电路基础知识分析基础good第8章

1、第8章 电路的暂态分析8.2 一阶电路的暂态分析 8.1 换路定律8.4 二阶电路的零输入响应8.3 一阶电路的阶跃响应本章教学目的及要求 了解“暂态”与“稳态”之间的区别与联系；熟悉“换路”这一名词的含义；牢固掌握换路定律；理解暂态分析中的“零输入响应”、“零状态响应”“全响应”及“阶跃响应”等概念；充分理解一阶电路中暂态过程的规律；熟练掌握一阶电路暂态分析的三要素法；了解二阶电路自由振荡的过程。8.1 换路定律学习目标：了解暂态分析中的一些基本概念；理解“换路”的含义；熟悉换路定律的内容及理解其内涵，初步掌握其应用。8.1.1 基本概念1.状态变量：代表物体所处状态的可变化量称为状态 变量

2、。如电感元件的iL及电容元件的uC。2.换路：引起电路工作状态变化的各种因素。如：电 路接通、断开或结构和参数发生变化等。 3.暂态：动态元件L的磁场能量WL=1/2LI2和C的电场 能量WC=1/2CUC2，在电路发生换路时必定 产生变化，由于这种变化持续的时间非常 短暂，通常称为“暂态”。 4.零输入响应：电路发生换路前，动态元件中已储有 原始能量。换路时，外部输入激励为零，仅在动 态元件原始能量作用下引起的电路响应。5.零状态响应：动态元件的原始储能为零，仅在外部 输入激励的作用下引起的电路响应。6.全响应：电路中既有外部激励，动态元件的原始储 能也不为零，这种情况下换路引起的电路响应。

3、8.1.2 换路定律 由于能量不能发生跃变，与能量有关的iL和uC，在电路发生换路后的一瞬间，其数值必定等于换路前一瞬间的原有值不变。换路定律用公式可表示为： 换路发生在t=0时刻，(0-)为换路前一瞬间，该时刻电路还未换路；(0+)为换路后一瞬间，此时刻电路已经换路。 暂态过程产生的原因 电阻元件是耗能元件，其电压、电流在任一瞬间均遵循欧姆定律的即时对应关系。因此，电阻元件上不存在暂态过程。(t = 0)US_SRIIt 0电阻电路 电感元件是储能元件，其电压、电流在任一瞬间均遵循微分(或积分)的动态关系。它储存的磁能(t = 0)US_SLiLiLt 0R 因为能量的存储和释放需要一个过程

4、，所以有电感的电路存在过渡过程。R-L电路 电容元件也是储能元件，其电压、电流在任一瞬间也遵循微分(或积分)的动态关系。它储存的电能 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路也存在过渡过程。(t = 0)US_SCiCuCt 0RuC_USR-C电路1.2.根据换路后的等效电路，应用电路基本定律确定其它电量的初始值。初始值（起始值）：电路中 u、i 在 t=0+ 时 的大小。电路初始值的确定求解要点根据换路前一瞬间的电路，应用电路基本定律确定iL(0+）和uC(0+）。例1解已知 iL(0 ) = 0，uC(0 ) = 0，试求 S 闭合瞬间，电路中所标示的各电压、电流的初始值。(t

5、 = 0)_S0.1Hu2u120101F20ViC_iiLuL_uC_根据换路定律可得：可得t = 0+时等效电路如下 iL(0+) = iL(0) = 0，相当于开路 uC(0+) = uC(0) = 0，相当于短路_S0.1Hu2u120101F20ViC_iuL_其他各量的初始值为：例2解根据换路前电路求uC(0+）换路前电路已达稳态，t=0时S打开，求 iC(0+) 。 R140k10kSiCuCi10V R2画出t=0+等效电路图如下 R140k10kSic(0+）10V R28V根据t=0+等效电路可求得iC(0+）为例3解根据换路前电路求iL(0+）换路前电路已达稳态，t=0时

