高三数学第二轮复习空间角与距离

1、第二十四、二十五讲空间角与距离高考在考什么【考题回放】1. （2008湖南卷9）长方体ABCD- A1B1CD的8个顶点在同一球面上，且AB=2, AD=J3, AA=1,则顶点 A B间的球面距离是（C ）A.22二C ,2：C.22 、( 2008陕西卷14）长方体ABCD1AB1 cig各 顶点 都在球o的球面上，其中AB: AD3、（2008福建卷6）如图，在长方体ABCDABCD中，AB=BC=2, AA=1,则BC与平面BBDD所成角的正弦值A.B.2.65C.155D.Tc54、（2008全国一 16）等边三角形ABC与正方形 ABDE有一公共边 AB ,二面角C-AB-D的余弦

2、值B两点的球面距离记为m , A, D1两点的球面距离记为n ,则的值nY3, m, N分别是AC, BC的中点，则EM, AN所成角的余弦值等于3（2008安徽卷16）已知A, B, C, DB同一个球面上，AB_L平面BCD, BC _L CD,若AB =6, AC =2屈，AD =8 ,则B,C两点间的球面距离是B, C三点，AB=1, BC=J2, A, C两点的球面6、（ 2008辽宁卷14）在体积为4j3n的球的表面上有 A,距离为冗，则球心到平面 ABC勺距离为 37、（2008北京卷16）如图，在三棱锥 P - ABC中，AC= BC=2, /ACB=90, AP = BP =

3、 AB,PC -L AC .（I ）求证：PC _L AB ;（n）求二面角BAPC的大小;（出）求点C到平面APB的距离.解法一：(I )取AB中点D ,连结PD, CD .V AP = BP , :. PD _L AB , ； AC = BC ,- CD _L AB . vPD PCD = D ,二 AB _L平面 PCD .V PC u 平面 PCD ,. PC _L AB .(n ) A AC =BC , AP = BP ,.APC BPC .又 PC _L AC ,PC _L BC .又 ZACB =900，即 AC _L BC ,且 AC Q PC =C ,B BC _L 平面 P

4、AC .取AP中点E .连结BE, CE .A AB = BP ,二 BE _L AP .V EC是BE在平面PAC内的射影，CE _L AP .BEC是二面角BAPC的平面角.在 ABCE 中，NBCE=900, BC =2 , BE= AB = V6, sin ZBEC =-BC = 2BE 3，二面角B-AP-C的大小为arcsin画3（出）由（I ）知AB，平面PCD ,，平面APB _L平面PCD .过C作CH _LPD ,垂足为H .V平面APB n平面PCD = PD，二CH工平面APB .a CH的长即为点C到平面APB的距离.由（I ）知 PC _L AB ,又 PC _L

5、AC ,且 ABAC = A,PC _L平面 ABC . C CD u 平面 ABC，: PC .L CD .1、3-二 PC =JPD2 -CD2 =2 .CHPC CD 2 3PD 3一 一2% 3，点C到平面APB的距离为 .3解法二：(I)Vac =bc , ap = bp ,.APC 9A BPC .又 PC _L AC ,二 PC -L BC .VAC HbC =C , PC _L 平面 ABC . A AB 二平面 ABC ,二 PC 1 AB .(n )如图，以C为原点建立空间直角坐标系 C -xyz .则 C(0,0,0), A(0,2,0), B(2,0,0).设 P(0,

6、0, t) . / PB = AB =272 ,，t =2 , P(0,0,2) .取 AP 中点 E ,连结 BE, CE .；AC =|PC , AB = BP ,二 CE -L AP , BE -L AP .C在RtPCD 中，cd=ab=V2 PD = PB = /6, 22:/BEC是二面角BAPC的平面角.；E(011), EC=(0,-1,-1), EB = (2,-1,-1),cos.- BEC =EC *EBEC EB263,面角B - AP -C的大小为arccos 3（出）7AC =BC =PC ,二C在平面APB内的射影为正 APB的中心 如（n ）建立空间直角坐标系

7、C -xyz .H ,且CH的长为点C到平面APB的距离.r 2 2 2b BH = 2HE，二点 H 的坐标为.一,一，一.3 3 32,3323,点C到平面APB的距离为 3（2008天津卷）如图，在四棱锥P - ABCD中，底AB=3, AD =2,PA=2, PD =2乏,/PAB =60 :（I）证明AD _L平面PAB ；（n ）求异面直线 PC与AD所成的角的大小；（出）求二面角P - BD A的大小.（19）本小题主要考查直线和平面垂直，异面直线所成的角、 二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力.满分 12分.A B C星矩形.已知面（I）证明：在 APAD

