高三数学线面垂直三垂线定理

1、3线面垂直、三垂线定理一、明确复习目标.掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，能用文字、符号、图形规范 表述.掌握三垂线定理及其逆定理 ，.通过线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化提高化归转化能力.会求斜线与平面所成的角.二.建构知识网络.直线和平面垂直定义：一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直.记作：a，a.直线与平面垂直的判定方法：(1)判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则则线垂直；(2)依定义，一般要用反证法；(3)和直线的垂面平行的平面垂直于直线；(4)面面垂直的性质.直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面白两条直线平行 .点到平面的距离、直线和平面的距

2、离以及面面距离的求法：找出垂线段，在一个平面内求，或用等积法、向量法求，.斜线、射影、直线和平面所成的角：定义一一性质：从平面外一点向平面所引的垂线段和斜线段中(1)垂线段最短；(2)斜线段相等 =射影相等；(3)斜线段较长(短)=射影较长(短).三垂线定理：平面内的直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和斜线垂直。三垂线定理的逆定理：平面内的直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直用途：判定线线垂直=线面垂直，二面角的平面角 .三、双双基题目练练手.已知a, b, c是直线，a,队平面，下列条件中，能得出直线a,平面a的是()A. ac, a b,其中 b

3、6, ctB. ab, b / aC. oaP, a/ PD.a/b,ba2.如果直线l,平面a,若直线m, l,则m / a；若m 口,则m / l;若m / r则m L ;若m / l,则m a,上述判断正确的是() TOC o 1-5 h z A.B.C.D.3.直角 ABC的斜边BC在平面口内，顶点A在平面仪外，则 ABC的两条直角边在平面口内的射影与斜边BC组成的图形只能是()A. 一条线段B. 一个锐角三角形C. 一个钝角三角形D. 一条线段或一个钝角三角形.已知P为RtA ABC所在平面外一点，且 PA=PB=PC, D为斜边AB的中点，则直 线PD与平面ABC.()A.垂直B.

4、斜交 C.成600角D.与两直角边长有关.直线a, b, c是两两互相垂直的异面直线，直线 d是b和c的公垂线，则 d和 a的位置关系是.6. (2006浙江)正四面体 ABCD的棱长为1,棱AB/平面a ,则正四面体上的所有 点在平面a内的射影构成的图形面积的取值范围是 .答案提示：1-3. DBDA; 5. all d;6. .5.CD，平面a时射影面积最小 生;CD/ a时射影面积最大1 .4 242四、经典例题做一做【例1】AD为小ABC中BC边上的高，在AD上取一点E,使AE=- DE ,过E点作 2直线MN / BC ,交AB于M ,交AC于N,现将 AMN沿MN折起，这时 A点到

5、A点的位置，且ZAED=60,求证：AEL平面ABC.【例2】如图，P为 ABC所在平面外一点，PAL平面 ABC, /ABC=90 , AEXPB T E, AFPF,求证：BC,平面AEL平面PAB;PBC;AEF.CBPC,平面证明：（1） RA，平面ABC =PAX BC 、ABXBCb=BC，平面 PAB.PAA AB=A jAEu 平面 PAB,由（1）知 AEXBC、AEPB AEL平面 PBC.PBA BC=BPCU 平面 PBC,（2）知 PCXAE PCXAF a 二 PC,平面 AEF.AEA AF=A【例 3】如图，直三棱柱 ABC-AiBiCi 中，NACB=90,A

6、C=1,CB= J2 ,侧棱 AAi=1,侧面A A1 B1B的两条对角线交于点 D, B1C1的中点为M,求证：CD,平面BDM证明：在直三棱柱 ABC AB1cl中CC1 _L AC ,又 ZACB =90 :AC _L平面 CB ,AA =1 , ac =1ac=。AC =BC , CD _A1B连结B1c，则B1c是AB在面BC上的射影，也是CD的射影在 ABBC 中，tanZBBC =/2在 ABB M 中，tan/BMB =啦，1 /BB1c =ZBMB1,B1c _LBM ,CD -BM , BM BD =B，CD _L平面 BDM .总结提练：证线面垂直，要注意线线垂直与线面垂

7、直关系与它之间的相互转化证线线垂直常用余弦定理、勾股定理逆定理，三垂线定理或通过线面垂直 .【例4】（2006浙江）如图，在四锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD/ BC，/BAD =90;PA _L 底面 ABCD ,且 PA =AD =AB =2BC , M、N 分别为 PC、PB 的中点.(I )求证：PB _LDM ;(n )求CD与平面ADMN所成的角.解：(I) n 是 PB 的中点，PA=PB, . AN _LPB.AD _L平面 PAB , AD _LPB ,从而 PB _L 平面 ADMN .- DM 匚平面 ADMN，.二 PB _LDM .(II )取AD的中点G ,连

