2022年初二三角形复习讲义

1、学习好资料 欢迎下载三角形专题复习（一）三角形基本概念：1三角形的分类三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形 (等边三角形是等腰三角形的特殊情况 )；按角分类可分为锐角三角形、 直角三角形和钝角三角形， 其中锐角三角形、 钝角三角形统称为斜角形。2一般三角形的性质(1)角与角的关系： 三个内角的和等于180 ；一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何个和它不相邻的内角。(2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。(3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。(4)三角形的主要线段的性质 (见下表 )：名称基本性质；内心到三角形三

2、边距离相角平分线三角形三条内角平分线相交于一点（内心）等；角平分线上任一点到角的两边距离相等。中线 三角形的三条中线相交于一点。高 三角形的三条高相交于一点。边的垂直平 三角形的三边的垂直平分线相交于一点（外心）；外心到三角形三个顶点分线 的距离相等。中位线 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。3. 几种特殊三角形的特殊性质（1）等腰三角形的特殊性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三角形的对称轴。（2）等边三角形的特殊性质：等边三角形每个内角都等于 合一。60 ；等边三角形外心、内心（3）直角三角形的特

3、殊性质：直角三角形的两个锐角互为余角；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；ACBD 4. 三角形的面积（1）一般三角形： S = 1 a h（ h 是 a 边上的高 2) 第 8 题 5.多边形的内角和为( n 2 )180 （ n 为边数 ）；多边形的外角和为360 . 例题剖析一、填空题1、在 ABC中， A=3B= 2 C，则 A= 72 0， B= 24 0， C= 108 0；若 A+B=C，则3 ABC是 直角 三角形2、如图 在直角三角形 ABC中， ACB=90 0，CDAB于点 D，则图中有 3 个直角三角形，它们是 ACD CDB ACB； A是 AC 和 AB 公共角；

4、A 互余的角有 3 几对，它们是 O 3、如图，已知在ABC中， ABC， ACB的平分线相交于点 O，（1）若 ABC=50 0， ACB=65 0，则 BOC= . ； （2）若 ABC+ACB=130 0，则 BOC= B C （3）若 A=90 0，则 BOC= ；（4）若 BOC=100 0，则 A= ；课堂练习（基础题）1四边形 ABCD 中，如果 A+ C+D=280 ，则 B 的度数是（）A 80B 90C170D 202一个多边形的内角和等于 1080，这个多边形的边数是（）学习好资料 欢迎下载A 9 B8 C7 D6 3内角和等于外角和 2 倍的多边形是（）A五边形 B六边

5、形 C七边形 D八边形4六边形的内角和等于 _度5正十边形的每一个内角的度数等于 _，每一个外角的度数等于 _ 6、（综合题）已知：如图，在四边形 ABCD 中， A= C=90 ，BE 平分 ABC ，?DF 平分 ADC BE 与DF 有怎样的位置关系？为什么？7、（创新题）如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1 为半径画圆，求圆与五边形重合的面积8、（易错题） 一个多边形的每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角（? ）A 1 个B2 个C3 个D4 个（二）全等三角形 1、判定和性质判定一般三角形直角三角形HL）边角边（ SAS）、角边角（ ASA）具备一般三角形的判定方法角角边（

6、AAS）、边边边（ SSS）斜边和一条直角边对应相等（性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； 全等三角形面积相等2、证题的思路：找夹角（SAS）3、有关角平分线的知已知两边找直角（HL）识：、把已知角平找第三边（SSS）分成相等的两个角的射线叫这个角的若边为角的对边，则找任意角（AAS）角平分线。、角平分线上的点到角两边的已知一边一角边为角的邻边找已知角的另一边（SAS）距离相等。找已知边的对角（AAS）距离相等的点在、到角两边的找夹已知边的另一角（ASA）这 个 角 的 角 平 分 线上。4、尺规作图：、作一条线段已知

7、两角找两角的夹边（ASA）等于已知线段。、作一个角等于已知角。找任意一边（AAS）学习好资料 欢迎下载 、作角的角平分线。、经过一点作已知直线的垂线。、作线段的垂直平分线。、经过已知直线外一点作这条直线的平行线。5、垂直平分线（或叫中垂线） ：、垂直且平分已知线段的直线叫这条线段的垂直平分线或叫中垂线。、垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。、到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。典型例题：1、若 ABC DEF，A=D，B=E，且 C=50 0，E=75 0 ，AC=4cm，求A，B 的度 数及 DE 的长2、如图 1 所示， AB=AD ， BAD= CAE，请添加一个适当条件使

