高三数学高考专题讲座高考中常用数学的方法

1、高考中常用数学的方法配方法、待定系数法、换元法一、知识整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现，是解决问题的手段，它不仅有明确的内涵，而且具有可操作性，有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧，由于这种配成“完全平方”的恒等变形使问题的结构发生了转化，从中可找到已知与未知之间的联系，促成问题的解决.待定系数法的实质是方程的思想，这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中，从而通过解方程(或方程组)求得未知数.换元法是一种变量代换，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，从而使问题得到简化，换元的实质是转化.二、例题解析例1

2、.已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为 24,则这个长方体的一条对角线长为().(A) 2 3(B) 14(C)5(D)6分析及解：设长方体三条棱长分别为x, y, z,则依条件得：2( xy+yz+zx)=11,4( x+y+z)=24.而欲求的对角线长为4x2 + y2 + z2 ,因此需将对称式x2 + y2 +z2写成基本对称式 x+y+z及xy+yz+zx的组合形式，完成这种组合的常用手段是配方法.故 x2 +y2 +z2 =(x + y+ z)2 2(xy+ yz +xz) =62-11=25vx2 + y2 +z2 =5,应选 C x例2 .设Fi和E为双曲线一4-y

3、2 =1的两个焦点，点P在双曲线上且满足/ F1PE=90 ,则AFiP桎的面积是().(A)1、.5(B)2(C)2(D) . .5分析及解：欲求S由FiF21|PFi | |PF2 |2(1),而由已知能得到什么呢?由/FiPE=90，得 |PF1 |2 +|PF2 |2 = 20(2),又根据双曲线的定义得| PF|-| PE|=4(3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方，即可找到三个式子之间的关系.即IIPFi | -1 PF2 I|2=|PFi |2 |PF2 |2 -2|PFi | |PF2 |=16, TOC o 1-5 h z 1f

4、 2 f 21故 |PFi|PF2|(| PFi | | PF2 | -16)4=2 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 221 . S式讦2 =|PF1 门 PF2l=1，, 选(A).注：配方法实现了 “平方和”与“和的平方”的相互转化、5例3.设双曲线的中心是坐标原点，准线平行于x轴，离心率为 火，已知点P(0,5)至ij该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark70 o Current Document 225分析及解：由题意可设双曲线方程为4与=1, e = 2, /

5、.a=2b,因此所求双曲a2 b22线方程可写成：y2-4x2=a2 (1),故只需求出a可求解.设双曲线上点 Q的坐标为(x, y),则| PQ|= %,x2 +(y-5)2 (2),二,点Q(x, y)在双曲线(22y-+(y-5)2 (3),此时|PQ|2表示为变量 HYPERLINK l bookmark21 o Current Document 44y的二次函数，利用配方法求出其最小值即可求解.252 a由(3)式有 | PQ | = (y 4) +5 一 (y a 或 y4分类4二次曲线的对称轴为y=4,而函数的定义域 yna或yw-a,讨论.(1)当aW4时，如图(1)可知函数在

6、y=4处取得最小值，2.令 5a-=4，得 a2=4所求双曲线方程为4(2)当a4时，如图(2)可知函数在y=a处取得最小值， TOC o 1-5 h z .52 a2.2令 5(a-4) +5- = 4，得 a =49, 444x2”:1.492所求双曲线方程为L49注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的，其中利用配方法求解二次函数的最值问题，由于二次函数的定义域与参数 a有关，因此需对字母a的取值分类讨论，从而得到两个解 同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题例4.设f(x)是一次函数，且其在定义域内是增函数，又f，f (x) =4x 12,试求f(x)的表达式.分析及解：因

7、为此函数的模式已知，故此题需用待定系数法求出函数表达式1 ,设一次函数 y=f(x)= ax+b ( a0),可知 f1(x) = (x b), a TOC o 1-5 h z 1 111, f f(x) 二 (x -b) -b = x - (ab b) = 4x -12 a aa a口 =4(且a 0)(1)比较系数可知：a1 2(ab+b)=12(2)、a11斛此方程组，得 a =, b=2,所求f(x)=x+2.2222例5.如图，已知在矩形ABCD 中，C(4,4),点 A 在曲线 x +y = 9 (x0, y0)上移动,且AB, BC两边始终分别平行于 x轴，y轴，求使矩形ABCD

8、的面积为最小时点 A的坐标.分析及解：设A（x, y）,如图所示，则SABCD =（4- x）（4- y） 此时S表示为变量x, y的函数，如何将S表示为一个变量x（或y）的函数呢？有的同学想到由 已知得x2+y2=9,如何利用此条件？是从等式中解出 x（或y）,再代入（1）式，因为表达式有开方 显然此方法不好.如果我们将（1）式继续变形，会得到S=16-4（ x+y）+xy （2）这时我们可联想到x2+y2与x+y、xy间的关系，即（x+y） 2=9+2xy. TOC o 1-5 h z r, t2 -9, A因此，只需设t=x+y,则xy=-9 ,代入(2)式22-t2 -9127得S=1

9、6-4t += (t4)2十一(3) S表本为变量t的二次函数，2220 x3,0y3, 3t3,求卜的取值范围. x2 X解：（2）2乂2户)2 =卢xx2x2 )2x12 ;(x1 +x2)_22 -2 3,xx2以 x1 +x2 =-2k ,x1x2 =4 代入整理得(k2-2)2 5,又= A=4k2-16 0,.Jk -2 巨*5 解得底(-叫心十 75)uj2+5+g. k2 -4 _ 02x = 2 cos 日 y = sine例7.点P(x, y)在椭圆 + y2 =1上移动时，求函数u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值. 42解：点P(x,y)在椭圆 + y2 =1上移

10、动，可设J 4 TOC o 1-5 h z 22u = x 2xy 4y x 2y= 4cos2 ? 4sin c cos 4sin2 u 2 cos1 2 sin 二 HYPERLINK l bookmark60 o Current Document .2.= 2(cos【 sin) cos sin 1令 cos6 + sin 日=t, sin 日 +cos日=22 sin(6 HYPERLINK l bookmark66 o Current Document 11 93是 u=2(t2t 1) -2(t -)2-,(|t| . 2). HYPERLINK l bookmark68 o Cu

11、rrent Document 22当t= 2，即sin(6 +、)= 1时,u有最大值.0=2- +-(k Z)时，Umax4=62.2.例8.过坐标原点的直线 l与椭圆/ c、22(x3) +岂_=1相交于A, B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F,求直线l解：设 A(x1,y1),B(x2,y2)的倾斜角.直线l的方程为y=kx,将它代入椭圆方程整理得(1 3k2)x2-6x 3 =0 (*)6由韦达7E理，X1，X2 = 2 (1), X1X21 3k232 (2)1 3k2又 F(1,0)且 AF BF,.-. kAF kBF-1即x1 -1十二x2 - 1将y = 3 , y2 = kx2代入上式整理得2(k 1) XiX2 = Xix2 -1,21将(1)式,(2)式代入，解得k =一.3注：本题设交点坐标为参数，“设而不求”故直线l的倾斜角为一或6,以这些参数为桥梁建立斜率为6k的方程求解.例 9.设集合 A= x|4x 2x+ +a=0,xw R(1)若A中有且只有一个元素，求实数a的取值集合B;(2)当a C B时，不等式x2-5x-60且方程4x2x4+a=0化为t2-2t+a=0 (*),A中有且只有一个元素等价于方程(*)有且只有一个正根，