8、中，由题设PA = 2,PD =2J万可得_2_ 22 一PA2 + AD2 =PD2于是 AD _L PA.在矩形 ABCD 中，AD 1 AB .又 PAAB = A ,所以AD _L平面PAB .（n）解：由题设，BC / AD ,所以NPCB （或其补角）是异面直线 PC与AD所成的角.在APAB中，由余弦定理得PB 二：PA2 AB2 -2PA AB cosPAB =,7由(I)知 AD _L平面PAB , PB u平面PAB ,所以AD _L PB ,因而BC _L PB ,于 PB是APBC是直角三角形，故tanPCB= BC所以异面直线 PC与AD所成的角的大小为t 、7arc

9、tan 2（出）解：过点 P做PH _LAB于H,过点 因为AD _L平面PAB , PH仁平面PAB ,H做HE _L BD于E,连结PE 所以 AD _L PH 又 AD Q AB = A ,因而PH _L平面ABCD，故HE为PE再平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知, BD -L PE ,从而NPEH是二面角P - BD - A的平面角。PHBHHE由题设可得，=PA sin60 = 3, AH = PA cos60 =1,=AB - AH =2, BD = . AB2 AD2 = 13, TOC o 1-5 h z AD4BH 二BD13“39于是再RTAPHE中，tanPEH =

10、上空4“一 a . 39所以二面角P - BD A的大小为arctan上 .4高考考什么【考点透视】异面直线所成角，直线与平面所成角，求二面角每年必考，作为解答题可能性最大.【热点透析】.转化思想：线线平行 U线面平行U面面平行，线_1线二线_1面面，面将异面直线所成的角，直线与平面所成的角转化为平面角，然后解三角形.求角的三个步骤：一猜，二证，三算.猜是关键，在作线面角时，利用空间图形的平行，垂直，对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方，然后再证.二面角的平面角的主要作法：定义三垂线定义 垂面法距离【考点透视】判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的

11、体积。【热点透析】转化思想：线线平行 仁 线面平行 仁 面面平行，线_1线仁 线_1面之 面_1面 ；异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。2.空间距离则主要是求点到面的距离主要方法：体积法；直接法，找出点在平面内的射影高考将考什么OAB =【范例1】（07北京？理？ 16题）如图，在RQAOB中，以通过Rt AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B - AO -C是直（I）求证：平面COD ,平面AOB；（II）当D为AB的中点时，求异面直线 AO与CD所成角的大小；（III）求CD与平面AOB所成角的最大值.解法一：（I）由题意，CO,A

12、O, BO 1 AO , 二/ BOC是二面角B-AO -C是直二面角，又,二面角BAOC是直二面角，二 CO -L BO ,又AO n BO = O ,花6 ,斜边 AB = 4 . Rt A0c 可面角.动点D的斜边AB上.:，CO 1 平面 AOB ,又CO u平面COD二平面COD 1平面AOB .(II)作DE 1OB ,垂足为E ,连结CE (如图)，则DE / AO , ，/CDE是异面直线AO与CD所成的角.八1八OE = BO =1在 RtCOE 中 CO=BO=22CE = CO2 OE2 = 5DE = AO = 3又 2,二在 RtCDE 中,tanCDECE _ ,5

13、 、石 一 DE 一13 - 3arctan*，异面直线AO与CD所成角的大小为3(III )由(I)知，CO,平面 AOB,二/CDO是CD与平面当OD最小时，ZCDOtanCDOAOB所成的角，且最大,OCOD2OD2. 3 tan CDO = 3znDiAi TOC o 1-5 h z oaLobOD3这时，OD _L AB ,垂足为D ,ABarctan2 3二CD与平面AOB所成角的最大值为3 .解法二：(I )同解法一.(II )建立空间直角坐标系O -xyz,如图，则0(0,0,0), A(0,0,2,C(2,0,0)D(01,.3) TOC o 1-5 h z T，一.0A =