8、结BG、NG ,则BG /CD , BG与平面ADMN所成的角和CD与面ADMN所成的角相等.1 PB J_平面 ADMN , NG是BG在面ADMN内的射影，ZBGN是BG与平面ADMN所成的角.在R缈GN中，6受理.BG 5故CD与平面ADMN所成的角是arcsin包0.5五.提炼总结以为师.熟练掌握线面垂直的判定定理及性质定理.证明线面垂直的常用方法：(1)用判定定理；(2)与直线的垂面平行(3)用面面垂直的性质定理；(4)同一法.(5)用活三垂线定理证线线垂直 .3.线面角的求法：作出射影转化为平面内的角同步练习9.3线面垂直、三垂线定理【选择题】.若两直线ab,且a,平面a,则b与o

9、t的位置关系A、相交B、 b/aC、 b/ a,或 boot D、 bGa.下列命题中正确的是（）A.过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个B.过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个C.过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条D.过平面的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个.给出下列命题：若平面a的两条斜线段PA、PB在a内的射影长相等，那么 PA、PB的长度相 等；已知PO是平面a的斜线段，AO是PO在平面a内的射影，若 OQLOP,则必 有 OQXOA;与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；平面a内有两条直线a、b都与另一个平面 3平行，则a / 3 TOC o 1-5 h z

10、上述命题中不正确的是（）A.B. C.D. PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于 A、B的任一点，则下列关系不正确的是（）A PAX BC B BC,平面 PAC C ACPB D PCXBC 【填空题】. AABC的三个顶点 A、B、C到平面a的距离分别为 2 cm、3 cm、4 cm,且它 们在a的同侧，则 ABC的重心到平面 a的距离为.在直四棱柱 ABCDAiBiCiDi中，当底面四边形 ABCD满足条件 时，有 AiCXBiDi0（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）答案提示：i-4 CDAC; 5.3 cm;6. ACXBD或四边形 ABCD菱形

11、等；【解答题】.如图ABCD是矩形，PA,平面ABCD, DPAD是等腰三角形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN_L平面PCDA , M B. （2006福建）如图，四面体 ABCD中，O、E分别是 BD、BC的中点,CA =CB =CD =BD =2,AB =AD = 2.（I ）求证：AO _L平面BCD;（II ）求异面直线 AB与CD所成角的大小；(III )求点E到平面ACD的距离.解法一：(I )证明：证/ AOB=90.(II)解：取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知 ME/AB,OE/ DC二直线OE与EM所成的锐角就是异面直线2 -1 _EM =

12、AB =,OE = DC =1,22丁 OM是直角 用OC斜边AC上的中线，1 .2 HYPERLINK l bookmark17 o Current Document OM = AC =1 cos - OEM =, 24一一2AB与CD所成角的大小为 arccos.4AB与CD所成的角.在AOME中,(III )等积法得AO.S CDES Acd即为所求.72- 2179.正方形 ABCD中，AB=2, E是AB边的中点，F是BC边上一点，将 AED及 DCF 折起(如下图)，使A、C点重合于A点.(1)证明：A DXEF;(2)当F为BC的中点时，求 A D与平面DEF所成的角；(3)当B

13、F = 1BC时，求三棱锥 A EFD的体积.4(1)证明：略(2)解：取EF的中点G,连结A G、DG 平面DEF，平面A DG.作 A HXDG 于 H,得 A H,平面 DEF , ./A DG为A D与平面DEF所成的角.在 RtAA7 DG 中，A G=5 .34610. 在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，ABiXBCi, AB=CCa, BC=b.(1)设E、F分别为 ABi、BCi的中点，求证： EF/平面 ABC;(2)求证：AiC-AB;(3)求点Bi到平面ABCi的距离.B(1)证明： E、F分别为ABi、BCi的中点，EF / Ai Ci. A1C1 / AC, EF

14、 /AC.EF/平面 ABC.(2)证明：AB=CCi,AB=BBi.又三棱柱为直三棱柱，四边形 ABBiAi为正方形.连结AiB,则AiBXABi.又 ABiXBCi,.ABi,平面 AiBCi.ABi AiCi.又 AiCiX AAi, .AiCi,平面 AiABBi.AiCiXAB.(3)解：: AiBi / AB,.ABi/平面 ABCi.二Ai到平面ABCi的距离等于Bi到平面ABCi的距离.过Ai作AiGL ACi于点G,. AB，平面 ACCiAi,.ABAiG.从而AiGL平面ABCi,故AiG即为所求的距离，即 AiG=- Jb2 - a2 .b评述：本题(3)也可用等体积变

15、换法求解 .【探索题】(2004年春季上海)如下图，点 P为斜三棱柱 ABCAiBiCi的侧棱BBi 上一点，PMBBi交AAi于点M, PNBBi交CCi于点N.(i)求证：CCiXMN;(2)在任意 DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF22DF - EFcos/ DFE .拓展到空间， 类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之 间的关系式，并予以证明.(i)证明： CCi / BBi CCiXPM, CCiXPN,CC平面 PMN- CCi MN.S四边形ABB1 A1二S四边形BCCiBi+6 一一 一四边形ACCiAi2s四边形 BCC1B1 , S四边形 ACC1Al COS”,其中a为平面CCiBiB与平面CCiAiA所成的二面角 .CC平面PMN, 上述的