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文档简介
1、培养直觉思维,提高学生素质湖南宁乡一中黎国之(地址:湖南宁乡县玉潭镇二环西路100号,邮箱邮编410600)数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式,逻辑思维严格遵守数学概念和 逻辑演绎的规则,而直觉思维不受固定的逻辑规则约束,它直接领悟事物本质, 是一种跳跃式的预见,因此大大缩短思考时间。虽然逻辑思维在数学思维中始终 占据着主导地位,但直觉是思维活动中最活跃、最积极、最具有创造性的思维, 两者具有辨证互补的关系,即所谓“大胆假设,小心求证”。事实上,自然科学史上的许多发现和发明,文学艺术方面的许多生花妙笔,政治领域的许多不朽佳 构,经济领域的许多经典杰作,军事史上许多奇谋异略,刑事侦查方面的许
2、多巧 推妙断,往往都离不开直觉思维的作用。因此,作为选拔人才的高考命题人,很 自然要考虑对考生直觉思维能力的考查。 笔者经过对近几年高考数学试卷的分析 证实了这一点。可见,在平时的教育教学中高度重视直觉思维的培养乃是顺理成 章的事情,是真正意义上的素质教育。培养数学直觉思维,可以从特殊结构(包括代数式的结构、图形的结构、问 题的结构)、特殊数值、特殊位置、变化趋势、变化极限、范围估计、运算结果、 特殊联系等方面来进行。下面以解填空题选择题为例分类说明。一、从特殊结构入手【例题11 一个正四面体,各棱长均为 应,则对棱的距离为多少?此题情境设置简洁,解决方法也多,通常可以考虑作出对棱的公垂线段再
3、转 化为直角三角形求解。不过若能意识到把这个正四面体置于一个正方体结构中 (如图1),则瞬间得到结果,就是该正方体的棱长,为 1。【例题2】已知a,bWR,且a+b+1=0,那么(a22+(b32的最小值是22我们当然可以用消兀的万法求解,不过由式子(a-2) +(b-3)的结构联想到两点的距离公式J(x-X2)2+(y1-y2 f ,则式子(a-2(b-3)2可以看作是直线 a+b+1=0上的动点P (a,b)到定点Q (2, 3)的距离的平方,由点到直线距 离公式知|(a-2(b-3)l =(艮上3口 =18。所以答案为 18。-min 2二、从特殊数值入手1【例题3、已知sin x+co
4、s x =,冗 x E 2冗,则tan x的值为()5 TOC o 1-5 h z A B 、一或一C、一一 D 、一 33443由题目中出现的数字3、4、5是勾股数以及x的范围,直接意识到 sin x = _3 ,cos x =-, 从而得至U tanx =-, 选 C。554【例题4】、4ABC中,cosAcosBcosC的最大值是()A、3J3B 、1 C 、1 D 1882本题选自某一著名的数学期刊,作者提供了下列“标准”解法,特抄录如下供读者比较:设 y=cosAcosBcosC 则 2y=cos (A+B + cos (A-B) cosC , .cos2C- cos (A-B) c
5、osC+2y=Q 构造一元二次方程 x2- cos (A-B) x+2y=0, 则cosC是一元二次方程的根,由 cosC是实数知:= cos 2 (A-B) -8y 0, TOC o 1-5 h z 21即 8y&cos (A-B) 1, - y GS2 b、&C、SiS2& D、S206我们固然可以用直接法算出答案来,标准答案也正是这样做的,但是显然时 间会花得多。凭直觉你可以估计到:它们的期望值相同,离开期望值比较近的数 据越多,则方差一一等价于标准差会越小!所以选 Bo五、从变化极限入手 TOC o 1-5 h z 【例题9】、在 ABC中,角A、B C所对边长分别为a、b、c,若c-
6、a等于AC 边上的高,那么sin C A +cosC +A的值是()22A 1 B 、1 C 、1 D 、-1 23进行极限分析,At00时,点Ct A ,此时高hT0,CTa,那么C t 1 8 0 At 00 所以 sin C-A +cosCA t sin 900 +cos00 =1 ,选 A。22【例题10、(06辽宁文11)与方程y = e2x-2ex+1(x之0)的曲线关于直线y=x 对称的曲线方程为()A y = ln(1+7x)B 、y = ln(1-VX)C y - - ln(1 % x) D y - - ln(1 -、x)用趋势判断法:显然已知曲线方程可以化为y = (ex-
7、1)2(x20),是个增函数。 再令xt y,那么yT Z,那么根据反函数的定义,在正确选项中当 yT 时 应该有xt收,只有A符合。六、从范围估计入手【例题11、(07浙江文8)甲乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“ 3局2胜”,即以先赢2局者为胜,根据以往经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛中甲获胜的概率为()A、0.216B 、0.36 C 、0.432 D 、0.648据看“标准”解法一一甲获月t分两种情况:甲:乙 二2: 0,其概率为0.6 X 0.6=0.36 ,甲:乙二2: 1,其概率为C;0.6黑0.4黑0.6 = 0.288,所以甲获胜的 概率为 0.36+0.28
8、8=0.648 ,选 D。现在再用直觉法来解:因为这种比赛没有平局,2人获胜的概率之和为1,而甲获胜的概率比乙大,应该超过 0.5,只有选Do【例题12(07湖北理9)连续投掷两次骰子的点数为 m,n ,记向量b= (m, n) 与向量a= (1,-1)的夹角为日,则日w10%1的概率是().2A、1212凭直觉可用估值法,画个草图(图 4),立刻 发现在/AOB范围内(含在OB上)的向量b的个 数超过一半些许,选C,完全没有必要计算。图4七、从运算结果入手【例题13、(97全国理科)函数y =sin(三2x)+cos2x的最小正周期是(3A 二 B 、 n C 、 2冗D 、 4元2因为as
9、inx+bcoscox = Asin(6x +中),所以函数y的周期只与与有关,这里 切=2 ,所以选B,根本不必计算。727【例题 14】、右(12x) =a)+ax+ax 卅|+&x ,则 |注 l+la |+|a2|训+ |a7|=()A -1 B 、1 C 、0 D 、37直觉告诉我们,从结果看,展开式系数取绝对值以后,其和会相当大,选 Do 或者退化判断法:将7次改为1次;还有一个更加绝妙的主意:干脆把问题转化 为已知(1+2x)7 =a0+a1x+a2x2+| + a7x7,求 a0+a1+a2 + a7 ,这与原问题完 全等价!所以结果为37 ,选D。八、从特殊联系入手x 0,【
10、例题15、(97年高考)不等式组3-x 2-x的解集是()3 + x厂2+xA、x|04xY2B 、x|0 xY2.5C、1x|0Y x/6)D 、ix|04 xY 3?这四个值中会是哪一个呢?直觉:它必定是方程3-x3 x代入验证:直接求解肯定不是最佳策H&;四个选项左端都是 0,只有右端的值不同,在2不是,3不是,2.5也不是,所以选 C【例题16、四个平面,最多可以把空间分成几部分?(A. 8 B . 14 C . 15 D . 16这个问题等价于:一个西瓜切4刀,假设在此过程中西瓜不散落,则最多可 以切成几块?前3刀沿横、纵、竖三个方向切成8块应该没有问题,第4刀怎么切呢?要 得到最多的块数,应
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