扩频通信讲义第八章PN码的捕获

1、扩频通信讲义第八章PN码的捕获81PN码的捕获过程设接收信号为：s(t)=.：2pd(t)PN(t)cos(w0t+0)本地扩频的为PN(t-T)。码捕获过程要解决的问题是，在接收机PN(t)无任何先验知识前提下，它与本地PN(t-t)的时速T是个随机变量，取值范围为1TNTC，其中N为要搜索CC的码元数，接收机必须控制本地PN(t-t)，使t=T(其中q为要搜索的单位qC数，称此为机码。若取q=2N,也可取q=3N,4N,)然后通过求PN(t-T)与S(t)的相关值是否某个门限来判断是否已实现码同步。框图如下：图中通过相乘，滤波，平方，积分来检测码相关值。积分时间间隔td是数据(符号)宽NN

2、N度。如果一次后T=T，未能实现码捕获，则依次令T=2T,3T，,直到积分qCqCqC值超过门限后，TN不再改变(不再机码)并使码能受控于码跟踪环的误差信号。于是完成了PN码的捕获过程。如果接收信号的载波频率(或接收机中频的频率)偏离bpf2的中心频率较远，即使两个PN码的时延差很小，积分值也不大会超过Tn.为此必须进行载波的频率搜索。这样，对于接收机要实现的捕获必须包括载波频率和PN码相位两个参数的搜索二维搜索。如下图。在TD时间间隔内(求得一个相关值)。频率搜索的变化量为A=，其中B为BPF2的带宽，M=4,5,6,.。显然，如M取值M22较小，如M=1，在T=0时，相关值至少也会减半。B

3、大，搜索快，但会降低输2出SNR。扫描间隔的次数为A8.2码捕获时间（Pd=1,PFa=0）82。1PD=1,PFA=0时，平均码捕获时间是指从码捕获搜索开始到码捕获为止所花费的平均时间。显然，接收与本地PN码的时延e是个随机变量，同时平均捕获时间Tacq是个统计平均值。另一方面频差Af在无任何先验知识的情况下也是个随机变量。为简单起见，这里假定Af很小，对相关结果影响很小。分析计算捕获时间的数学方法不利用马尔可夫链（时间参数，状态参数均离散的马尔可夫过程）。对于最简单情况：设q=2N,码同步检测概率PD为1,虚警概率Pfa为0,驻留时间（积分时间）为TD，则平均捕获时间为：1TTT=（N+-

4、）TDNTd,（e在彳一2N才=TC间均匀分布）acq222如Af很大，搜索频率为B则其搜索芋M等。故平均捕获时间JMNTD。MBBD22当检测概率PD丰1,Pfa丰0时，计算就复杂了。这时捕获模型流程图：此处缺少一个流程图。PN码的搜索过程是个离散的马氏过程。（1）离散的时不变马氏过程和生成函数流图在随机过程中，对离散马氏过程的表征方法一般用差分方程或矩阵。这里介绍用状态转移图来描述。然后从这些图形出发导出被研究过程的生成函数。首先以只有两个状态的时不变离散马氏过程，如图3/85/81/2状态转移图3/8z5/8z1/2z生成函数流程图时刻的状态转移概率矩阵为：S1S2S1S25812381

5、2也可写成概率差分方程51Pl(n+1)=Pl(n)+2P2(n)31P2(n+1)=8P1(n)+2P2(n)我们可以把每一次状态转移的时间延迟用z表示。用py.(n)表示经n个单位时间从状态i转移到状态j的时不变概率，称n阶转移概率。py.(n)的z损变即为生成函数，即生成函数为：P(z)=乃0znp(n)ijijn=0dP(n)耳dZ对单位圆内的所有Z,该级数收敛。=np(n)=E(T)ijijn=0其中E()是由状态i转移到状态j的平均时间。dp(1)2dz可以证明：方差D(T)=*+j-ijdz2dz(2)捕获模型和生成函数流图实现方框图如前图，使用平方检波器，积分，门限比较PN码级