14、 (0,0,2.3)CD=(-21,3)?I ?T -0oA CD, cos =力OA“CDarcc0s诿二异面直线AO与CD所成角的大小为4(III )同解法一【点晴】 本题源于课本，高于课本，不难不繁，体现了通过平移求线线、通过射影求线面角的基本方【变式】 如右下图，在长方体 ABCD-AiBiCD中，已知 AB= 4, AD =3, AA i= 2 .E、F分别是线段 AB BC上的点，且 EB= FB=1.(1)求二面角C- DE- Ci的正切值；(2) 求直线EC与FD所成的余弦值.解：(I)以a为原点，AB,AD,AAi分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系， 则有 D(0

15、,3,0) 、D(0,3,2) 、E(3,0,0)、F(4,i,0) 、C(4,3,2),故皿二母-3，。)，3,2)2 =(-422)a1e_e设向量n = (x,y,z)与平面CiDE垂直，则有3x - 3y =0二 xx 3 y 2 z = 0n=(VZ，z) = Z(1,2)，其中 z 0取n0 = (1,1,2)，则n0是一个与平面C1 DE垂直的向量丁向量 AA 1 = (0,0,2)与平面 CDE 垂直，n 0 与 AA1所成的角e为二面角C - DE C/勺平面角t an 二| n 0 | | AA 1 |. 114. 004、.22_6_亍2(II )设EC与FD所成角为3

16、,则EC1 *FD11 (-4) 3 2 2 2| EC1 | | FDi |12 32 2 2(-4)2 22 22.2114【点晴】空间向量在解决含有三维直角的立体几何题中更能体现出它的优点，但必须注意其程序化的 过程及计算的公式，本题使用纯几何方法也不难，同学不妨一试。【范例2】(07福建？理？ 18题)如图，正三棱柱 ABC- A1B1C1的所有棱长都为 2, D为CC1中点。(I)求证： ABL面 ABD; (n)求二面角 A- A1D- B的大小；分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的 距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.解答：解法一：

17、(I )取BC中点O ,连结AO .ABC为正三角形，二AO BC .正三棱柱ABCABG中，平面abc平面BCGB ,AO 平面 BCCiBi连结B。，在正方形bBCiC中，o, BC, CCi 的中点J. B1OXBDD分别为二 AB1 1 BD在正方形ABi,平面 ABD(n)设ABv AB交于点g ,在平面ABD中，作G AdF ,连结AF，由(I)得 AB1 ,平面Abd二 AF AD./AFG 为二面角 A-AD-B的平面角.AL 4,5AF =在 AAD中，由等面积法可求得5 ,- AG:.sinZ AFG =，+1-AF. AGAB1 =V2又2,所以二面角 AAD-B的大小为

18、.10 arcsin4(出)BD在正三棱柱中,中 bd=ad=/5, ab = 2三二 sja A到平面bCCiBi的距离为J3.A1BD=6SA BCD = 1设点C到平面ABD的距离为d .d )2 二&ABD2V - V二 SzbcdI_ 3 = - Sa A1BD-d由 VA 出CD Vc/BD 得 33 r2点C到平面A|BD的距离为2 .解法二：(I)取BC中点0 ,连结AO .ABC为正三角形，二AO BC .在正三棱柱 取B。1中点O1ABC_AB1中平面普上1,以0 为原点,OB, 。1, 0A平面BCG4的方向为x,二 AD 平面 BCCi Biy,州 B(1,0,0) D

19、(1,1,0) A(02圾 A(0,0,石)口(1,2,0) AB1 =(12,-.3) BD=(-2,10)BA=(-1,2,3)7 ABi_BD -2 2 0 -0 ABLBA - -1 4-3 = 0T T - -, AB1 BD AB，BA，AB，平面 ABD(np设平面 AAD 的法量为 n =(x, y, z) AD =(-1,1,- AA =(0,2,0). Tn AA,n AD=0,=0,令z =1得nz轴的正方向建立空间直角坐标系,-x y - 辰=0,y =0，,_二:u2y = 0,x = - 3z.=(-枢01)为平面AA一个法向量.ABi ,平面ABD ,二AB1为平

20、面ABD的法向量.cos 二 n二面角【点晴】7Tn LAB1-v3-、.,36AB1 A不/三天,6AAD-B 的大小为 arccosT .由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问 题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。【变式】 在梯形 ABCM, AB=BC=1 AD=2 /CBA=/BAD =90：沿对角线ACW起，使点B在平面AC咕的射影0恰在AC(1)求证：AB_L平面BCD(2)求异面直线 BC与AD所成的角。解：在梯形 ABCD, AC = DC，AD=2, AC2 +DC2 =AD2 ,

