高三数学培养直觉思维,提高学生素质

1、培养直觉思维，提高学生素质湖南宁乡一中黎国之(地址：湖南宁乡县玉潭镇二环西路100号，邮箱邮编410600)数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守数学概念和 逻辑演绎的规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，它直接领悟事物本质， 是一种跳跃式的预见，因此大大缩短思考时间。虽然逻辑思维在数学思维中始终 占据着主导地位，但直觉是思维活动中最活跃、最积极、最具有创造性的思维， 两者具有辨证互补的关系，即所谓“大胆假设，小心求证”。事实上，自然科学史上的许多发现和发明，文学艺术方面的许多生花妙笔，政治领域的许多不朽佳 构，经济领域的许多经典杰作，军事史上许多奇谋异略，刑事侦查方面的许

2、多巧 推妙断，往往都离不开直觉思维的作用。因此，作为选拔人才的高考命题人，很 自然要考虑对考生直觉思维能力的考查。 笔者经过对近几年高考数学试卷的分析 证实了这一点。可见，在平时的教育教学中高度重视直觉思维的培养乃是顺理成 章的事情，是真正意义上的素质教育。培养数学直觉思维，可以从特殊结构(包括代数式的结构、图形的结构、问 题的结构)、特殊数值、特殊位置、变化趋势、变化极限、范围估计、运算结果、 特殊联系等方面来进行。下面以解填空题选择题为例分类说明。一、从特殊结构入手【例题11 一个正四面体，各棱长均为 应，则对棱的距离为多少？此题情境设置简洁，解决方法也多，通常可以考虑作出对棱的公垂线段再

3、转 化为直角三角形求解。不过若能意识到把这个正四面体置于一个正方体结构中 (如图1),则瞬间得到结果，就是该正方体的棱长，为 1。【例题2】已知a,bWR,且a+b+1=0,那么(a22+(b32的最小值是22我们当然可以用消兀的万法求解，不过由式子(a-2) +(b-3)的结构联想到两点的距离公式J(x-X2)2+(y1-y2 f ,则式子(a-2(b-3)2可以看作是直线 a+b+1=0上的动点P (a,b)到定点Q (2, 3)的距离的平方，由点到直线距 离公式知|(a-2(b-3)l =(艮上3口 =18。所以答案为 18。-min 2二、从特殊数值入手1【例题3、已知sin x+co

4、s x =,冗 x E 2冗，则tan x的值为()5 TOC o 1-5 h z A B 、一或一C、一一 D 、一 33443由题目中出现的数字3、4、5是勾股数以及x的范围，直接意识到 sin x = _3 ,cos x =-, 从而得至U tanx =-, 选 C。554【例题4】、4ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（）A、3J3B 、1 C 、1 D 1882本题选自某一著名的数学期刊，作者提供了下列“标准”解法，特抄录如下供读者比较：设 y=cosAcosBcosC 则 2y=cos （A+B + cos （A-B） cosC , .cos2C- cos （A-B） c

5、osC+2y=Q 构造一元二次方程 x2- cos （A-B） x+2y=0, 则cosC是一元二次方程的根，由 cosC是实数知：= cos 2 （A-B） -8y 0, TOC o 1-5 h z 21即 8y&cos （A-B） 1, - y GS2 b、&C、SiS2& D、S206我们固然可以用直接法算出答案来，标准答案也正是这样做的，但是显然时 间会花得多。凭直觉你可以估计到：它们的期望值相同，离开期望值比较近的数 据越多，则方差一一等价于标准差会越小！所以选 Bo五、从变化极限入手 TOC o 1-5 h z 【例题9】、在 ABC中，角A、B C所对边长分别为a、b、c,若c-

6、a等于AC 边上的高，那么sin C A +cosC +A的值是（）22A 1 B 、1 C 、1 D 、-1 23进行极限分析，At00时，点Ct A ,此时高hT0,CTa,那么C t 1 8 0 At 00 所以 sin C-A +cosCA t sin 900 +cos00 =1 ,选 A。22【例题10、（06辽宁文11）与方程y = e2x-2ex+1（x之0）的曲线关于直线y=x 对称的曲线方程为（）A y = ln（1+7x）B 、y = ln（1-VX）C y - - ln（1 % x） D y - - ln（1 -、x）用趋势判断法：显然已知曲线方程可以化为y = （ex-

7、1）2（x20）,是个增函数。 再令xt y,那么yT Z,那么根据反函数的定义，在正确选项中当 yT 时 应该有xt收,只有A符合。六、从范围估计入手【例题11、（07浙江文8）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“ 3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据以往经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛中甲获胜的概率为（）A、0.216B 、0.36 C 、0.432 D 、0.648据看“标准”解法一一甲获月t分两种情况：甲：乙 二2: 0,其概率为0.6 X 0.6=0.36 ,甲：乙二2: 1,其概率为C；0.6黑0.4黑0.6 = 0.288,所以甲获胜的 概率为 0.36+0.28

8、8=0.648 ,选 D。现在再用直觉法来解：因为这种比赛没有平局，2人获胜的概率之和为1,而甲获胜的概率比乙大，应该超过 0.5,只有选Do【例题12（07湖北理9）连续投掷两次骰子的点数为 m,n ,记向量b= （m, n） 与向量a= （1,-1）的夹角为日，则日w10%1的概率是（）.2A、1212凭直觉可用估值法，画个草图（图 4）,立刻 发现在/AOB范围内（含在OB上）的向量b的个 数超过一半些许，选C,完全没有必要计算。图4七、从运算结果入手【例题13、（97全国理科）函数y =sin（三2x）+cos2x的最小正周期是（3A 二 B 、 n C 、 2冗D 、 4元2因为as

9、inx+bcoscox = Asin（6x +中），所以函数y的周期只与与有关，这里 切=2 ,所以选B,根本不必计算。727【例题 14】、右（12x） =a）+ax+ax 卅|+&x ,则 |注 l+la |+|a2|训+ |a7|=（）A -1 B 、1 C 、0 D 、37直觉告诉我们，从结果看，展开式系数取绝对值以后，其和会相当大，选 Do 或者退化判断法：将7次改为1次；还有一个更加绝妙的主意：干脆把问题转化 为已知（1+2x）7 =a0+a1x+a2x2+| + a7x7,求 a0+a1+a2 + a7 ,这与原问题完 全等价！所以结果为37 ,选D。八、从特殊联系入手x 0,【

10、例题15、（97年高考）不等式组3-x 2-x的解集是（）3 + x厂2+xA、x|04xY2B 、x|0 xY2.5C、1x|0Y x/6）D 、ix|04 xY 3?这四个值中会是哪一个呢？直觉：它必定是方程3-x3 x代入验证:直接求解肯定不是最佳策H&;四个选项左端都是 0,只有右端的值不同，在2不是，3不是，2.5也不是，所以选 C【例题16、四个平面，最多可以把空间分成几部分？（A. 8 B . 14 C . 15 D . 16这个问题等价于：一个西瓜切4刀，假设在此过程中西瓜不散落，则最多可 以切成几块？前3刀沿横、纵、竖三个方向切成8块应该没有问题，第4刀怎么切呢？要 得到最多的块数，应