高三数学专题复习-解析几何苏教版知识精讲

1、高三数学专题复习-解析几何苏教版【本讲教育信息】一.教学内容：专题复习-解析几何【高考要求】内容ABC直线的斜率和倾斜角理解直线方程:掌握直线的平行关系与垂直关系理解两条直线的交点理解两点间的距离，点到直线的距离理解圆的标装方程和一般方程掌握直线与圆，圆与圆的位置关系理解椭圆的标装方程和几何性质（中心在坐标原点）理解双曲线的标准方程和几何性质（中心在坐标原点）理解抛物线的标准方程和几何性质（顶点在坐标庾点）理解二、基本内容：（一）直线方程直线名称已知条件直线方程使用范围示意图点斜式P1(xi, yi ), ky -yi =k(x -xi)k存在斜截式k, by =kx +bk存在两点式(xi,

2、yi)(x2，y2)y yi _ x -xi y2 -yi x2 -Xixi x2)i 手截距式a,bx+H a ba =0, b #0一般式Ax +By +C=0A、B不全为0（二）圆的方程（1）圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（2）圆的标准方程 ：（x a）2+（y b）2 =r2圆心为C（a,b）,半径为r ,（3）圆的一般方程：只有当D2 +E2 4F 0时，x2+y2+Dx+Ey+ F =0表示的曲线才是圆， 把形 如的方程称为圆的一般方程（1）当D2十E2 4F 0时，表示以（-D，- 圆；为圆心，l7D2 +E2_4F为半径的2-,y = -5，即只表示一个点

3、 22（2）当D2 +E2 -4F =0时，方程只有实数解x因而它不表不任何图形。（3）当D2 +E2 -4F 2c时，轨迹是椭圆，当2a =2c时，轨迹是一条线段F1F2I当2 a 2c时，轨迹不存在平面内到两定点 F1, F2的距离的差的绝对值为常数（小于 F1F2|）的动点的轨迹叫双曲线即 MF1| MF2| = 2a当2a 2c时，轨迹不存在标 准方 程22焦点在x轴上时：_ + y_ -1a2 b222焦点在y轴上时：y2 + 2 -1 a b22焦点在x轴上时：4 = 1a2 b222焦点在y轴上时： 4-22=1a b常数a,b, c的关 系a2 =c2 +b2, a b 0a

4、最大，可以 c - b,c bc2 = a2 +b2, c a 0c最大，可以 a-b,ab渐 近 线焦点在x轴上时：口=0a b焦点在y轴上时： = 0a ba b【典型例题】例1、过点P (2, 1)的直线分别与 x轴和y轴的正半轴交于 A、B两点.求OA OB取 得最小值时直线的方程.解：设直线的方程为 + =1,(a 0,b 0), =1.a ba bab=2b+a之2J206于是ab之8,，OAOB =ab之8 ,即OA OB的最小值为8当且仅当a=2b,即a=4, b=2时取得等号。故所求直线的方程为：x+2y-4=0.变式：过点P (2, 1)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于

5、A、B两点.求PA - PB取得最小值时直线的方程.解：显然直线的斜率存在，设其方程为：y-1=k (x-2),则A(2 ,0), B(0,1 2k)k由 2；A0及 12k0得k0,，PA PB =(3 +1)(4 + 4k2) =,8 + 4(k2 + j) 2 41当且仅当k2=-2即k=-1时取等号，PA PB的最小值为 4时直线的方程为kx+y-3=0.例2、已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素 A和63000单位维生素 B.甲乙丙维生素A （单位/千克）

6、600700400维生素B （单位/千克）800400500成本（元/千克）1194（I）用x, y表示混合食物成本 c元；（n）确定x, y, z的值，使混合物的成本最低.,及 z=100 x作+6.203x -y _130解：（I）由题， c=11x+9y+4z,又 x + y+z=100,所以 c = 400+7x+5y./、区 600 x 700y 400z _56000(n)由,800 x 400y 500z _63000所以7x+5y 50.所以当且仅当4x+6y=320,即3x y =13050 .50时等号成立.20所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本

7、最低，为 850元.点评：本题为线性规划问题， 用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围x .0y 二 0成的区域 5a).y = -(x -p)3p -5a 33a -pH所以AOBC的面积5 =回仇623p 5a32-6ap6a(3)由(2) S = 3p - 5a 3 5a- _2p p6a1-5a(- p3 29-)2 -10a20a5p-a ,3一 13所以0 J ：二3p 5a例4、某校一年级为配合素质教育,所以一导时in =,所以当p号千米时,抢救最及时.利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费, 他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌

8、面的倾斜角为a m,b m, ( a b).问学(90。4V 180。)的镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距 生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？解：建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点 C (x,0) (x0),欲使看画的效果最佳，应使/ ACB取得最大值.由三角函数的定义知：A、B两点坐标分别为(acosa,asina)、(bcosabsin”)，于是直线 AC、BC的斜率分别为：/ 八 asin -bsin kAc=tanZxCA=,kBC =tan.dxCB =.acos: - xbcos: - x于是 tan/ACB

9、=嗫 -小 =(a-b) xsM= (a b) sM1kbc % ab-(a b)xcos： x2 Ob x-(a b) cos: x由于/ACB为锐角，且x0,则tan/ACBW 型一切sinx_，当且仅当 竺=x, 2 , ab -(a b)cos 二x即x=u而时，等号成立，此时/ ACB取最大值，对应的点为 C (腌,0),因此，学生距离镜框下缘 由bcm处时，视角最大，即看画效果最佳.例5、在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD的长为2,宽为1, AB、AD边分别在x轴、 y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合(如图所示).将矩形折叠，使 A点落在线段DC上.(I )若折痕所在直线的斜率

10、为k,试写出折痕所在直线的方程；(n)求折痕的长的最大值.解：(I) (1)当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程所以A与G关于(2)当k00时，将矩形折叠后 A点落在线段CD上的点为G (a,1)折痕1所在的直线对称，有 kOG k = 1, k = 13a = k a故G点坐标为G(-k,1),从而折痕所在的直线与 OGk 1的父点坐标(线段 OG的中点)为M (-),折痕2 22所在的直线万程 y二k(x+), IP y =kx +一+一 2222k2由(1) (2)得折痕所在的直线方程为y=kx + k2(II)折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为N(0,1+ .2k2 1

11、k2 1 k2 1),P(,0),解E1得22k2k2 1 一一一 =. 一 =. 一 .-1 k 0 ；解2 得2*：3 k -2 + v-3 ,当 A 与 D 重合时，k=-2 .2k(1)当-2 +通 k E0时，直线交 BC 于 P(2,2k+ +), 2222k 卜1k 1 22y =PN2 =22 + -(2k + +,)2=4+4k2 4+ 4(7-4/3) =32-16v;3 .(2)当-1 k -2 - 3时,2/k2 12 / k2 12y 二PN ()(-)22k_(k2 1)3_3(k2 1)2 2k 4k2 (k2 1)3 8k=4k2，y =16k7令y，= 0解得

12、k ,此日y =PN2 =空, 216PN 2 max =32 -1673.1 k(3)当 WkW_1时，直线交 DC于N(1) 2k 2,22y =PN2 =12 k2 11k 2-()2 =1 r / 1 =22k 2k 2k2所以折痕的长度的最大值为32 -163 =2( J6 - J2).例6、如图所示，h %是通过城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在心上的一段圆弧.若点 M在点 O正北方向，且MO =3km，点N到L、的距离分别为4km,5km .(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程.(2)若该城市的某中学拟在点 。正东方向选址建分

13、校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km ,并且铁路上任意一点到校址的距离不能少于J痴km ,求该校址距点 O的最近距离.(校址视为一个点)1解：(1)分别以1仆I?为y轴和x轴建立坐标系,由已知得M (0,3), N(4,5),故kMN =， 2又线段MN的中点为(2,4),所以线段MN的垂直平分线的方程为 y 4 = 2(x2),令y = 0 得x =4,故圆心A的坐标为(4,0),半彳仝r = J(4 _0)2十(0 3)2 =5 ,因此所求的圆A的方 程为(x -4)2 +y2 =25,故有所求圆弧的方程为 (x 4)2 +y2 =25 (0 x3).(2)设校址选在 B(a,

14、0)( a 4),则 j(x a)2 +y2 之426X0MxM4恒成立，即 J(x a)2 +25_(x.4)2 2标 对 0WxW4 恒成立，整理得(8 2a)x+a2 17 之 0X0 x 4 可得 82a 4和f(4)之0,即a a 4和(8 -2a)4 +a2 -17 0,解之得a 5,即校址应选在距 O点最近5km的地方。例7、已知抛物线x2=4y,作直线x-2y+12=0与抛物线交于 A B两点如图所示，过A点处有相同的切线，求圆的方程.A B两点的圆与抛物线在点拨：两曲线的交点能求出来， 同时点A处的切线也可以应用导数求解，圆心在过A点垂直于此切线的直线上，并且也在弦AB的垂直