6、数为N,所搜索单元为q个，一般选q=2N(即频长半个码元)如积分输出高于门限，系统进入检测状态。如果不是真同步，即为重叠，则代价为kTD秒，然后继续搜索。如是真同步则码捕获完成。PD丰1,PFA丰0(PD,PFA近似高斯分布)。这时码捕获时间是一个随机变量。如果能求出它的分布，当然即可以从理论上求出平均捕获时间等数字表征量，然而在实际工作中很难得到其概率分布。在码搜索捕获时对q个搜索单元编号l,2,.,i-l,i,i+l,.q.因此在第1到i-1个单元无信号，而在第k个单元有信号的概率为(i-1vk1.Tn-1,n=WTj=1xj+1j称仅有出方向支线的节点为输入节点（或源点），仅有入方向支线

7、的节点为输出节点（或终止点）信号流图定义：上面给出了信号流图的基本概念，这里根据不同具体信号流图的形式给出名称定义这对于信号流图的改环以及变量简化等很有用。首先看以下信号流图。开路径：连续带方向通过多个支线且沿该支线所有节点仅通过一次。如33x1T12x2T23x3T34x4T45x5反馈路径：（反馈环）起始和终止都在一个节点的路径。如x2Tx3Tx2。要注意，在经典反馈系统中输出变量也是回授给反馈传递函数的变量。这时输出节点有一个出方向的支线，这与输出节点定义矛盾。可通过增加一个具有单位传递函数的支线与一个假想的节点相联系而得到解决。后面将有这方面例子。前向路径：从输入节点到输出节点的开路径

8、。如x1Tx2Tx3Tx4Tx5以及x1Tx2Tx4Tx5。非接触环：一系列环路，它们没有公共的节点。以后将举例。自身环：由单一支线组成的反馈环。如T33。支线增益：当传递函数是一乘法因子时的支线传递函数。环路增益：环路支线增益之积。例对x2Tx3Tx2环路，其环路增益为T23T32o路径增益：沿该路径上所有支线增益之积。例x1Tx2Tx3Tx4Tx5前向路径，其路径增益为T12T23T34T45o2.从方框图到信号流图：如何根据方框图画出信号流图？原则如下：（1）以组成方框图的每个变量作为一个节点（2）以每个方框作为一条支线CG举例如右图的反馈环路，总增益石R1+GH方框图该方框图对应的信号

9、流图如下。如果用q表示Pi和(1-气),前面推出，Pi=齐口则:3信号流图的简化和梅森增益公式在实际工作中，第一步可由方框图到信号流图，第二步不把信号流图简化为只由输入输出两节点和一支线构成的最简信号流图。11现在先考虑生成函数流图中点1。P,=,在点1为出现相关峰信号的概1q+1-1q率一一简称为有信号的概率。无信号的概率为1-P。如不存在信号，就进入下一个节点(1a)。由于这仅是先验概率的判断不需时间驻留，所以不乘z,进入1a,在1a点如产生虚警，其概率为PFA=由于需驻留TD秒(积分时间)才可测得虚警，因此乘z,进入1a点。因是虚警，就必然不是稳态，设经k次判定后(需kTD秒)才发现信号

10、不真正存在(k=l,2,.)(意味着第k=l,.k-1仍发生虚警)然后进入点2,支线为-Zk+1。如果不产生虚警，概率为1-幺，也驻留一个TD，所以进入点2的支线为(1-a)z。在节点1还有另一种情况，出现信号。其概率为片，进入1a点。驻留TD秒后如果相关信号出现，则码捕获实现，搜索过程终止。以支线PDZ进入终点F。PD为检测概率。驻留TD秒后,如相关概率不出现，则以支线(1-PD)Z进入点2。由节点2,若为虚警产生az，经zk退出虚警进入点3：如无虚警以支线(1-a)z进入点3,依次类推，最后到达q然后进入1a点，重新重复上过程。从点1经1-P支路到达点2后流图与在1点时相同。最后一点是q点

