由列表法确定函数解析式谈起

1、依据表格特征探究函数解析式 陕西省宝鸡市岐山县 罗局初级中学 陈军利 郑建宁 邮编:722404内容提要：阐述怎样由列表法确定四种函数的类型及其应用。若表格中的每对y与x的比值为一定值，则这两个变量满足正比例函数。当表格中的自变量的取值连续均匀分布时，对应的两个连续因变量的差值为一定值时，这两个变量一定满足一次函数。因而若表格中的x与y的乘积为一定值，则两个变量满足反比例函数关系。若表格中的因变量的取值连续分布且间隔相同时，先把因变量的取值第一次做差，再把第一次做差的结果再次做差，若第二次做差的差值为一定值，则两个变量满足二次函数。关键词：商为定值，第一次作差为定值，成绩为一定值，第二次作差为

2、一定值。正文：在九年级第二学期数学复习中，有一道题，给出两个变量的一组对应值，如：n12345m1361015问题：试确定两个变量之间的函数关系式。在初中要确定两个变量之间的函数关系式，可根据待定系式法来确定。但问题是题目并没有表明m和n之间满足什么类型的函数，因而给此题的解答造成一定的困难，困难的理由是要在正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数四种函数中进行筛选。下面本人依据自己近几年的教学实践，总结了筛选四种函数类型的一般方法。一、正比例函数。根据正比例函数解析式y=k/x(k0)可得k=y/x,因而若表格中的每对y与x的比值为一定值，则这两个变量满足正比例函数，而这个定值恰好是正比例

3、函数解析式中的常数k。二、一次函数。当表格中的自变量的取值连续均匀分布时，对应的两个连续因变量的差值为一定值时，这两个变量一定满足一次函数。而这个定值的绝对值是一次函数解析式中的k。比如有两个变量满足表格：x0123y1357分析：3-1=2；5-3=2；7-5=2y是x的一次函数解：由分析得y是x的一次函数设y=kx+b（k0）当x=0时，y=1；当x=1时，y=3解方程组得 1=b3=k+bk=2 b=1y=2x+1由此可得k与定值相同。三、反比例函数：根据反比例函数的定义y=k/x(k0)得k=xy，又k为一定值。因而若表格中的x与y的乘积为一定值，则两个变量满足反比例函数关系。如两个变

4、量满足表格：X-3-2-1123Y-2-3-6632(-3)(-2)=6；(-2)(-3)=6；(-1)(-6)=6；又6为一定值，y是x的反比例函数，并且6恰好是反比例解析式中的k，则y=6/x,问题得以解决。四、二次函数：当表格中给出x和y的一组对应值，若表格中的因变量的取值连续分布且间隔相同时，先把因变量的取值第一次做差，再把第一次做差的结果再次做差，若第二次做差的差值为一定值，则两个变量满足二次函数。下面解决前面提出的问题，解及分析：第一次做差：3-1=2；6-3=3；10-6=4；15-10=5。第二次做差：3-2=1；4-3=1；5-4=1。1为一定值y是x的二次函数。设m=an2

5、+bn+c(a0)n=1,m=1；n=2，m=3；n=3，m=6；依题意得： 1=a+b+c3=4a+2b+C6=9a+3b+c解方程组得 a=1/2b=1/2c=0m=1/2n2+1/2n2为了进一步确信所得到的二次函数正确无疑，可以将前面没有用的一组或几组x与y的对应值带入进行验证。如：当n=4时，m=1/242+1/24=8+2=10,符合题意，由此可得所得的二次函数一定正确。再比如x和y满足表格x-2-101234y116323611理由自变量x从-2到4，连续取值，且间隔相同，让对应的因变量y第一次做差：6-11=-5；3-6=-3；2-3=-1；3-2=1；6-3=3；11-6=5

6、；第二次做差：（-3）-（-5）=2；（-1）-（-3）=2；1-（-1）=2；3-1=2；5-3=2；并且2为一定值，y是x的二次函数。具体解法可根据待定系数法来求做。当然这道题可隐含了一个重要的信息，（0,3）和（2，3）关于直线x=1对称，（-1，6）和（3，6）关于直线x=1对称，由此可以猜想y是x的二次函数。实践运用（2009，湖州市），如图，每个小长方形都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？yA6个B7个C8个D9个x解及分析：要任意画一条抛物线，使它最多能经过31个格点中的多少个，学生要在短时

7、间做出来，确实不易，理由如下，及时告诉了二次函数解析式，也只能依据描点法作出近似图象，在没有告诉具体解析式的情况下只能作出大致图象，要用大致图像确定答案，则十分困难，估计学生完成此题只能凭猜想。下面本人结合教学实践，给出了本题的解法，本道题可以先建立平面直角坐标系，如图所示，下面可根据二次函数点坐标的特点，给出四个点，答案一：如（1,0），（2,1），（3,3），（4,6），这四个点必在同一条抛物线上，理由是横坐标的取值连续分布，纵坐标第一次作差：1-0=1；3-1=2；6-3=3。第二次作差：2-1=1；3-2=1。1是一定值，这四个点必在同一抛物线上。设y=ax2+bx+c，将（1,0），

8、（2，1），（3,3）分别代入此解析式得0=a+b+c1=4a+2b+c3=9a+3b+c解方程组得 a=1/2b=-1/2c=0解析式为y=1/2x2-1/2x当x=4时，y=1/242-1/24=8-2=6解析式正确。其对称轴为x=-b/2a=1/2,（1,0），（2，1），（3,3），（4，6）关于直线x=1/2的对称点为（0,0），（-1，1），（-2,3），（-3，6）。这四个点也在格点上，所画的抛物线最多能经过81个格点中的8个。答案二：如（1，1），（2，2），（3，4），（4,7）这四个点在一条抛物线上，可得二次函数解析式为y=1/2x2-1/2X+1,其对称轴为直线x=1/2

9、,以上四个点关于直线x=1/2的对称点为（0,1），(-1,2),（-2，4），（-3,7）。共八个点。答案三：如（1,2），（2,3），(3,5),(4,8)这四个点在一条抛物线上，可得二次函数解析式为y=1/2x2-1/2x+2，其对称轴为直线x=1/2,以上四个点关于直线x=1/2的对称点为（0,2），（-1,3），（-2,5），（-3,8）。共八个点。答案四：如（0,0），（1,1），（2,3），（3,6）这四个点在一条抛物线上，可得二次函数解析式为y=1/2x2+1/2x，其对称轴为直线x=-1/2，以上四个点关于直线x=-1/2的对称点为（-1,0），（-2,1），（-3,3），（-4,6）。共八个点。由此可得，掌握由列表格确定四种二次函数及相关知识很重要，尤其