级数复习试题解析原级数条件收敛

1、(1) yntr 5h-2解：因为lim=|n-oo 5n2=lim = I，所以原级数发散.n-oo 55n-oo 5_二n6n75/ =舰方=1葺且堤1（沪攵敛,由比较判别法的极限形式知，原级数收敛.解：因为lim/、5 2(3) n sin T解:艘霄/*=| lim (1 + -)5 = | oo 4n+l由根值判别法知，原级数收敛.(5) in=+解：因为limtit8 y/n(n+l)/- = limTLnr 8由比较判别法的极限形式知,n原级数发散.=1球。且我房发澈|= lim壬=0 VI,由比值判n-oo n+i(y oo (-10)n(6) Ln=l 一；存刀 rzn ia

2、 (-10)+1 / (-10)” 解：因为姬J布厂/k别法，Xn=14r-（绝对）收敛四、判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散: 支（一n=3=|1,由比值判别法知,kJ=|00 y/n+1+Vn7 2而法的极限形式知，z窟品+而发散.令 =有於则国单调递减；*哽存赤= 由莱布尼茨判别法知，原级数收敛.综上所述，原级数条件收敛.（9） （_i）罕 n=i a/nyioo2j71=1yioo2j71=1解：（n 3）且2曷清发散,由比较判别法知, 罕发散.y/n 令f（x） =5（x 1）,则fG）=控孕竺= |9）且Inx 1.2 八limXTCO= lim = 0.X%T8 yX令a

3、n = 则（1） 。九片 =9单调递减；（2） lim螺=0 由莱布尼茨判别法知，原级数收敛.综上所述，原级数条件收敛.r_i)n+i(10)弟解：(I)当p0时，lim|I 0,故级数z箔发n8散.当0 1时，蠢=1号收敛，故蠢口书2绝对收敛.五、求下列幕级数的收敛域及和函数:COZ(2 + l)x”=o解：当X。时，因为limTIT8(2n+3)xn+1|.(2n+l)xn I _ 闰，当x 1时，原级数发散.当x = 1时，级数Z片 =o(2n+l)发散；当x = 1时，级数Zn=i (-l)n(2n+l)发散.故幕级数Sn=i(2n + 1)矽的收敛域为(-侦).当% G (-1,1)

4、时，和函数72 1 I 1nx H=1-%1 2xt 11+x=1=l-xy 1-x(I-%)21-x(I-%)272 1 I 1nx H=1-%1 2xt 11+x=1=l-xy 1-x(I-%)21-x(I-%)2s(x) = En=0(2n + 1)/ = 2%Zn=l 2x (置=o 必)+ 上=2x(土) +00/+1y =0 +1 当|x| 1时，原级数绝对收敛；当|x|l时，原级数发散. 当x = 1时，级数Z范0；上发散；当X = 1时，级数 置=。(一1)收敛解：当x 0时，因为lim71T8x2/(n+2)| _ | |xn+1/(n+l)l I n+1y.n+10 ，则

5、u n+1,从而 s(x)-s(0) = 土 dx =故蓦级数Z范0云 的收敛域为-1,1).当X e 一 1,1)时，令和函数s(x) = Sn=S，(x) = n=0%n = YZJln(l %),即(s(x) = ln(l x).六、证明题设人o,且级数收敛，证明级数箍J1尸煨当Q1时绝对收敛.na+A血中品(必+焉)又当。1时，嚣=1&收敛因 gV&，由比较判别法知，族】占收敛.因为级数片=1赤收敛，故Sn=l|(+)收敛.再由比较 判别法，级数毒=i(-1)”崩绝对收敛.设级数 0,且lim n an = 1。0,证明级数n=ian n8发散.解：级数Z芸1 Gzt是正项级数且lim 岑=limn an = I 0.n81/nn8由正项级数比较判别法的极限形式知，级数Z范与有相同的敛散性.因为2片=发散，故Z片=1%发散.15.设1=1就兀是收敛的正项级数，证明级数Sn=l (1 +U”)收敛.证明：因为z竿“是收敛的正项级数，故l