21、二 AC I DC又 BO _L平面 ACD 故 AB _L CD又 AB _L BC ,且 BC c CD = C，AB _L 平面 BCD(2)因为 BA=BC BO .L AC ,0为AC中点,取CD中点E, AB中点F,连结OE OF EF,则OE/ZAD, OF/ZBC,所以AD与BC所成的角为/EOF或其补角.作FH/BO交AC于H,连结 HE,则FH_L平面 ACD2_2_2_2_2EF = FH EH = FH HC EC1在二角形EOF中，又丫 FO = ，EO=121由余弦定理知 cos. EOF = -,. . EOF =120 2故异面直线BC与AD所成的角为120 =

22、【点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别，【范例3】在四锥P-ABCD中，ABCM正方形，PAL面本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。ABCD PA= AB= a, E 为 BC中点.(1)求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小；(2)求平面PBA与平面PDC/f成二面角的大小 解：(1)延长AR DE交于点F,则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱，. PAL平面 ABCD- ADL PA AB, PAAAB=A DAL平面 BPA于A, 过A作AOL PF于O 连结 OD,则/AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。,口55信tan/AOD =,故面PDE与

23、面PAD所成一面角的大小为 atctan 22(2)解法 1 (面积法)如图.ADLPA AB, PAAAB=ADAL平面 BPA于A,同时BC1平面 BPA于B,.PBA是4PCD在平面PBA上的射影,设平面 PBA与平面 PDC所成二面角大小为0 , cos 0 =SaPae/S apc=V2 /2=。=45,即平面BAP与平面PDC/f成的二面角的大小为 45 解法2 (补形化为定义法)如图将四棱锥P-ABCE#形得正方体 ABCD-PQMN贝U PQL PA PD,于是/ APD是两面所成二面角的平面角。在 RtPAD 中，PA=ADi /B则/APD=45 。即平面 BAP与平面PD

24、C所成二面角的大小为45。【点晴】求线面角、面面角关键在于准确作出角，同样遵循一作二证三计算的步骤，但应用面积射影法求二面角可避免找角，同学们注意经常使用。【范例4】(2006年福建卷)如图，四面体 ABCD中， O、E分别是CA =CB =CD =BD =2,AB = AD =二.(I)求证：AO_L平面BCD (II )求异面直线 AB与CD所成角的大小； (III )求点E到平面ACD的距离。BD、BC的中点，方法一：(I )证明：连结BO =DO,ABBO =DO,BCOC二 AD,.二CD,在必0c中，由已知可得AO _ BD.CO BD.AO =1,CO = .3._ _ 22_

25、_ 2而 AC =2, AO CO = AC ,二/AOC =90，即 AO IOC.BD PlOC =O,AO_L平面 BCD(II )解：取AC的中点M连结OM ME 二直线OE与EM所成的锐角就是异面直线OE,由 E为 BC的中点知 ME/AB,OE/ DCAB与CD所成的角 TOC o 1-5 h z 1.2EM = - AB =在 &OME 中，22八 1八,OE =一 DC =1,212OM AC =1, cos - OEM =,OM是直角MOC斜边AC上的中线，24,2 arccos . ，异面直线AB与CD所成角的大小为4(III )解：设点E到平面ACD勺距离为h.11Ve

26、幺CD =Va_CDE,- h.S ACD = .AO.33S -CDE.S ACDAO =1,Scde 而1、32、32 =h = A0.S CDES ACD. 21在 MCD 中，CA = CD=2,AD = T2,C(0, ,3.0),13A(0,0,1), E(-,一 J2,0), BA =(-1,0,1),CD =(-1,- .3.0).点E到平面ACD勺距离为 7方法二：(I )同方法一。(II )解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0), D(一1QQ),，异面直线AB与CD所成角的大小为2 arccos-4(JI上解：设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),

27、则：.”=(% y,z).(-1,0,-1)=0, n.AC =(x,y,z).(0,、3, -1)=0, 令 y =1,得 n=(-6,1，x z = 0,-z = 0.是平面 ACD勺一个法向量。1EC ,0), 点E到平面ACD的距离BACD.cos : BA, CD= M BAICD【点晴】 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识, 考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。【变式】已知正三棱柱 ABC-ABC的侧棱长和底面边长均为 1, M是底面BC边上的中点，N是侧棱CG上的点，且CN= 2GN.(I )求二面角 Bi- AM- N的平面角的

