线性代数6.1投入产出模型简介课件

1、第六章 线性经济模型简介 投入产出模型简介 6.1 单纯形法 6.3 线性规划 6.21.1 n阶行列式的定义一、投入产出模型二、直接消耗系数 三、平衡方程组的解 五、应用举例 四、完全消耗系数 一、投入产出模型 假设一个经济系统是由n个产业部门组成的，将这n个产业部门以及他们之间的数量依存关系按一定的顺序排列在一张表内，称为投入产出表，如表61 。表6-1xij表示第j部门在生产过程中消耗第i部门的中间投入数量xi表示第i个部门的总产出或总投入 yi表示第i个部门可供给社会消费和使用的最终产品数量 zj表示第j部门的初始投入 水平方向反映各部门产品按经济用途的使用情况 垂直方向反映了各部门产

2、品的价值构成 分配平衡方程组消耗平衡方程组分配平衡方程组和消耗平衡方程组统称投入产出平衡方程组 投入产出模型 在利用数学方法研究经济问题中投入与产出的关系时，一般把所研究的某一经济系统中各部门之间的数量依存关系反映在投入产出表中，并将这种关系用数学式子（即建立它们的数学模型）表示出来。从它们的数学模型来看，是研究某一经济系统中各部门之间的投入与产出关系的一种线性模型。 我们将能够反映一个经济系统中各部门之间的数量依存关系的投入产出表以及由此得到的平衡方程组统称为投入产出模型。 二、直接消耗系数 定义1 第j部门生产单位产品直接消耗第i部门的产品量，称为第j部门对第i部门的直接消耗系数，记作ai

3、j ，即各部门之间的直接消耗系数构成的n阶矩阵，称为直接消耗系数矩阵，记作 直接消耗系数充分反映了各部门之间在生产技术上的数量依存关系。 矩阵C为中间投入系数矩阵分配平衡方程组和消耗平衡方程组的矩阵表示 X=AX+Y 或 (E-A)X=Y X=CX+Z 或 (E-C)X=Z 矩阵表示矩阵表示分配平衡方程组 消耗平衡方程组 例1.设某企业有三个生产部门，该企业在某一生产周期内各部门的生产消耗量和初始投入量如表62所示求：（1）各部门总产出x1 ,x2,x3 ；（2）各部门最终产品y1，y2，y3；（3）直接消耗系数矩阵A。 解：（1）消耗平衡方程组为 将xij和zj的值代入，得 （2）分配平衡方

4、程组为 将xj和xij 的值代入，得 （3）由直接消耗系数公式和矩阵乘法运算法则，得直接消耗系数矩阵A具有以下性质： 性质1 所有元素均非负，且 性质2 各列元素的绝对值之和均小于1，即 根据这两条性质，可证明以下结论：投入产出模型中的矩阵(E-A)和(E-C)都是可逆矩阵。 三、平衡方程组的解 1.消耗平衡方程组的解 2.分配平衡方程组的解 1.消耗平衡方程组的解若直接消耗系数aij是已知数值，则它就是一个线性方程组，用矩阵表示为三、平衡方程组的解 1.消耗平衡方程组的解 2.分配平衡方程组的解 若已知xj的数值，则求yj值的矩阵运算公式为 若已知yj的数值，由于矩阵(E-A)可逆，则求xj

5、值的矩阵运算公式为 例2由建筑队、电气队、机械队组成一个施工公司，他们商定在某一时期内互相提供服务，建筑队每单位产值分别需要电气队、机械队的0.1，0.3单位服务，电气队每单位产值分别需要建筑队、机械队的0.2，0.4单位服务，机械队每单位产值分别需要建筑队、电气队的0.3，0.4单位服务。又知在该时期内，他们都对外服务，创造的产值分别为建筑队500万元，电气队700万元，机械队600万元。(1) 问这一时期内，每个工程队创造的总产出是多少？ (2)求各工程队之间的中间投入和初始投入。 解: （1）直接消耗系数矩阵和最终产品矩阵为 其分配平衡方程组为 用初等行变换将其增广矩阵化为行简化阶梯形矩

6、阵，得 所以每个施工队创造的总产出分别为 （2）由直接消耗系数公式和矩阵乘法运算规则可知，各工程队之间的中间投入矩阵为 由消耗平衡方程组，得 故各施工队的初始投入为 四、完全消耗系数 定义2 第j部门生产单位产品时对第i部门产品量的直接消耗和间接消耗之和，称为第j部门对第i部门的完全消耗系数，记作bij，即 间接消耗的总和 各部门之间的完全消耗系数构成的n阶矩阵，称为完全消耗系数矩阵，记作 矩阵表示为B=A+BA 完全消耗系数矩阵的计算公式例3 已知某一经济系统的直接消耗系数矩阵 试求该系统的完全消耗系数矩阵B 。解： 因为 利用初等行变换求逆矩阵 例4 已知某一经济系统的完全消耗系数矩阵B和最终产品矩阵Y如下： 试求该系统的总产出矩阵X .解：因为 五、应用举例 例5 已知某一经济系统有三个生产部门，其完全消耗系数矩阵为 下一计划期最终产品的计划是 试求：（1）下一计划期的计划总产量X。（2）在计划的执行过程中，如果发现第1部门产品有5个单位的余量，第3部门产品有10个单位的缺口，那么原