11、。因为前q-1个点仍未进入终止态F,则以pq=1(k=q)进入qa点。然后进入终止态F。为了得到流图的传递函数，令H(Z)二azk+1+(1-a)zQ(z)二然后令0=1-勺和其中有反馈环则可得简化流图如右B(z、P(10)zB(z)i77图中i1-0zHq-1A(z)=(1P)H(z)ii从图得出到达终止态F的离散概率函数为:(1-0)z1-0zHq-1U(z)=B1+A1B2+A1A2B3+.+A1Aq-1BqP1+(1-P1)HP2+.+(l-P1)(1-P2).(l-Pq-1)Hq-1Pq1Hq-1+qU(1)=F丄f1，=1-pq(z=l=H=l)i=0平均捕获时间：T=如dzz=1

12、(TD)z+(z-P)(q-1)(1+kPDFAzPD)TD(z-P)(1+kP)DFAzPDqTD(其中q1)C2=dU+dUdz2dzz=1上两式是非常重要的，它们均为=T2(1+kP)2q2(丄一丄+丄)(k(1+kP)12PD1D2FA1FA2Db2二T+T2P2(1+kP)2q2(丄D1D2FA1FA21211)+丿，qPk(k+1)PPFA2DD2思考：一积分分担一小部分保护，积分分担大部分保护，式中PD=PD1PD2，PFA1为一次驻留概率，PFA2为二次.q搜索单元，k第二检测器的代价(TD2时间的单位数目)，由于需稳定捕获跟踪程序流程图：习题：如右图的相关曲线在点(I=1,2

13、,3,4)处的概率为PD，证明包括所有四个点的推测概率为PT=P(1)+P(2)(1P(1)+P(3)(1P(1)(1P(2)+P(4)(1P(1)(1P(2)(1P(3)DDDDDDDDDDD8.3检测概率和虚警概率在实现码捕获之后,还要求不的检测码是否处于锁定状态。现推导：与电路设计基本参数的关系与电路设计参数关系。信号处理模型如下图。设解扩码的输出为X2Psinw0t+n(t)然后BPF，带宽为B。然后平方律检波。最后积分(时间TD)后出为。在Y(t)中，有用信号功率为P。形(数据调制)，n(t)是白高斯(WGN)噪声，双边谱密度为N0/2。DavenportandRost已经平方律检波

14、器的输出功率均值为：U=N0B+P=N0B(1+SNR)N0为噪声功率，P为信号功率。B为带通滤波器的噪声带宽。SNR=P/N0B，TD积分后，输出均值为UO=N0B(1+SNR)TD我们在2-3节中已经给出平方检波器的输出，双边噪声功率谱密度为申(0)=N2B+2PN00而TD秒积分器的传递函数为sin兀fTH(f)=TAe-jwTD/2D兀fTD所以积分器输出方差为sin兀fTJ2广申(0)T2(亠)2df07D兀fTD上式中已假定TD很大，(只对低频输出不为0)满足1/TDvvB所以上式积分结果主要由f=0附近的谱决定(TD是主要成分)b2=N2B(1+2SNR)T00D如果进一步假定带

15、通滤波器具有理想截止特性，则按1/B秒间隔进行抽样，抽样值之间是互相独立的。如果BTD1,则Z(t)是大量独立变量之和。根据中心极限定理，在Z(t)近似服从正态分布，则超过门限Th的检测概率为P=31exp(ZUo)2dzTOC o 1-5 h zDThD2兀b2J2D00Th-U1-u2或P=Q()中Q(t)=J8exp()du虚警概率PFADbtV2兀20为(信号功率为0而Z超过门限)1(Zu)2P=J8exp0dzFAtdp2兀b2b2其中u=NBT,b2=N2BT00D0D如果定义p=T-N0bTdNJBTb0D则p=q(BTdSNR)PFA=QD1+2SNR所以由N0,B,TD,Th

