胡不归+阿氏圆+费马点+最大广角

1、驿道it两号毒面的我就不同，在其上打走的 逆度值电不FL所吵可取在骞道上任选一怠3 小伙于先从H走到C.据点从C折祖日,景平利 这目的她.届提陵行走的时间录题.进取高效自信棒棒堂培训“胡不归”模型有一则历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子胡不归，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线。（如下图）A是出发地，B是目的地；AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程ABo但是，他忽略了在驿道上 （Vi）行走要比在砂土地带 （V0行走快的这一因素。如果他能选择一

2、条 合适的路线（尽管这条路线长一些，但速度可以加快），是可以提前抵达家门的。it：在转道上打工的速度为匚， 在砂土也上行人的建度为J ”且*=丁，事中仆产门，也忖同为“觐星能r恸小便人.AC SC 1 卜歹“同TQ1 J1 1 J 1 i 1 JrL t - iU此苑景4中号用化内*3* QGT 3!当m4歹时：i 章 fii R军邮兀 与d30*B4：fit在我必1 / 13;七小时洋化由JJC，阑小榄.，趋件/DAE J也E 3?萨总。,2JJt *、U ELH RI当B修晚F /.：CF- JC 芬MJTC ： U班/6.悠上CS 用”小曲.*一过心我立fsn.i U，与4 f交Fdu植

3、黑辑I 、f -A/。书不记，熟读可记；义不精，细思可精。进取高效自信棒棒堂培训如鼠在平面直角坐标系中,融43、点F为k轴长的一个福点.当AP；0F的值最小时,如明，四边形.4BCD是菱形，.457,且/WCF”，M为对篇战6D 怀含后，扁上任塞一点，则血十：出的最小值在凝口81尸中上BW=9窜/叱83& *教当点A、*h N共线时最小,即为垂线段刈7节解题步骤：将所求线段和改写为“ BN 逞AD的形式（0退1）;ViVi在AD的一侧，BD的异侧，构造一个角度 a；过B作所构造的一边垂线，该垂线段即为所求最小值.课堂巩固2 / 13书不记，熟读可记；义不精，细思可精。棒棒堂培训进取高效自信1、

4、如图， ABC中，BC=2, /2、如图，四边形 ABCD是菱开4 ABC=30 ,则2AC+AB的最小值为。 AB=4,且/ABC=60, M为对角线 BD （不含 B点）上任意一点则AM+ BM的最小值为 23、如图，等腰 ABC 中，AB=AC=3 从点A出发，沿 AD-DC运动，动点 度为1个单位每秒，则当 AD=04J二BC-2, BC边上的高为 AQ点D为射线 AO上一点，一动点 P P在AD上运动速度 3个单位每秒，动点 P在CD上运动的速 时，运动时间最短为 秒。阿氏圆入引入 如图，在 RtABC，/ACB90 , CB4, CA：6, 的最小值为.门专题OC半径为2, P为圆

5、上一动点，连接APBP则APBP书不记，熟读可记；义不精，细思可精。3 / 13进取高效自信棒棒堂培训阿氏圆入门破题口诀? 一算破心线（其长度=半径的平方+权心线? 二定破题点（在圆心至权心线的连线或延长线上截取破心线的长度，得破题点）。?三连破非线（破题点到非加权点的连线）?四求破非线。（破非线与圆的交点即为动点位置）说明：确定PA+1/2PB的最短距离。则定点 B叫加权点（简称权）；定点 A叫非加权点（简称非）；心当然指圆心；破题点为构造母子相似的关键点L1问题提出】才如图可 在RiZUBC中+ /ACB=90，L CA=6（ CC半径为2, P为画上动人 连结AP. BP,求的最小此2图

6、力（0 2）（圉3）2 .【自主探索】，在问题提出”的条件不变的情况下，：AP+BF的最小值为33.【拓展延伸】工已知扇形口不中.，口用=驯，咫=6.瓜=心QR = E1点产是口：上一4 / 13点一则如八十PB的最小值为.书不记，熟读可记；义不精，细思可精。进取高效自信棒棒堂培训【典型习题】.如图,点k且OARtAUL且QA，OB点C是加的中点，点口在0B上.且oo=ix动点p在eo上.则pc*；pd的最小（ft为.变式训练：It余部据不变,请求用PC+：PD的最小值为一.如图，在直角坐林系中.以原点。为的心作半役为4的留交X轴正半轴于点A,点H坐标 为（6. 3）.点、坐标为 （氏0）.点

