高三数学空间向量专题复习附答案

1、、利用向量处理平行与垂直问题 例 1、在直三棱柱 ABC A1B1cl 中， ACB 900, BAC 300, BC 1,A1A T6,M是CCi得中点。求证： A1B AM练习：棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，在才稔DD1上是否存在点P使BD, 面 PAC?ZD11c1a1fzbZp例2如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M ,N分别在对11.一一角线 BD,AE 上，且 BM -BD,AN -AE,求证：MN 平面 CDE33练习1、在正方体ABCD ABCD1中,E,F分别是BB,CD中点，求证：D1F 平面ADEXFBy2、如图，在底面是菱形的四棱锥P

2、ABCD中,ABC 60 ,PA AC a,PB PD J2a,点E在PD上，且PE:ED= 2: 1.在棱PC上是否存在一点F,使BF/平面AEC?证明你的结论.、利用空间向量求空间的角的问题y1例 1 在正万体 ABCD AiBiCiDi 中,Ei , Fi 分别在 AiBi,CiDi 上，且 EiBi=-AiBi, 4i /Di Fi = - DiCi ,4求BEi与DFi所成的角的大小。例2在正方体ABCD AiBiCiDi中，F分别是BC的中点，点E在DC上，且Di Eii-DiCi,试求直线EiF与平面DAC所成角的大小 4zCiBiAiEi例3在正方体 ABCD AiBiCiDi

3、中，求二面角 Ai BD Ci的大小。AiCi,C 4BiAB AD 2AED例4 已知E,F分别是正方体ABCD AB1C1D1的棱BC和CD的中点，求:AiD与EF所成角的大小；AiF与平面BiEB所成角的大小;(3)二面角C DC B的大小。(I)求证：AO 平面BCD;(II)求异面直线AB与CD所成角的大小;(III)求点E到平面ACD的距离。例3如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE = EB,F为CE上的点，且 BFL平面ACE.(I )求证：AEL平面BCE;(H)求二面角B-AC-E的大小；(m)求点D到平面ACE的距离。空间向量与立体几何考点系

4、统复习、利用向量处理平行与垂直问题(特别是探索性问题)BAC 30, BC 1,AA , 6,M例1、在直三棱柱 ABC A Be 中， ACB 900,是CC1得中点。求证： A1B AM证明：如图，建立空间坐标系-J6Ai (、.3,0,、,6), B(0,1,0), A(、3,0,0), M (0,0,)AM( .3,0,), AiB ( .3,1,、6)2AM AB 0练习：棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，在才稔DD1上是否存在点P使BD, 面 PAC?zD11c1解：以D为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P (0, 0, z),. B1D 面 PAC ,DB1 AP 0

5、AP =(-a,0,z), AC =(-a,a,0), DB1 =(a,a,a),DB1 AC 0-a2+az=0 -z=a,即点 P 与 D1 重合， .二点P与D1重合时，DB面PAC例2如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M , N分别在对11角线 BD,AE 上，且 BM -BD,AN -AE,求证：MN 平面 CDE 33证明：建立如图所示空间坐标系，设 AB,AD,AF长分别为3a,3b,3cNM NA AB BM (2a,0, c)又平面CDE勺一个法向量 AD (0,3b,0)由 NM AD 0得至lj nM AD因为MN在平面CDEft所以NM平面CDE

6、练习1、在正方体ABCD ABCQ中,E,F分别是BB,CD中点，求证：DF 平面ADE证明：设正方体棱长为1,建立如图所示坐标系 D-xyz 1 DA (1,0,0), DE (1,1,-)1因为 D1F (0,-, 1)人2所以 D1F DA 0, D1F DE 0D7f da,d1f De de da d 所以2、如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中， ABC 60PA AC a,PB PD J5a,点E在PD上，且PE:ED= 2: 1.在棱PC上是否存在一点F,使BF/平面AEC?证明你的结论.B(C(3a a _ 2a a-,a,0), D(0,a,a), E(0,2-,-)2

7、23 3-.1； 3a a,-,0), P(0,0,a)22 3a aCP ( ， -,a)假设存在点FCF CPBF BCCF-,万，a)。3 a丁，(1 万)a,CBxD y又 AE (0f,f)/3a aAC 丁2,0)则必存在实数2使得BF - AC把以上向量得坐标形式代入得(1 -)a22aa 3-3 1a21a2 2a23-21- 即有BF2322ac-AE 2所以，在棱PC存在点F,即PC中点，能够使BF/平面AEC。解答：根据题设条件，结合图形容易得到:、利用空间向量求空间的角的问题1 一 _例 1 在正万体 ABCD AiBiCiDi 中,Ei , Fi 分别在 AiBi,C

