立体几何中的向量方法一学案

1、第7讲立体几何中的向量方法(一)【复习指导】.能用向量方法证明直线和平面位置关系的一些定理.利用空间向量求空间距离.基础梳理.空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设 a=(ai, 32, as), b= (bi, b2, ba),则 a坨=(ai 坨1, a2治2, a3ibs)；白=(入n, 入2, 入s)；a b=.(2)共线与垂直的坐标表示：设 a=(a1，出，as), b=(b1，b2, bs),则 a / b? a= :b? , , as=入 S(汜 R),ab? ab=0? a, b均为非零向量).(S)模、夹角和距离公式设 a=(a1，a2, as), b= (b1,

2、b2, bs),则|a|=VOa=、a2+a2+ aS,a ba1b1 + a2b2 + asbsC0S 冏 b =丽信+a2 + a!Vb2+b2+ b|.设 A(a1，b1, C1), B(a2, b2, C2),贝U dAB=陆| = %a2a1 : + (b2 b1 f + (C2C1 f.立体几何中的向量方法 (1)直线的方向向量与平面的法向量的确定直线的方向向量：l是空间一直线，A, B是直线l上任意两点，则称AB为直线l的方向向量，与AB平行的任意也是直线l的方向向量.平面的法向量可利用方程组求出：设 a, b是平面a内两不共线向量，n为平n a= 0,面a的法向量，则求法向量的

3、方程组为m b= 0.用向量证明空间中的平行关系设直线l1和l2的方向向量分别为V1和V2,则l1 / l2(或l1与l2重合)？ V1 / V2.设直线l的方向向量为V,与平面a共面的两个不共线向量V1和V2,则l / a或l? 0?存在两个实数x, y,使丫 = 乂丫i + yV2.设直线l的方向向量为V,平面a的法向量为U,则l / a或l? o? Vu.设平面a和0的法向量分别为U1, U2,则all伊U1 / U2.(3)用向量证明空间中的垂直关系设直线ll和12的方向向量分别为V1和V 2 ,则ll，l2? V1 X V 2? V1 V 2=0.设直线1的方向向量为V,平面a的法向

4、量为U,则1，0? V / U.设平面a和B的法向量分别为U1和U2,则aX f? U1X U2? U1U2 = 0.(4)点面距的求法如图，设AB为平面a的一条斜线段，n为平面a的法向量，则|ABn|B到平面a的距离d =.双基自测.两不重合直线11和12的方向向量分别为V 1=(1,0, 1), V2=( 2,0,2),则11A.平行B.相交C.垂直D.不确定与12的位置关系是().C.充要条件D.既不充分也不必要条件.已知平面a内有一个点M(1, 1,2),平面a的一个法向量是n=(6, 3,6), 则下列点P中在平面a内的是().A. P(2,3,3) B. P( 2,0,1) C.

5、P(-4,4,0) D. P(3, -3,4).已知点 A, B, CC 平面 % 点 P?a,则APAB = 0,且AP AC= 0 是AP BC = 0 的().ucA.充分不必要条件B.必要不充分条件/ nZ.已知 a=( 2, 3,1), b= (2,0,4), c=( 4, 6,2),则下列已结论正确的是().A. a/ c, b/ c B. a/ b, ac C. a / c, ab D.以上都不对5.已知AB= (2,2,1), AC= (4,5,3),则平面ABC的单位法向量是 .考向一利用空间向量证明平行问题【例11 ?如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M、N

6、分别是CiC、B1C1的中点.求证：MN/平面AiBD.门产 厂【训练11如图所示，平面PAD，平面ABCD, ABCD为正方形, PAD是直角三角形，且 PA=AD = 2, E、F、G分别是线段PA、 PD、CD的中点.求证：PB/平面EFG.考向二利用空间向量证明垂直问题【例2】？如图所示，在棱长为1的正方体OABC-OiAiBiCi中，E, F分别是棱AB, BC上的动点，且 AE=BF = x,其中00 x&1,以O为 原点建立空间直角坐标系O-xyz.(1)求证 AiFXCiE;1 若Ai, E, F, Ci四点共面求证：AiF = 2AiCi + AiE.【训练2】 如图所示，在

7、四棱锥 P-ABCD中，PA，底面ABCD, ABXAD, ACCD, /ABC=60, PA= AB=BC, E 是 PC 的中点.证明:(1)AECD; (2)PD,平面 ABE.考向三利用向量求空间距离【例3】？在三棱锥SABC中， ABC是边长为4的正三角形，平面SAC，平面ABC, SA= SC= 2& M、N分别为AB、SB的中点，如图所示，求点 B到平面CMN的距离.【训练3】如图， BCD与 MCD都是边长为2的正三角形，平面 MCD，平面BCD, AB，平面 BCD, AB = 2V3.求点A到平面MBC的距离；(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.考向五 立体几

8、何中的探索性问题【例5】？如图，四棱锥PABCD中，PA，底面ABCD.四边形ABCD中，ABXAD, AB + AD = 4, CD = /CDA=45。.p(1)求证：平面PABL平面PAD;(2)设 AB = AP.B C(i)若直线PB与平面PCD所成的角为30,求线段AB的长；(ii)在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P、B、C、D的距离都相等？ 说明理由.课后作业:1.若直线li, 12的方向向量分别为a=(2,4, 4), b=( 6,9,6),则 ().A. li/ 12B. 1i112C. li与12相交但不垂直D,以上均不正确2.若直线1的方向向量为a,平面a的法向

9、量为n,能使1/ a的是 ().a= (1,0,0), n = ( 2,0,0)a= (1,3,5), n=(1,0,1)a=(0,2,1), n = (1,0, - 1)a=(1, 1,3), n = (0,3,1)3.平面a经过三点A(1,0,1),B(1,1,2), C(2, 1,0),则下列向量中与平面().的法向量不垂直的是A. 2，1, 1) B. (6, 2, -2) C. (4,2,2) D. (-1,1,4) 4.已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AB = 2,CC1 = 2&, E为CC1的中点, TOC o 1-5 h z 则直线AC1与平面BED的距离为 ()

10、.A. 2B.V3C.72D. 1.若向量a=(1,入2), b=(2, 1,2)且a与b的夹角的8余弦值为6,则入=.9.在四面体 PABC中，PA, PB, PC两两垂直，设PA=PB=PC = a,则点P到 平面ABC的距离为.当的坐标系，求平面 AMN的一个法向量.已知正方体 ABCD A1B1C1D1中，M、N分别为BB1、C1D1的中点，建立适.如图所示，已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB = 2,AF = 1, M是线段EF的中点.求证：(1)AM /平面BDE;(2)AM，平面 BDF.9.已知 AB=(1,5, 2), BC=(3,1, z),若 AB

11、,BC, BP=(x 1,BP,平面ABC,则实数x, y, z分别为y, - 3),且)八 3315 4A.亍一飞,4J。c，C.y, -2,4B.40, 41510.正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且AM =1 、r5MC1, N 为().B1B的中点，则|MN|为1, E、F分别A. 6 a B. 6 a C. g a D. 3 a.如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为是棱BC、DD1上的点，如果B1EL平面ABF,则CE与DF的 和的值为.在正方体 ABCD A1B1C1D1中，P为正方形 A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形 ABCD的中心，M, N 分别为AB, BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线一 . ， 段D1Q与OP互相平分，则满足MQ=?MN的实数人的有 .在四棱锥P-ABCD中，PD，底面ABCD,底面ABCD为正方形，PD = DC,E、F分别是AB、PB的中点.(1)求证：E