高三物理斜交分解法在高中物理中的应用

1、“斜交分解法”在高中物理中的应用（续）08备考综合热身辅导系列山东平原一中 魏德田 253100除开前文所述而外，在高中物理中利用矢量的“斜交分解法”（以下称“斜分法”）解决问题的实例，可谓屡见不鲜。为了使初学者能理解和把握“斜分法”的应用，下面再着重从 加速度的“斜交分解”角度，对几个典型问题展开进一步的分析和探讨。斜面的倾角为0，小车上O图一13例题6如图一13所示，小车从足够长的光滑斜面自由下滑。 吊着质量为m的小球。试证明当小球与小车保持相对静止时，悬线垂直于斜面；悬线对小球的拉力多大？解析首先，由“运动分析”可知，当小球与小车保持相对静止时，二者具有相同的加速度 a。当小车沿光滑斜面

2、 自由下滑时，由牛二定律可得小球的加速度a g sin - - - - -（T）显然，其方向沿斜面向下。由于该加速度恰好等于小球的 “下滑力”产生的加速度，因而悬线的拉力根本没有沿斜面的分量。因此，悬线必定垂直于斜面。然后，因小球只受重力 G拉力T作用，由力的独立性、加速度的“斜分法” ，可知小球的加速度a可分解为竖直向下的重力加速度g和沿悬线向左上的拉力加速度a2,如图一14所示。设悬线与竖直夹角为 “，再由正弦定理、牛二定律、角度关系， 可得gsin90 TOC o 1-5 h z a2_ asin(90 - ： ) sin 二 T = ma2(3) = e联立式，即可求出T = mg c

3、os ?点拨应用“斜分法”解决有关于加速度的物理问题，也千万 不能忘记“解斜三角形”物理规律一一即正弦定理、余弦定理、拉密公式等等。这应该是“斜例题7如图一15所示，一个小球固定于小车支架上刚性细杆的顶端,且杆与水平方向图一15分法”与“正分法”在处理物理问题上的主要区别之所在。3的夹角为日=30 。当系统以加速度 a=g水平向右运动 3时，求沿杆的轴线方向小球受到的弹力有多大？解析首先，分析可知当系统自左向右加速运动时，小球 受重力、杆的弹力作用，其合力作为系统前进的动力。根据力 的独立作用原理，各个力都能产生各自的加速度。然后，把系统的加速度 a分解为由重力、杆的弹力分别产 生的加速度g、

4、aN,依“斜分法”可知三者恰能组成一个平行四 边形，如图一16 （左）所示，设加速度aN与水平方向成口角，由正弦定理、勾股定理， 可得mgy1617所示。从而Fni其中，Fni沿杆的轴线方向的支持力；Fn2则为垂直于轴线方向的扭转弹力，如图一（右）所示。F N2FN2 = Fn sin（a -6）最后，已知3 =30,再把式结果代入以上两式可得=mg3=mg.3gi等两个方向，均按做匀减速运动处理，亦可求出相同的结果，如图一 g1 = g/sin点拨此例首先应该明确一点，刚性杆所产生的弹力，不但有轴向的拉伸 （或压缩）弹力，还有垂直于轴向的因杆的弯曲形变所导致的弹力。明确这一点，对解决有关刚性

5、杆的力学问题是十分有意义的。例题8把一物体以初速度 vo沿与水平成。角的方向向斜上方抛出， 经过时间t,试求， 物体沿初速度方向的末速度、位移等的大小。 t时刻物体相对抛点的竖直高度 h和水平 距离X。解析通常，把斜抛运动作为水平的“匀速”和竖直的“匀减速”处理。现在改变思路，应用“斜分法”先把加速度g分解到左斜下（与初速度方向相反）的g1和水平向右g2 g/ tan。（2然后，设向斜上的末速度、位移分别为 四边形定则、运动学公式，可得v1 v0 g1ts1 =v0tg1t2 - -2v2 = -g2t_ _ 12s2 = g2t 2由式，即可求出Vi、Si,水平速度、位移分别为Vz、Sz。由