7、Pa园上运动，求PM*；PN的最小值为.九 如田，在RtqABC中，ZC=900i CA-3, CB=4.C的半径为3 点P是。C上一动点期以P+ L/B并最小值为25 / 13书不记，熟读可记；义不精，细思可精。进取高效自信棒棒堂培训【费马点解析】“费马点”是指位于 三角形内 且到三角形三个顶点 距离之和 最短的点。【换言之：若给定一个ABC,从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点 A、B C的距离之和比从其它点的距离之和都要小。这个特殊点对于每一个给定的三角形有且只有一个。】那么，如何找寻费马点呢？【费马点的找法】一、以 ABC的三边向外分别作等边三角形，然后把外面的三个顶点与原三角形的

8、相对顶点相连，交于点 P,点P就是原三角形的费马点；二、以 ABC的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在 P就是原三角形的费马点；ABC内部交于点 P,点若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求的费马点；当ABC为等边三角形时，此时内心与费马点重合。6 / 13书不记，熟读可记；义不精，细思可精。进取高效自信棒棒堂培训【费马点的主要性质】1、费马点到三角形三个顶点的距离和最小；2、费马点与三角形的三个顶点的连线夹角皆为120【费马点证明】一通过旋转来解决将4ABP绕着点B逆时针旋转 60 ,得到 ABP,连接PP。那么 PA+PB+PC=PA+PP+PC AC ,

9、所以，A、P、P、C 四点共线时，值最小，d加倍意/d石一冷/TW宜内挈斯/一百尸，僧等FT PB Z朝城建小.根据等边 BPP可得/ BPP= / BPP=60 ，那么 / BPA= / BPC=120 ,所以/ BPA= /BPA=120 ,即可证明：费马点与三角形的三个顶点的连线夹角皆为120。【例题讲解】如图，正方形ABCD勺边长为4,点P为对角线BD（不含B点）上任意一点，连接AP、CP.点P点在何处时, AP+BP+C的值最小，并说明理由。7 / 13【解析】以 AR BP为边分别作等边三角形，那么 BP=PP;可证明 ABP和ABP全等，将 AP 转为AP,那么只要 A、P、P、

10、C四点共线即可；其实我们在图二中，连接AC,就可以看出上述的模型。透过分折:分期蚱等出口 I相等必FP*一看4必，械簿5U5可述、竺JaaP Jt?iCP PP* CP二与产，F. E胤咸#叁M谨，小.：费由袋屋因由画登尊郎书不记，熟读可记；义不精，细思可精。进取高效自信棒棒堂培训在求解最小值方面，第一种方法，连接AC, ACE是含30的直角三角形， AAE是含45的直角三角形，其中 AC的值可求，那么解直角三角形即可；第二种方法，借助等腰ABC和15角，构造含30角的直角三角形，即 RtAABE ,直接勾股定理求斜边长度。【延伸】如果给出AP+BP+CP=/3 1的最小值，求正方形边长呢？方

11、法；谆竟4C,过点作4F ! ”酝平为点尸AI); AB=4E= x, &fAC=.2x ._r体KiRf.tACF ( F-=AC=J242x&LA.AEF 中,EF -AE- 22/fi.Vj.ECYF+EF- + t -，/J4ji方法二士过点E惶EF垂直江线BC产点F1)ARF-ARE 如/必7肥D同EF中,由勾股定理符:/ AB ftf .v .一 。 H谢dSEF 中,EF , EF=-Jjx(,Jj+2)x FC-BFI SC- +x=-22*/ jf x+2*ECEFFC2 艇 6/?+力、，7 尸；尸每1-5(旅渡分为书不记，熟读可记；义不精，细思可精。8 / 13棒棒堂培训

