高三数学立体几何综合题考前题型专练含新题

1、立体几何综合题1 . （2013 高考新课标全国卷）如图，直三棱柱 ABG- ABC中，D, E分别是AB BB的中点,AA=AO CB=证明：BC/平面ACD（2）求二面角D AC E的正弦值.（2014 成都市诊断检测）如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABOABiC中,AC= AA=2AB= 2, Z BAC= 90 ,点 D是侧棱 CC延长线上一 点，EF是平面ABDW平面ABC的交线.（1）求证：EFL AC;（2）当平面DAB平面CAB所成锐二面角白余弦值为 阴时, 求DC的长.（2013 高考辽宁卷）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.求证：平面PA

2、(X平面PBC(2)若 AB= 2, AC= 1, PA= 1,求二面角 C PB- A的余弦值.如图，在三棱柱 ABC-ABC 中，侧面 AAGC，底面 ABC AA= AC= AC= 2, AB= BC ABBC, O为AC中点.(1)证明：AO,平面 ABC(2)求直线AC与平面AiAB所成角的正弦值； 在BC上是否存在一点 E,使得 O日平面 AAE?若存在, 确定点E的位置；若不存在，说明理由.(2014 南昌市模拟)如图是多面体 ABC- ABC和它的三视图.(1)线段CC上是否存在一点 E,使BE1平面ACC,若不存在，请说明理由，若存在，请 找出并证明；(2)求平面CAC与平面

3、ACA夹角的余弦值.僻视图(2014 郑州市质量检测)如图， ABC是等腰直角三角形，/ ACB= 90。，AC= 2a, D, E分别为AC AB的中点，沿 DE将AAD即起，得到如图所示的四棱锥 A - BCDE在A B上找一点F,使EF/平面 A CD(2)当四棱锥 A BCDE勺体积取最大值时，求平面 面A BE夹角的余弦值.解： 证明：连接AC,交AC于点F,则F为AG的中点.又D是AB的中点，连接 DF,贝U BC/ DF因为DF?平面ACD BC?平面ACD所以BC/平面AiCD（4分）（2）由 AC= CB=乎AB 彳导 ACL BC以C为坐标原点，C徼方向为x轴正方向，建立如

4、图所示的空间1) ， Ai(2 , 0, 2) , CD= (1,1,n - Cd= 0, 则、n - CA= 0,直角坐标系 C xyz.设CA= 2,则D(1 , 1, 0),日0 , 2, 0) , CE= (0, 2, 1) , CA=(2 ,0,2). (6 分)设n=(X1, y1 , Z1)是平面ACD的法向量，xi + yi = 0,即，(8分)2X1 + 2Z1=0.m- CE= 0, 同理，设 m平面 ACE的法向量，则f可取mr (2 , 1, 2).m CA=0,从而 cos 即二面角D- AC E的正弦值为卓.（12分）3.解：（1）二.三棱柱 ABC- ABC为直三

5、棱柱，平面 ABC/平面AB1C1.又平面 ABCH平面ABD= AB,平面ABGn平面 ABD= EF,EF/ AB(2 分)三棱柱 ABC- A1B1C为直三棱柱，且 /BAC= 90 ,AB AA, AB AC而 AAAAC= A,ABL平面 ACCA.又 AC?平面 ACCA1,ABLAC.EFAC(6 分)(2)建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.设 CD= t (t 0).则 B(1 ,0, 0) , Q0, 2, 0), 口0, 2, 2 + t), A(0 , 0, 2), B(1 , 0, 2). .温=(1 , 0, 0) , A= (0 , 2, -2).设平面CAB

6、的法向量为n=(xi, yi, zi).n- AB = 0则1一 ，、n - AC= 0Xi = 0得，令 zi = i,则 yi = i,yi zi= 0n=(0 , i, i) .同理，可求得平面DAB勺一个法向量f i,分）由 |cos n, m |i一1 t +2屏 2人，i,得 1 =或1 = _鼻（舍去）.飙J+岛j .DC= i.(i2 分)3.解：（i）证明：由AB是圆的直径，得 ACL BC由PAL平面ABC BC?平面ABC得PAL BC又PAH AC= A, PA?平面PAC AG 平面PAC所以BCL平面PAC因为BC?平面PBC所以平面 PBCL平面PAQ4分）（2）

7、解法一：过C作CM/ AP,则CML平面ABC如图（i）,以点C为坐标原点，分别以直线CB CA CM为cjW轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.（6分）在 Rt ABO43,因为 AB= 2, AC= i,所以 BC=木.又因为 PA= i,所以 A(0 , i, 0), B(3, 0, 0), P(0, i,故CB=(小,0, 0), CP= (0, i, i) . (8 分)设平面BCP勺法向量为ni=（xi,yi ， zi),CB- ni = 0,则S所以、加 ni=0.3xi= 0,yi+ zi= 0,不妨令yi=i,则ni = (0 ,i, - i) .因为 AP= (0, 0, i