15、平分线上，故圆心和半径均亦确定。的,x-2y 12=0解：由I 2x 二 yf x = 6 f x - -4 可得广6或者广4y =9y =41即 A(6,9), B(Y,4),再由 x =4y得 y =x ,所以有 k =y |xm = 3,2设圆的方程：(xa)2+(yb)2 =r2(r 0),圆的圆心为(a,b),b.9 a -6_ 24 22(a -6)(b -9) =(a 4) (b -4)解得 a=_9,b=23,r2=, 222所以所求的圆的方程为(x - 3)2 (y223、2 125)=22已知在平面直角坐标xoy中，向量j =(0，体OF P的面积为2用,且OF Fp ,

16、OM = OP + j ,已知3P点在第一象限内.(I )设4 t 4四求向量OF与FP的夹角日的取值范围;(D)设以原点 O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点 M ,且|OF |二c,t=(J3 -1)c2,当|op |取最小值时，求椭圆方程.解析:L 1 (I )由 243 =3 OFfP sinH 得 OF由 COsB=OF |FP,tsin ?一 4,3?4t4V3, ,1 tan0 0,y0:0.由(I)知 tan6=p11. 4/ 3又 S&fp =-c V。-2 v3 ,V。=,2c4 3c _,丁 一4 3又由一c=一；，得 x0 = 3cX0 -c ( 3 -

17、1)c2二 Op1 =& +y；=1(底)2 +()2 22 点c # =2诟当且仅当邪C=W ,即c=2时， OPmin =2/6 , 此时凉一(2、右 2、.3),OM =(2,3),2a = . (2=2)2(3=0)2(2-2)2(310)2:822:a2 =16、b2 =12，故所求椭圆方程为 +-=116 1222x V例9、椭圆G:_+q=1(ab 0)的两个焦点为FK-c,。)、F2(c,0) , M是椭圆上一点, a b且满足FM F2M =0(I)求离心率 e的取值范围；(n)当离心率 e取得最小值时，点 N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为5金.求此时椭圆G的方程；设斜率

18、为k(k0)的直线l与椭圆G相交于不同的两点 A、B, Q为AB的中点，问:A、B两点能否关于过点 P(0, J3)、Q的直线对称？若能，求出 k的取值范围；若不能，3请说明理由.解析：(I)设点 M 的坐标为(x,y),则 F1M =(x+c, y), F2M =(x c,y)222-c = -y由 F1M EM =0得 x2 -c2 +y2 =0 ,即 xb2 c又由点M在椭圆上，得y2 =b2 2 x2 ,代入 a TOC o 1-5 h z 22 2得 x2 -c2 =x2 -b2,即 x2 =a2ac2.22ab ,2 0 x a , . . 0 a 一 a c即 0 a c 1 ,

19、 0 1 -1 1 ,解得巨 e1c2e2PC.无又0 e 1 ,e 12b22Xb22,(n)当离心率 e取最小值 回时，椭圆方程可表示为 2设点H(x,y)是椭圆上的一点，则|HN |2 =x2 (y -3)2 =(2b2 -2y2) (y -3)2 =(y 3)2 2b2 18(-b y b)若 0b3当y =七时，| hn |2有最大值b2 +6b +9 ,由题意知：b2 +6b+9 =50 , b = 5/2 -3 或 b =-542-3 ,这与 0b3 矛盾.若b之3,贝U Jb3当y =望时，| HN |2有最大值2b2 +18由题意知：2b2 +18 =50 , b2 =16

20、,符合题意 TOC o 1-5 h z 22.所求椭圆G的方程为土十L=132 16设直线l的方程为y=kx + m,x2 y2. 一o oo代入 五十存=1 中，得(1+2k2)x2 +4kmx+(2m2 -32)=0由直线l与椭圆G相交于不同的两点知/- 二(4km)2 -4(1 2k2)(2m2 -32) 0.22 m 32 k 16、，一，-，一，一、1要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须 kPQ = -一 k设 A(Xi, y1)、B(x2,y2),则Xi X2xQ 二2 km1 2k2myQ = k% m =21 2kPQm 3 m221 2k23 1 2k22 km 21

21、 2k22 km21 2k221 2k2m区/日(1 2k2)22由 、 得 32k2+16, .320 k247-,9494又 k # 0 , 一k M0 或 0k 0),a b由。|OF| -3 = ,. c = . 2. . b2 = c2 - a2 = 2 a2.22由点P(2, J3)在双曲线上，:4二1,解得a2 =1 , a 2 -a离心率 e =c =、/2.a22(n)设所求的双曲线的方程为 34nMaAObMIPd)，则 a b一FP =(x1 -c,yj.OFP 的面积为 :|宿 |yi|d.|yi|M. 222c+OF FP，( 6 -1)c2,aOF Tp =(x1