28、余弦值;解(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则1_M (0, 2,0) ,C(0,1,0), N (0,1,23)，A (H)求点Bl(0,0,1),3 1 一，一 ,02 2B到平面AMN勺距离。所以AM=(刍0,0)M=(0,1)MN =(0,1,2) 222 3因为所以故MBlAM 二虫2 TC C /1、 C ,-0 0 (-) 0 1=02MB1?，同法可得MN _ AM oMB1，MN 为二面角 B1,-AM- N的平面角. cos =MB1MN x5MN,V故二面角1fBAM-N的平面角的余弦值为 5 。(n)设n=(x, y, z) 为平面AMN勺一个法向量，则由3x =02

29、ly 2z=023x =04y = -z.3n=(0,-,故可取，4,1)cosa =设MB1与n的夹角为a,则MB1 mb12x53所以B到平面AMN勺距离为MB1:cos aO-5 2.5二二 I25。【范例5】如图，所示的多面体是由底面为 BC=2, CC1=3 BE=1.(I )求BF的长；(n)求点 C到平面AEC1F的距离.解法1: (I)过 E作EH/BC交CC1于H,ABCM长方体被截面 AEC1F所截面而得到的，其中贝U CH=BE=1 EH/AD,且 EH=AD.1. AF/ EC1, ./ FAD至 C1EH. /.RtAADfRtAEHCl.-.DF=C1H=2. BF

30、 = BD2 DF2 =2 6(n )延长 C1E与CB交于G,连ag则平面 AEC1F与平面 ABCD交于 AG.过C作CML AG垂足为M连C1M由三垂线定理可知 AGL C1M由于 AGL面C1MC且AG=面AEC1F所以平面 AEC1F_面 C1MC.M G在RtC1CM中，作CQLMC1垂足为 Q则CQ的长即为C到面AEC1F的距离.由里=BG可得，bg =1,从而AG ZAB2 +BG2 =$万.CC1 CG4由 NGAB =/MCG 知,CM =3cosMCG =3cosGAB = 3父一；=1712.17AB=4,“ CM CGCQMC1123 17L4 . 331117解法2

31、: (I)建立如图所示的空间直角坐标系，则 D (0, 0, 0) , B (2, 4, 0),A (2, 0, 0) , C (0, 4, 0) , E (2, 4, 1) , C1 (0, 4, 3).设 F (0, 0, z).C1.AEC1F为平行四边形，二由AEC1F为平行四边形.由AF =EC1彳#,(-2,0, z) =(-2,0,2), .z =2. F (0,0,2). EF =(-2,42).于是| bF |=2j6,即BF的长为26.(II )设n1为面AEC1F的法向量,显然Q不垂直于平面ADF ,故可设n1 =(x, y,1)上 n1 AE =0,/日由二.,得n1A

32、F =0,0Mx+4xy+1=0_2xx+0 xy+2 =0即4y +1 =0, 2x+2 = 0,x = 1,1又CC1 =(0,0,3)，设CC1与n1的夹角为a,则d =| CC1 | cos ： = 3.C到平面AEC1F的距离为|CCi| 1nli4,33 _ 4. 334冬33333311【点晴】本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，空间距离也遵循一作二证三计算的 步骤，但体积法是一种很好的求空间距离的方法，同学们不妨一试。【文】正三棱柱 ABC -2巳心的底面边长为8,对角线B1C=10, d是AC的中点。求点B1求直线到直线AC的距离.AB1到平面C1BD 的距离.解:所以(1)连结BD, B1D ,由三垂线 定理可得：B1 D 1 AC , B1D就是B1 点到直线AC的距离。在 Rt BBD中 BB1BQ2 -BC2二102 -82 =6, BD = 4.3,B1D = BD2 B1B2 =2.21C,、(2)因为AC与平面BDC1交于AC的中点D, 设 BQCBG =E,则 AB1/DE,所以 AB1/ 所以ABl 到平面BDC1的距离等于A点到平面平面GBDBDC1的距离，等于C点到平面锥c-bdg的高，BDC1的距离，也就等于三棱 - Vc -BDC1 =Vj-BDCCB1hQ. -1包nS.