8、) , AB=(小,设平面ABP勺法向量为n2=(x2,-i, 0),y2， z2),丽 n2=0,则S所以，AB, n2= 0,Z= 0, #x2 y2 = 0,(i0 分)不妨令 X2=i,则 n2= (i , 43, 0).是 cosni, r)2=|： =型2 24由图（1）知二面角C PB- A为锐角，故二面角 C PB- A的余弦值为 坐（12分）解法二：如图（2）,过C作CM_ AB于M因为PAL平面ABC CM平面ABC所以PAL CM（6 分）又因为PAH AB= A,且PA?平面PAB AB?平面PAB所以CML平面PAB 过M作MN_ PB于N,连接NC由三垂线定理得 C

9、NL PB,所以/CNW二面角C PB- A的平面角.（8分）33在 Rt ABO43,由 AB= 2, AC= 1,得 BC=欣，CM=勺,B阵-.在 Rt PAEJ43,由 AB= 2, PA= 1,得 PB=正 ,3_MN T3 5因为 RtABNIVbRtBAR 所以二=7，所以 MN=务.510所以在RtACNhM3, CN=雪,所以cos/CNM：哼,所以二面角 C PB- A的余弦值为 乎.（12分）.解：（1） AA=AC= AC= 2,且 O为 AC中点，AQ，AC 又侧面AACC,底面ABC交线为AC AO?平面AAC .AO,平面 ABQ4 分）（2）连接OB如图，以O为

10、原点，分别以 OB OC OA所在直线为 x、v、z轴，建立空间直角坐标系， 则由题可知B（1 ,0, 0） , C（0 ,0）, A（0 , 0,小），A（0 , - 1 , 0）.Ac= （0,1,-峋,令平面AAB的法向量为n=（x, y, z）, 则 n - AA= n - AB= 0.而 AA= （0 , 1,小）,Ab= （1 , 1, 0）,可 求得一个法向量n=（3 , 3,小）,|cosAC, n| =-|nAQ =6-j=-2 故直线 AC与平面 AAB所成角的正弦|n| . |丽 2X7值为手.（8分） 存在点E,且E为线段BC的中点. 取BC的中点M从而O MACAEB

11、的一条中位线，OIW AB,又AB?平面A AB, OM平面AAB /. OM/平 面AAB故BC的中点 M即为所求的 E点.(12分).解：(1)由题意知AA, AB AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A：0,0, 0), A(0, 0, 2), B(-2,0, 0) , C(0 , 2, 0) , C( 1, 1, 2),则 CC=( 1,1,设 E(x, y, z),则CE= (x, y+2, z),Eb=( 1x, - 1 -y, 2-z) . (3 分)设CE=入EC,x =一入一入x则,y+2=一入一入y,/ = 2入一入zf 一入一2 一入 2 入/2 +入一2 一入

12、则E,+入,1 +入1 +入BE=入，1+入2人1+入i(4 分)BE- AO=0be- aC= 022+入2+入+-= 01+入1+入得一 2一人 2人,解得入=2,+ iTT=0所以线段 CC上存在一点 E, CE= 2EC,使BE1平面ACC.(6分)(2)设平面CAC的法向量为 m= (x, y, z),则由m- AC= 0-x-y= 02y 2z=0取 x= 1,则 y = 1, z= 1.故 m= (1 , - 1, 1),(8分)而平面 ACA的一个法向量为 n=(1 ,0,0),则cosm n = m n = + = g (11 1m1nl33分)故平面GAiC与平面AiCA夹

13、角的余弦值为 尊.(12分) 3.解：(1)点F为棱A B的中点.证明如下：取A C的中点G,连接DG EF, GF则由中位线定理得1 一1D曰 BC DE= ,BC 且 GF/ BC GF= BC(3 分)所以 DE/ GF DE= GF从而四边形DEF曳平行四边形，EF/ DG又EF?平面A CD DG平面A CD故点F为棱A B的中点时，EF/平面A CD(5分)(2)在平面A CD内彳A hl CD点H,DEL A DDEL CD? DEL平面 A CD? DEL A H,A DA CD- D又DEn Cd D,故A H，底面BCDE即A H就是四棱锥 A BCDE勺高.由A Hw AD知，点H和D重合时，四棱锥 A BCDE(勺体积取最大值.(7分) 分别以DC DE DA所在直线为x, y, z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A (0 ,0, a) , Ra, 2a, 0),E(0, a, 0),AB= (a, 2a, - a), A E= (0 , a, - a) . (9 分)设平面 A BE的法向量为 mr(x, y, z),mv A B= 0 ax+ 2ay-az