6、S闭合，求 uL(0+) 。画出t=0+等效电路图如下根据t=0+等效电路可求得uL(0+）为 R11SiLuL10V R24 R11SuL10V R24iL(0+）uL(0+)为负值，说明它的真实方向与图上标示的参考方向相反，即与iL(0+)非关联，实际向外供出能量。1. 由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)；求初始值的一般步骤2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)；3. 画出t=0+的等效电路图： uC(0+)=0时相当短路；uC(0+)0时相当电压源； iL(0+)=0时相当开路；iL(0+)0时相当电流源；电 压源或电流源的方向与原电路假定的电容电压、

7、电 感电流的参考方向应保持相同。4. 由t=0+的等效电路图进而求出其它响应的0+值。8.2 一阶电路的暂态分析学习目标：理解一阶电路暂态分析中响应的规律；深刻理解时间常数的概念及物理意义；牢固掌握一阶电路的三要素法。8.2.1 一阶电路的零输入响应1. RC电路的零输入响应 只含有一个因变量的一阶微分方程描述的电路，称为一阶电路。 R1SiC (0+)uC(0+）t=0US C2 左图所示电路在换路前已达稳态。t=0时开关由位置1迅速投向位置2，之后由uC (0+)经R引起的电路响应称为RC电路的零输入响应。 R1SiC (0+)uC(0+）t=0US C2 根据RC零输入响应电路可列写出电

8、路方程为： 这是一个一阶的常系数齐次微分方程，对其求解可得： 式中的=RC称为一阶电路的时间常数。如果让电路中的US不变而取几组不同数值的R和C，观察电路响应的变化可发现：RC值越小，放电过程进行得越快；RC值越大，放电过程进行得越慢，这说明RC放电的快慢程度取决于时间常数R和C的乘积。 式中R用，C用F时，时间常数的单位是秒s。如果我们让上式中的时间t 分别取1、2直至5，可得到如下表所示的电容电压在各个时刻的数值：1 2345e-10.368USe-20.135USe-30.050USe-4 0.018USe-50.007US 由表可知，经历一个的时间，电容电压衰减到初始值的36.8%；经

9、因两个的时间，电容电压衰减到初始值的13.5%；经历35时间后，电容电压的数值已经微不足道，虽然理论上暂态过程时间为无穷，但在工程上一般认为35暂态过程基本结束。 RC过渡过程中响应的规律可以用曲线来描述：tiCuCiCuCUSiC(0+)00.368US RC过渡过程响应的波形图告诉我们：它们都是按指数规律变化，其中电压在横轴上方，电流在横轴下方，说明二者方向上非关联，电容放电电流为：1. RL电路的零输入响应 左图所示电路在换路前已达稳态。t=0时开关闭合，之后电流源不起作用，暂态过程在R和L构成的回路中进行，仅由iL (0+) =I0在电路中引起的响应称为RL电路的零输入响应。 RSIS

10、uLt=0uR LI0 根据RL零输入响应电路可列写出电路方程为： 若以iL为待求响应，可得上式的解为： 式中称为RL一阶电路的时间常数，其大小同样反映了RL一阶电路暂态过程进行的快慢程度。电感元件两端的电压： 电路中响应的波形图如左下图所示：tiLuLuLiLI0RiL(0+)00.368I00.632I0R 显然RL一阶电路的零输入响应规律也是指数规律。1.一阶电路的零输入响应都是随时间按指数规律衰减 到零的，这实际上反映了在没有电源作用下，储能 元件的原始能量逐渐被电阻消耗掉的物理过程；一阶电路的零输入响应分析归纳2.零输入响应取决于电路的原始能量和电路的特性， 对于一阶电路来说，电路的