16、可求PFA由N0，B,TD,Th,SNR可求PD若给定PFA=0.0001,PD=0.99,SNR=12Db,B=8kHz,P=8求TD,Th解：由PFA求，由PD求TD,带入B,求Th.。如考虑当信号被调制以及由于带通滤波器引起损耗等因素对上结果，仍可用，只是SNRaP=“0B其中a为带通滤波器的调制信号分量。值得注意并已由证的是，随数据率的增加，B也成比例的增加，功率也成比例的增加仍保持SNR不变。在PFA不变时，则PD增加更快些。(TD不变时)利用一起学习的结果（相关曲线有四个点的检测概率），证明：将两个相邻相关积分值相加，并与改进后的门限比较（保持PFA不变），可以改善总的捕获概率，因

17、此可以减小捕获时间。假定：SNR=0dB,BT=100,PFA=0.0001。注意，对该情况，PFA,PD的表达式都需改变。假定积分器输出的相关值相互独立且高斯分布。8.4码锁定检测及其保护码的锁定检测器的功能是判定和指示本地PN码是否处在将PN码的锁定状态，它是码捕获的一个部分。只有码处于锁定状态时，才可重现载波同步。此外，码锁定检测时间是码捕获总时间的一部分。对码锁定检测时间解析采用Keneny和Snell的马尔可夫链的方法。8.4.1吸收式马氏链序列。阵P1=q000状态1,5为吸收态（P11=P55=1）,2,3,4为过渡态（一旦消失,马尔可夫链的状态可分为过渡态和稳定态。过渡态一旦消

18、失就再不可能重现。而稳定态一旦出现就不可能消失。仅仅只有一个元素的稳定态序列称为吸收态，它是稳定态的一种特例，其特征是它的转移概率为1，如果所有的非过渡态都是吸收态,则称该马氏链为吸收式马氏链。每一个马氏链必须具备有一个稳定状态序列。但不一定要有过渡状态如果一个马氏链仅包含一个状态，那么它必然是个吸收链。例：如下状态转移矩不再出现），所以为吸收式马氏链。01000P2=q0p0005为反射壁0q0p00q0p_00010_序列。不存在过由于各状态之间是相互转移。所以它是一个稳定渡态，都不稳定。因为在状态之间可相互转移，它没有吸收态。8.4.2码锁定检测及其保护在7.3.3的流程图中已查明，当积

19、分结果连续三次不超过门限，则码环失锁。对一般情况，在码捕获之后，可有三种形式的码锁定检测器：如专用时间积分器，或计数式串联积分器等。码入锁后，如进行几次积分终值都低于门限，则才判为码失锁码锁定保护。这样，次或两次发生积分终结低于门限并不判定为码失锁。因为在存在噪声时，检测概率PD不等于1,即QD不等于0。所以，积分终值门限，并不一定以为码环失锁。如连续几次发生积分终结V03vTh3（为小概率事件）,而码环还是锁定的可能性非常小。所以判定码环失锁。本节目的就是在给定锁定检测的具体形式之后（状态数，状态转移概率距阵，各次的积分时间等），计算由锁定初态到失锁态（吸收态）的平均时间状态、一、一八方差在

20、马氏链的状态转移概率距阵中，可把它表示成规范形式：把所有稳定状态放在一起，然后把所有过渡状态放在一起。总共有n个状态，有t个过渡态。N-t个稳态。则规范形式为：Q根据定理1(P505)：对任何马式链，当转移步数趋向无穷大时,不管把放在何处，过程最终处于稳态的概率趋向于1。如果链是吸收的。那么过程最终处于吸收态的概率趋向于1，我们所研究的大多数锁定检测问题都可看成为具有单吸收态的吸收式链。为了研究方便，其中：s达到稳态过程o(n-t)*t距阵。Rt*(n-t)从过渡态到稳态的转移子距阵Q仍停留在过渡态的字距阵对于吸收式马氏链，规范形式为IOP*二RQ其中I为(n-t)(n-t)单位子阵。表示有n

