =计2r02/(2g)。其方向铅垂向上。 TOC o 1-5 h z 2 r 2、容器底部各点所受的压强为P= ( + H)2g 2 r 2、在容器的中心，p =yH，在容器的边沿，p =y(0 + H)。其方向铅垂向下。2 g作用在盖板上微小面积的压力为,2 r 2,2兀 ，dP = pdA

16、 = y (2 兀 rdr) = y r 3 dr2兀r 44g 0对上式积分得盖板上的静水总压力为P = j r0 pdA = y J j r0 r 3 dr = y0g 0【例4】图9.8=乙 x 2(h -1) x 2.5 x 1 = 24.5(h -1)2【例4】一可在o点旋转的自动矩形翻板闸门， 其宽度b=1m，如图所示。门重G=10kN，求闸门 打开时的水深h。解：闸门的长度为 AB =i：22+ 1.52 = 2.5m，闸门铰的位置距B点1m，BC=1.25m。作用在闸 门上的静水总压力为P = ；(h - 2 + h)AB x b总压力作用点距B点的距离为2.5 2(h - 2

17、) + h 2.5 3h - 4 e =3 h - 2 + h 6 h -1已知闸门自重G=10kN，闸门中心距o点的垂直距离为(1.25-1)xcos 53.13=0.15m,要使闸门在o点旋转， 其压力作用点必在o点以下，对o点取力矩为P(1 - e) = G x 0.15 = 10 x 0.15 = 1.5即由上式解出h=2.422m。2.5 3h 424.5(h 1) x (1 ) = 1.56 h 1【例5】圆弧门如图所示，门宽b=2m，圆弧半径R=2m,圆心角 此0,上游水深H=5m,试求：（1） 作用在闸门上的水平总压力及作用线位置；（2）作用在闸门上的铅直总压力及作用线位置；（

18、3）忽略门 的重量，求开门所需的力F；（4）求作用于铰链o的力矩。解：（1）水平方向的总压力和作用点水平方向的总压力为P = 2y （H R + H）Rb = 2 x 9.8 x （5 2 + 5） x 2 x 2 = 156.8kN（a）【例5】R 2(H R) + H e =3 (H R) + H作用点距闸底的距离e为2 x (5 2) + 5 = 0.917m(5 2) + 5作用点距水面的距离hD为hD = H e = 5 0.917 = 4.083m（2）铅垂方向的总压力和作用点压力体如图所示，由图可得V = （H R） Rb + 亚 b = （5 2） x 2 x 2 + 1 x

19、2 = 18.2832m344铅垂方向的总压力为Pz =y V = 9.8 x 18.283 = 179.175kN（3）作用在闸门上的静水总压力为P = *P 2 + P 2 = 156.82 +179.1752 = 238.11kN方向角p = arctan（P /P ） = arctan179.175/156.8） = 48.81由于静水总压力的作用线通过圆心，由作图法，求得铅垂方向的总压力距o点的距离为0.947m。（4）求开门所需的力FF = P = 179.175kN（5）求作用于铰链o的力矩由于静水总压力的作用线通过圆心，所以静水总压力的力矩为0。【例6】有一球形容器由两个半球铆

20、接而成，下半球固定，容器中充满水，如图所示。已知h=1m，D=2m，如果下半球固定不动，求全部铆钉所受的力，如果上半球的重量G = 5kN ,求作用在铆钉上的拉力T 。如果上半球固定，求全部铆钉所受的力。（a）（b）（c）【例6】图解：（1）如果下半球固定，压力体如图（b）所示。铆钉所受的全部力F = P上，压力体的体积为V =-冗d2(- + h) -11 冗d3 =1 x兀 x 22(2 +1) - x冗 x 23 = 4.189m3上 42264212全部铆钉所受的力为P 上=F =y V上=9.8 x 4.189 = 41.05kN如果有n个铆钉，每个铆钉所受的力为Fin。（2）如果下

21、半球固定，上半球的重量G = 5kN，求作用在铆钉上的拉力TT = P 上一G = 41.05 5 = 36.05kN（3）如果上半球固定，压力体如图（c）所示，铆钉所受的全部力T = P下，压力体的体积为V = 1 Kd2（d + h） +11 兀d3 = 1 x 兀 x 22（2 +1） + x 冗 x 23 = 8.376m3下 42264212全部铆钉所受的力为P 下=T =y V下=9.8 x 8.376 = 82.1kN【例7】盛水容器底部有一半径r=2.5cm的圆形孔口，该孔口用半径R=4cm，自重G=2.452N的圆球封 闭，如图所示。已知水深H=20cm，试求球升起时所需的拉力T。解：用压力体求铅直方向的静水总压力。压力体如图中（b）所示。由图中可以看出4P=丫 + Vdhg- = V2 =丫 + Vdhg - %