8、ABC ADE ，则需添加的条件是（一个即可）A B B A D C 图 2 D C E 图 13、如图 2，AB=AD ， B=D， ABC 与 ADC 全等吗？为什么？D 若要使 ABC ADC，则可以将改成4、如图 3，AE=CF，AD BC， B=D 求证： BE=DF A E 5、如图 4，AC 和 BD 相交于点 O，OA=OC,OB=OD,B F 图 3 求证 DC AB C C D O 6、如图 5，ACBC， AD BD，AC=AD ，E 在上，A 图 4 B C 求证： ECB=EDB A E B 学习好资料欢迎下载D 图 5 DC（三）勾股定理及逆定理【知识点精析 】AD

9、B一、勾股定理及其证明勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 拼接，符号语言：在ABC 中， C=90 （已知）a2b2c2证明：进行图形拼接用面积法证明. 制作四个全等的直角三角形，然后进行利用面积法理解勾股定理. 二、勾股定理的应用：（ 1）已知两边（或两边关系）求第三边；（4）作长为n 的线段 . （ 2）已知一边求另两边关系；（ 3）证明线段的平方关系；三、勾股定理的逆定理 E G F2 2 2如果三角形的三边长 a、b、 c 满足 a b c 那么这个三角形是直角 三角形 . b a1勾股定理的逆定理的证明是构造一个直角三角形，然后通过证全等 完成；2勾股定理的逆定理实

10、质是直角三角形的判定之一，与以前学的判定 a c c b 方法不同，它是用代数运算来证明几何问题，这是数形结合思想的最好体现，今后我们 会 经 常 用到. b c c a利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤：1先找出最大边（如 c）；a b2 2 22计算 c 与 a b，并验证是否相等 . 若 c 2 a 2 b 2，则 ABC 是直角三角形；若 c 2 a 2 b 2，则 ABC 不是直角三角形 . 注意：（1） ABC 中，若 a 2 b 2 c 2，则 C=90 ；而 b 2 c 2 a 2时，则 A=90 ；a 2 c 2 b 2时，则 B=90 . 2 2 2（2）若 a

11、b c，则 C 为钝角，则ABC 为钝角三角形 . 若 a 2 b 2 c 2，则 C 为锐角，但ABC 不一定为锐角三角形 . 三、勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数（或勾股弦数），如 3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17 等. 【解题方法指导 】例 1 作长为 2、3、5 的线段 . 例 2 如图所示，已知：ABD= C=90 ， AC=BC ， DAB=30 ， AD=8 ，求 BC 的长 . 例 3 若 a、b、c 是 ABC 的三边，且满足a2c2b2c2a4b4，试判定三角形的形状. 例 4 如图所示，已知DEF 中， DE=17cm ，

12、 EF=30cm，EF 边上中线 DG=8cm. 求证：DEF 是等腰三角形 . 学习好资料 欢迎下载例 5 如图所示，已知ABC 中， AB=AC ， D 为 BC 上的任一点 . 求证：AD2BDDCAB2. 【提示】勾股定理及其逆定理在中考说明中是C 级知识点，它常与三角形、四边形、解直角三角形、函数、圆等知识综合在一起， 以选择题、 填空题、 解答题等题型出现在中考题中，AD解决这类问题需熟练掌握勾股定理并能灵活应用. F【综合例题】BECA点B1. 在 Rt ABC 中， E 是斜边 AB 上的一点，把Rt ABC 沿 CE 折叠，点 A 与恰好重合 .如果 AC=4cm ，那么 AB=_. 2. 在数轴上用点表示下列各数：3、31. G FE3 如图所示， 已知：B= D=90 ，A=60 ，AB=4 ，CD=2，求四边形 ABCDBDC的面积. AD4 如图所示，沿AE 折叠长方形，使BCED 落在 BC 边上的点 F 处，已知： AB=8cm ，BC=10cm ，求 EC 的长 . ADEB F C5 如图所示，已知正方形 ABCD 中， E 是 BC 边的中点， F 在 CD 上，且 DF=3CF ，求证： AE