21、-t个吸收态，其他不变。例：在前例中，状态1,5是吸收态，写成规范形式1000001000P1*=q00p000q0p0p0q010010000q0k=000p根据马氏链理论，得出过程从状态I开始处于过渡态所经过的平均时间为(推理式)E匡=NTi其中表示时间N=I-Q-1I幺阵，Q为以前定义过的子阵。T1,T2.Tt为各次驻留时间(2)过程从状态I开始，处于过渡态所经历的时间方差为(推论5,P512)Var(g)=2IQ-iTQIQ-1T+IQ-i(T)-(IQ-1T)isqsq0101其中TTsq表示对T中的每个元素平方。(IQ-1T)表示对()中每个元素平方sq(3)马氏链从过渡态I开始到

22、吸收态j结束的概率Bij为Bij=B=NR,t*(n-t)阵(定理6,P514)例：考虑右边的状态转移图该图表示了求锁定概率的一个简化模型其中PD=P超过门限I搜索模式下qD=低于门限I搜索模式下a)证明：从状态1开始到达状态3概率为P=LP2D1PqDDb)证明：从状态1开始到达状态3和0的概率是1100证：a)因为P=qDPD0qD0000PD1-100所以P*=010q00D0PDqD00PD0所以P=bL13-D1一1P1q00一1一1P一1D0Dl-qD10PD1qPDDIqD11qPDDNR=IQ-1RqDqD2P2DPDc)P=b13+b1011qPDDq+P2(q+P2)=DD

23、-DD1(1P)PDDq+P2q+P2DD=DD1P+P2q+P2DDDD前面所示：不管过程从过渡态开始，最终处于吸收态的概率为1。例二：锁定检测器如图所示。发生一次漏检就引起锁定检测器失锁。检测概率为PD,漏检概率为qD,求和解：PP二D0qD所以R=qDQ=PDQ2=Var(g)=2I-Q-iTQI-Q-1T+I-Q-i(T)-(I-Q-1T)isqsq2TT*Pd1-PDD1-PDDT2+D1-PDT2D(1-P)2D2PT2-T2T2D_DDFD(1-P)21-PDD2P-1F1-P=T2(DDD(1-P)2D-DT2D例三：锁定检测器在连续发生漏检时才判定系统失锁。状态转移图如下：求

24、从锁定态到失锁态的平均时间和方差PDqD00一-1000一PD0qD0n标准形P*=0PD00PD00qD0PD0qD_0001qDPD00_00qD0解:P=厂L100010-|_001PDPDOI-Q-1T=qD0-qD001FqFq2T=dT亠(q1)q3Dq3DDDHolmes证明：n次连续记数式的锁定检波器所具有的平均失锁时间刁1+q+qn-丁T=DDTqnDD(在状态转移图中有n+1个节点)例4:三状态可逆计数器检测器，如图，如不发生漏检，就停留在状态1，发生一次漏检，就由状态1进入状态2。如三次连续发生漏检，就进入状态四，表明系统失锁。在2，3状态发生正确判测就分别依次退回到状态

25、1，3。求平均失锁时间。解：PDPP=D0D0PD00ID000iD1000Pq0DDP0qDD0PD0qD1+2q2DB1（Xm）=B1,认为是H1如果BA（x）Bp（x10）m12m0在H假设成立的区域内积分（样本x落在X区）1m1P=Jp(x10)BJp(x10)=Bp=Bx,x为虚警概率Dm1Lm02FA2X1X12FA，定理必然终止，这时npBpD定理P,二10d其中0为漏检概率，0=J(x10)dxm1X0/.1Bnbex2同理前一个不等式可化为Jp(x10)dxBJp(x10)dx(样本落在X内)m1X0即BB1(1x)JBl二4S11xB耳2x上式给出B勺下界和B2上界，要准确的给出很困难，由于A(x)是m的函数，m的变12m化为(m=l,2,3)所以在经些可能，似然比征可能要称此现象为域界现象，通常假设域界不大，特别是在m很大时域界可以忽略，这时