11、特性是通过时间常数 来体现的；3.原始能量增大A倍，则零输入响应将相应增大A倍， 这种原始能量与零输入响应的线性关系称为零输入 线性。8.2.2 一阶电路的零状态响应1. RC电路的零状态响应 RC电路的零状态响应和零输入响应一样，都是按指数规律变化，显然这个暂态过程是电容元件的充电过程：充电电流iC按指数规律衰减；电容电压uC按指数规律增加，用曲线可描述为： 图示电路在换路前电容元件的原始能量为零，t=0时开关S闭合 之后电容上电压、电流的变化称为RC电路的零状态响应。 RSiCuCt=0US CtiCuCiCuCUSiC(0+)00.632US显然在RC充电电路中，电容元件上的电压与电流方

12、向关联，元件向电路吸取电能建立电场。RC零状态响应电路中的计算公式 RSiCuCt0US C由RC零状态响应电路图可得过渡过程结束时电容的极间电压(即换路后的新稳态值) 则电容电压的零状态响应为： 电容支路电流的零状态响应： 2. RL电路的零状态响应 图示电路在换路前电感元件上的原始能量为零，t=0时开关S闭合。之后电感上电压、电流的变化称为RL电路的零状态响应。 RSiL uLt=0US LuR RL电路的零状态响应也是按指数规律变化。其中元件两端的电压uL按指数规律衰减(即只存在过渡过程中)；电感电流iL按指数规律上升；电阻电压UR=iR按指数规律增长，用曲线可描述为： 显然，在RL零状

13、态响应电路中，电感元件是建立磁场的过程，因此其电压、电流方向关联。tiCuCiLuLUSUS/R00.368USuR0. 632US/RRL零状态响应电路中的计算公式 RL零状态响应电路换路结束时电感电流的新稳态值： 因此电感电流的零状态响应为： 电感元件自感电压的零状态响应： St0 RiL uLUS LuR1.一阶电路的零状态响应也是随时间按指数规律变化 的。其中电容电流和电感电压均随时间按指数规律 衰减，因为它们只存在于过渡过程中；而电容电压 和电感电流则按指数规律增长，这实质上反映了动 态元件建立磁场或电场时吸收电能的物理过程；一阶电路的零状态响应分析归纳2.零状态响应取决于电路的独立

14、源和电路本身特性， 也是通过时间常数来体现其特性的。RL一阶电 路的时间常数=L/R；3.在零状态响应公式中的()符号，代表换路后的新 稳态值，根据电路的不同情况一般稳态值也各不相 同。8.2.3 一阶电路的全响应 电路中既有外输入激励(即有独立源的作用)，动态元件上又存在原始能量(换路前uC和iL不为零)，当电路发生换路时，在外激励和原始能量的共同作用下所引起的电路响应称为全响应。上述两电路为RC和RL典型的一阶全响应电路。 R1SiC uC（t=0）US C R2 R2SiL uL(t=0)US L R1 RC和RL全响应电路的解可表示为：全响应 = 零输入响应零状态响应例解图示电路在换路

15、前已达稳态，且UC(0-)=12V，试求t 0时的uC(t）和iC(t)。SiC uC（t=0） 2K 1mF 1K9V根据换路定律可得电路的时间常数零输入响应uC(t) ： 以电容电压为例，让其零输入响应用uC(t)表示；uC(t)表示零状态响应，则有：全响应uC(t)：电容电流的全响应iC(t)：电容电压的稳态值：零状态响应uC(t)：由全响应结果可以看出，前面的常数6为稳态分量，后一项按指数规律变化的为暂态分量，因此：全响应=稳态分量+暂态分量为什么iC只有暂态分量而没有稳态分量？ 如用 f (t) 表示电路的响应，f (0+)表示响应的初始值，f () 表示响应的稳定值，表示电路的时间

16、常数，则电路的全响应可表示为：8.2.4 一阶电路暂态分析的三要素法 上式称为一阶电路在直流电源作用下求解电压、电流响应的三要素公式。 式中初始值f (0+)、稳态值 f () 和时间常数称为一阶电路的三要素，按三要素公式求解响应的方法称为三要素法。 由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊情况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。 显然，应用三要素法求解一阶电路的响应时，只要求出其初始值、稳态值及时间常数，代入三要素法公式中即可。例解已知图中U1 = 3 V， U2 = 6 V，R1= 1 k ，R2 = 2 k，C = 3 F ，t 0 时电路已处于稳态。用三要素