8、iDi 上,且 EiBi=-AiBi,4iDiFi =DiCi,求BEi与DFi所成的角的大小。4解：设正方体棱长为 4,以DA,DC,DDi为正交基底，建立如图所示空间坐标系D xyzBEi(0, i,4),DFi(0,i,4),BEi DFi=i5cos BEi, DFiBEi DFi|BEi|DFi|i5i7例2在正方体ABCD AiBiCiDi中，F分别是BC的中点，Ai盘Di Ei DiCi试求直线EiF与平面DAC所成角的大小4yzDiAi解：设正方体棱长为i ,以DA, DC, DDi为单位正交基底，建立如图所示坐标系D- xyzDBi为DiAC平面的法向量，DBi(i,i,i)

9、 i 3 EiF (-,-, i) 2 487 cos DBi, Ei F 87D.8787所以直线EiF与平面DAC所成角的正弦值为例3在正方体 ABCD AiBiCiDi中，求二面角 Ai 解： 求出平面 ABD与平面Ci BD的法向量 ni (i, i,i), n2 ( i,i,i)一 一ni n2icos ni, n2 一| ni |n2 |3BD Ci的大小。x例4 已知E,F分别是正方体ABCD ABiCQi的棱BC和CD的中点，求:AiD与EF所成角的大小；AiF与平面BiEB所成角的大小;(3)二面角C DE B的大小。解：设正方体棱长为i ,以DA, DC, DDi为单位正交

10、基底，建立如图所示坐标系D- xyz(1)而(1,0, 1)-11EF( 2, 2，0)cos A1D,EFA D EF 1|AD|EF| 2A1D与EF所成角是6001AF ( 1-, 1),AB (0,1,0)2cos A1F, ABA1F AB 1|A1F |AB| 3AG( 1,1,1), AC ( 1,1,0), cosAC1, ACAC1 AC 、6|至|瓦|3二面角C DR B的正弦值为3三、利用空间向量求空间的距离的问题例1直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=内，底面AABC中，/ C=90 , AC=BC=1 , 求点Bi到平面AiBC的距离。解1:如图建立空间直角坐标

11、系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A (1,0,0) , B (0,1,0) , C (0,0,0) Ai (1,0,U3 ) , Bi (0,1,M3 ), Ci (0,03 ). AB = ( 1,1, - 1/3,AC =(-1,0-V3)BX =(1-1,0)设平面 AiBC的一个法向量为 n (x,y,z),A1CCin AB 0n AC 0即 n ( .3,0,1)所以，点Bi到平面AiBC的距离d 1n aiBi1包|n|2例2如图，四面体 ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA CB CD BD 2AB AD - 2(I)求证：AO 平面BCD;E(II)求异面直线AB

12、与CD所成角的大小;(III)求点E到平面ACD的距离。解：(I)略(II)解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),D( 1,0,0), C(0, -. 3,0), A(0,0,1),E(2,-3,0), BA ( 1,0,1),CD (1-3,0).cos BA, CDBA.CDBA CD异面直线AB(III)解：设平面ACD的法向量为n与CD所成角的大小为n.AD(x,y,z).( 1,0, 1) 0,x z 0,n.AC(x, y,z).(0, .3, 1) 0,、3y z 0.令y 1,得n ( 6,1,73)是平面ACD的一个法向量，又EC ( 1,岑,0),-

13、EC.n 庭 V2i点E到平面ACD的距离h芋.n7例3如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE = EB, F为CE上的点，且 BFL平面ACE.(I )求证：AEL平面BCE;(H)求二面角B-AC-E的大小；(m)求点D到平面ACE的距离 解(I )略(n)以线段AB的中点为原点O, OE所在直线为AB所在直线为y轴, 建立空间直角坐标系AE 面 BCE,在RtAEB 中,AB过O点平行于AD的直线为Oxyz,如图.BE 面 BCE, AE BE,2,O为AB的中点，OE 1A(0, 1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).AE(1,1,0), AC(0,2,2).设平面AEC的一个法向量为n (x, y, z),iAE n 0mr,即AC n 0,2y y2x0, 0.