12、进取高效自信9 / 13程据正方形的性故可得:I V CIZ已知：AM铝MW的最小值为, 相当于：2AMTM的亲小怪为、7+J 那幺构造一个2AV即可作AME-叔。交AM艇垂线干点E则:EM=2AM_的锻小值为4” 当过、八E三点共爱时，EM-B、I的值最小.笄图:过煮4疾“上5。,垂足为点F/.4BI5 MEF7 肥黄!.V,在事中,H护JJJ*呼,_ Jix标tJAEF中,工不父 上2J2x Jrfjf (-我量 jHF*扈第1,-+-!4 J+l1i * 理:k/j胡不归变型根据正方步的性质可用：czm三 JU1/* jff4f/ AHrrt ：&!)那么构造一个grn邺可4D隹/MEE

13、Ta,女CM于点E过点 ，作A，F / KE ,垂足为点F1则:FM-BM二二!武功的最小点力2f当4、，士三点共或忖、AM Jj”的密最小、书不记，熟读可记；义不精，细思可精。进取高效自信棒棒堂培训【当堂检测】小颖在学习“两点之间线段最短”查阅资料时发现：ABCft总存在一点P与三个顶点的连线的夹角相等，此时该点到三个顶点的距离之和最小。【特例】如图1,点P为等边 ABC勺中心，将ACPgg点A逆时针旋转60得至iJADE从而有DE=PC连 接 PD得到 PD=PA同时/ APB/AP120 +60 =180 ,/ADP吆 ADE=180，即 B. P、D, E 四点共 线，故PA+PSPC

14、=PaPBDE:BE在ABC中，另取一点P,易知点P与三个顶点连线的夹角不相等 ，可 证明B. P、D、E四点不共线，所以P A+PP CPA+PRPC即点P到三个顶点距离之和最小。【探究】（1）如图2, P为ABCW一点，/ APB/BP0120。，证明PA+PRPC的值最小；10 / 13【拓展】（2）如图3, AABC45, AG6, BG8,/ACB30。，且点P为ABCW一点，求点 P到三个顶点的距 离之和的最小值。书不记，熟读可记；义不精，细思可精。棒棒堂培训进取高效自信问题提出(1)如图,已知 OA讣，O告3,将4OA噬点O逆时针旋转90得404B 问题探究(2)如图,已知 AB

15、C边长为4 33的等边三角形,以BC为边向外作等边4线段CP绕点C逆时针旋转60,点P的对应点为点Q求证： DCQP BCP求PA+PRPC的最小值；问题解决 如图，一直矩形 ABCD其中AB=5m AD=8m在矢g形 ABCD勺内部有一点(含B、C)有一点 M 连接PM.当点M,P位于何处时，PA+PD+PMJ值最小。y且V图 图 图，连接 BB .则 BB=；BCDP 为ABCW一点，将P,连接PA PD,在BC边上9 月 1DBC备用图书不记，熟读可记；义不精，细思可精。11 / 13进取高效自信棒棒堂培训最大张角问题（米勒定理）问题背景（如图） 假设：A- B是一个足球门（当然是两个定

16、点），一个对方球圆沿 OM运球。问：此球圆在何处使命，进球的机会最大？又假设：在 OM这面墙上安装一个监控摄像头来监扛AB路段的行车状况。问；安装在何处效果最佳？问题化归（如图）：上述两个问题实际上可以化归为如下数学模型：在/MON勺一边上有两爹定点A、B,在另一边上有一动点 P,动点位于ON边上的何处时，/ PAB最大？（所谓的张角最大，效果最 佳：射门、观察、视野最“宽”）。问题解决第一步：做一个过 A、B两点的圆，同时和 OMf目切于点P。第二步：P点即为所求。第三步：确定P点位置：用切割线定理秒杀：如图，点A,C在。O上,点D在。外.比较与1BDC的大小，井说明理由，如图.点A、在00上.点口在。口内,比较/A与jBDC的大小，并说 明理由；利用上述两圈解答技得的经验.解决如下何盟：在平面直角坐标系中.如图.已知点M（1. 0），N（4. 0），点口在,他上，试求当NMPN度散鼓大时点p的坐标.12 / 13书不记，熟读可记；义不精，细思可精。进取高效自信棒棒堂培训练习1:问题提出(1)如图，在矩形 ABCD中，AB = 2AD, E为CD的中点，则/ AEB / ACB (填 =)； 问题探究(2)如图，在正方形 ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点 P位于何处时，/ APB最大？并说明 理由；问题解决(3)如图，在一幢大楼