22、_c)c = (_1)c2.解得 x1 =#c.0P 1 =x； + y； = J69-+14,当且仅当c = J3时等号成立 TOC o 1-5 h z 2222一一=1a2 =1a =6此时P(、；2，土虚).由此得a2 b2，解得i 9 或W 0(舍)a2 b2 =3b =2b =一3则所求双曲线的方程为 x2 亡=1 .2例11、某地政府为科技兴市，欲将如图甲所示的一块不规则的非农业用地规划成一个矩形高科技工业园区.已知AB _LBC,DA / BC且AB = BC =2AD =4 km,曲线段 DC是以点D为顶点且开口向右的抛物线的一段.(I )建立适当的坐标系，求曲线段DC的方程；

23、(II)如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在 DC上，问如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积.(精确到0.1km2)解析：(I)以D为原点，DA所在直线为y轴建立直角坐标系如图乙，依题意可设抛 221物线方程为y =2px(p0),且C (4,2). +2 =2p4.p=.故曲线段 DC的方程为(n)设P(y2, y)(0 My 2)是曲线段DC上的任意则在矩形 PQBN 中，|PQ| = 2+y,|PN|=4y2.二工业区面积 S =|PQPN卜(2 + y)(4 伏)=-y3- 2K + 4y+8. TOC o 1-5 h z .222又 S

24、 = -3y -4y +4,令 S=0 得 yi=,yi=2。,0y 2,. y =一 .33,22当yW(0,)时，S30, S是y的增函数；当yW(_,2)时，S m (x21)对一切满足|m|W2的值均成立，则 x的取值范围为.9、已知平面区域 D由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成.若在区 域D上有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=x+my取得最小值，则 m=10、若圆x2+y2 4x4y10=0上至少有三个不同点到直线l :ax+by = 0的距离为272 ,则直线l的倾斜角的取值范围是 .11、过坐标原点且与 x2+y2 + 4x+2y+5=0

25、相切的直线的方程为 .22，一 2x y 一一，12、如图，已知抛物线y =2px(p 0)的焦点恰好是椭圆 丁+4=1的右焦点F,且两条a b曲线的交点连线也过焦点F ,则该椭圆的离心率为 .13、已知 MBC的顶点A为(3, 1), AB边上的中线所在直线方程为 6x + 10y_59 = 0, NB的平分线所在直线方程为 x -4y +10=0,则BC边所在直线的方程为 .14、直线l过P (-2, 1)且斜率为k (k1),将直线l绕P点按逆时针方向旋转 45得直 线m,若直线l和m分别与y轴交于Q、R两点，则当k为何值时， PQR的面积最小？并 求出面积最小时直线l的方程.15、已知

26、动点 M到点A(2,0)的距离是它到点 B(8,0)的距离的一半.求：(1)动点M的 轨迹方程；(2)若N为线段AM的中点，试求点 N的轨迹.16、已知A、B是双曲线x2-匕=1上的两点，O是坐标原点，且满足 OA OB=0,2T-IOP =aOA+(1 -a)OB .1(I)当豆二，且oa=(2,J6)时，求p点的坐标;3(n)当OP AB=0时，求|OP|的值；(出)求I AB |的最小值.参考答案http/.答案：3x_2y_3=0、45.答案：S=，)32解：直线mx+y+2=0过一定点 C (0,-2),直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点 (0,-2) 的直线系，因为直线与线段

27、 AB有交点，则直线只能落在/ ABC的内部，设BC、CA这两条 直线的斜率分别为 k1、k2,则由斜率的定义可知，直线 mx+y+2=0的斜率 k 应满足 kki 或 kw k2,. A (-2, 3)B (3, 2)454545一 k1 = _ ,k2 = _，-m _或-mw _，即 m .323232291328.136228.答案：x+4y-4=0解：点B在直线l2上，设B (a,8-2a)，由P是AB的中点得A点的坐标为(-a,2a-6)，又A在直线1i上，所以-a-3 (2a-6) +10=0，解得 a=4,故 B (4, 0).直线l的方程为x+4y-4=0.一 4 八.答案：一；。3解：f(=_sin1表小两点(cosQsin。)与(2,1)连线的斜率. cos1-2.答案：13x-26y+85=0y0-4 3 TOC o 1-5 h z I=一x - 12解：设点A关于l的对称点为A (x0,y0)，则 x0 1 2x0 -1 o y0423-6 = 022所求直线方程为y -131._又 K 0,k2 0 - k1 +k2 =+k2 2 ok2 一37.答案