6、平行gX图一17gFn2Oag图一16我们aN3其方向与水平有 60。夹角。显见，该弹力并不沿着杆的轴线方向。事实上，这种情况 下杆所产生的弹力， 是由杆的轴向的拉伸形变、横向的扭转形变等综合产生的。因而， 可把弹力Fn再向这两个方向做正交分解。从而求出F n 1 = Fn cos。）CB）. =sin-3 =60 一一 2据牛二定律，可知杆对小球的弹力大小为2 3 Fn =mgsin 90 sin ：222aN =ga -联立式，可23 aN g-vi - v0 _gtsin 二s1 = v0t 一 g一 - -2 sin由于竖直位移只能由沿斜上的运动产生，水平位移则为两个运动在水平方向的代

7、数 和。考虑到两式，从而不难求出以下结果1 , 2h = s1 sin 二-v0tsin 二- gt .2x = g cos s2 = v0t cos 二此结果与应用“正分法”所得完全相同。点拨由解题过程可见，利用“斜分法”处理各种抛体运动，虽然有时显得略微麻烦一 些，但是它又毕竟是解决抛体运动的一种有效方法和正确途径。特别是解决斜下、上抛问题, 不但能应用一题多解方式，激发学习兴趣，取得异途同归的教学效果，而且对培养临场应变 能力，增强自信心，活化思维方法，克服思维定势等等都是有“百益而无一害”的。例题9 一圆锥摆的悬线长为1,小球质量为m,当小球在水平面内以角速度转动时,求悬线的拉力多大？

8、解析类似地，因小球只受重力、 拉力作用，故小球做圆 周运动的向心加速度 a可“斜分”为重力加速度g和拉力加速 度a?、，如图一18所示。然后，设悬线与竖直的夹角为 0 ,由 正弦定理、向心加速度公式及线段关系，易知 TOC o 1-5 h z 戛 =asin90 sin 二a =co2rr = Lsin1联立式，即可求出一2.T = m L.点拨此例难度不大，但还是应该强调，从矢量运算角度看“圆锥摆” 的实际加速度一一即合加速度可认为由重力加速度、拉力加速度合成的，方向则时刻指向水平面内“轨迹圆”的圆心。例题10 一质量为m的小球固定在一根自然长度为I。、劲度为k的弹簧的一端，另一端悬挂于天花

9、板上的 O点。现使小球与悬点位于同一水平线上的A点，而弹簧恰能处于自由状态，然后由静止释放。当小球依动至B点时，下落高度为h,测得此时其长度为1。试求:k 2小球在B点的瞬时加速度的大小。(设一=切2 )mO点的转动等两个分运动。类似地,解析首先，分析可知小球参与自由落体运动和绕 小球的加速度a可“斜分”为重力加速度 g、弹簧的拉力 加速度a2,如图一19所示。-k 2，一 八 , 一山 1已知 =0 ,由胡克定律、牛二定律可得m TOC o 1-5 h z k(1 To)一-a2 0 (1 - 10)m然后，对矢量三角形，应用余弦定理可得a = g2 a2 -2ga2cos-cosa =-1

10、再联立式式，即可解得242g24(i -lo)222g 2(l -lo)h点拨此例把胡克定律、运动定律和“解斜三角形”的知识联系在一起，由自由落体、 定轴可变半径的转动合成为实际运动，亦可谓力学综合题的一种题型。例题11假如地球为质量分布均匀的正球体，其质量、自转的角速度、半径分别为M、R、R,求地球表面纬度为 60处的重力加速度。（已知引力常量为 G）解析如图一20所示，MN表示地轴，O O分别表示地心、地面纬度 60 P点的旋转中 心，由万有引力、牛二定律可得引力加速度为MR2又，由向心力公式可得、2 a22Rsin 60 = 2显然，此加速度由万有引力垂直于地轴的一个分力产生。根据矢量“斜分法”，可得重力加速度、向心加速度和引力加速度等的平行四边形（或三角形）。针对矢量三角形，由余弦定理可得g =、a2 +a； -2aa2cos600 -联立式，即可求出2323GM R R、g 2 1 一 （1 一 ）R2 . 2GM 2GM点拨若令a=GM,k=/