17、法求 t 0 时的 uC(t)，并画出变化曲线。 R1SiC uC（t=0）U1 C R2U2先确定初始值uC(0+)：再确定稳态值uC()：最后确定时间常数：将初始值、稳态值及时间常数代入三要素公式可得电容电压的变化曲线为：uC/VuC(t)00.632uC(t)2V4V2345应用三要素法求解响应的步骤：1. 确定初始值 f (0+) 初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+ 时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法完全一样。 先作t=0- 电路。确定换路前电路的状态 uC(0-)或iL(0-), 这个状态即为t0阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容C视为开路，电感L用短路线代替

18、。 再作t=0+等效电路。这是利用换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若uC(0+)=U0，iL(0+)=I0，在此电路中C用电压源U0代替， L用电流源I0代替;若uC(0+) =0 或iL(0+)=0，则C用短路线代替，L视为开路。作t=0+ 等效电路后，即可按一般电阻性电路来求解其它响应的初始值。2. 确定稳态值 f () 作t=的等效电路，暂态过程结束后，电路进入 新的稳态，用此时的电路确定响应的稳态值f() 。在此电路中，电容C视为开路，电感L视为短路，可按一般电阻性电路来求各响应的稳态值。3. 确定时间常数 RC电路中，=RC；RL电路中，=L/R；其中R等于：将电路中所有独立源

19、置零后，从C或L两端看进去的等效电阻，(即戴维南等效电源中的R0)。参看课本P121页例题8.5 。8.3 一阶电路的阶跃响应学习目标：8.3.1 单位阶跃函数(t)的波形如右图示，它在(0-，0+)时域内发生了单位阶跃。单位阶跃函数用(t)表示，其定义如下：理解单位阶跃函数的概念及物理意义，明确单位阶跃响应的实质，了解单位阶跃响应在电路分析中的作用。(t) = 0 t 0-1 t 0+ (t) 01 t注意：(t) 在t=0处不连续，函数值由0跃变到1。 单位阶跃既可以表示电压，也可以表示电流，通常在电路中用来表示开关在t=0时的动作。单位阶跃(t)实质上反映了电路在t=0时刻把一个零状态电

20、路与一个1V或1A的独立源相接通的开关动作。USS（t=0）零状态电路(t)零状态电路ISS（t=0）零状态电路(t)零状态电路(t-t0)的波形如右图示：如果阶跃发生在t=t0时刻，则可认为是(t)在时间上延迟了t0后得到的结果，此时的阶跃称为延时单位阶跃，记作：(t-t0) = 0 t t0t0下图所示矩形脉冲波f(t)，根据阶跃函数的原理，可以将其看作是由一个(t)与一个(t-t0)的合成波： f(t) 01 tt1t2 f(t) 01 tt0 (t) 01 t(t-t0) 01 tt0即： f(t)=(t) (t-t0) (t-t1) 01 tt1 (t-t2) 01 tt2即： f(

21、t)=(t-t1) (t-t2)8.3.2 单位阶跃响应已知电路中u=51(t-2)V，uC(0+)=10V，求电路的阶跃响应i。 当激励为单位阶跃函数(t)时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用S(t)表示。解例uR=2C=1FuC(0+)_i零状态响应分两部分，先求uC(0+)单独作用下的初始值：再求u单独作用下的初始值：时间常数：应用叠加定理求得响应：思考 练习 1.单位阶跃函数是如何定义的？其实质是什么？它在 电路分析中有什么作用？2.说说(-t)、(t+2)和(t-2)各对应时间轴上的哪一 点？。3.试用阶跃函数分别表示下图所示的电流和电压。 i/A 02 t/s23114 u/V 02 t/s231