行列式的定义及性质

1、行列式的定义及性质（张俊敏）教学目标与要求通过学习，使学生理解 n阶行列式的定义，熟练掌握二、三阶行列式性质，能运用 性质求行列式的值。教学重点与难点教学重点：n阶行列式的定义及性质。教学难点：n阶行列式定义的理解。教学方法与建议通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式，了解行列式及其应用，在此基础上引 出一般意义上的 n阶行列式定义。要特别指出：行列式是一种运算，其结果是一个数; 其意义在于在由数组成的形式（方阵）与数域之间建立了一种联系，使得我们可以通过 数来研究形式的东西，同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。教学过程设计1.问题的提出求解二、三元线性方程组引出二阶、三阶行列式（二元

2、线性方程组ai1 Xi +a2 x2 a21 Xi a22 X2=bi=b2当aiia22 一ai2a2i #0时，可用消元法求得解为:h a22 a12 b2xi 二aii a22 -ai2 a2ibib2ai2a22aiiai2a2ia 22ai1 b2 - b|a2ix2 二a11a22 - a12 a21111a21 a 22)二阶与三阶行列式a11a12b2a 22.二阶行列式：(回顾高中时的二阶与三阶行列式)det(A)=a21a22=a11a22-a12a21,其中a为方程组的系数矩阵。.三阶行列式:a11a12a13a 22a 23a 21a 23a 21a 22a 21 a

3、22a 23二 a11a32a 33a12a 31a 33a 31a 32a 31 a 32a33注：(1)这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。 出来也是一个数。(2)三阶行列式也是方形矩阵上定义的一种运算。三阶行列式算2. n阶行列式的定义:ana12a21a22IIIIIIa1na2n=a11a 22IIIa 23HIan1an2IIIannan2a n3IIIIIIIIIa2nina nn-a12a 21IIIa23IIIa n1IIIIIIIIIa2nIIIa nn十用1:：；n(-1)a na21IIIa 22IIIan1an 2IIIIIIIIIn阶行列式中去掉

4、元素 a。所在行所在列的元素后，得到的n-1阶行列式叫做aj的余子式，记作Mj ,即ManIIIa1,j Aa1,j 书III a1nIIIIIIIIIIIIHI IIIaiIIIai 3 jai,j书HI an,nai +,1IIIai+, jai书,j书川ai书,nIIIIIIIIIIIIin hian1IIIan, j 二an,j 书III ann引入这两个记号则可将0并称Dj =(-1)由Mj为aj的代数余子式(2.4)式简记为n 1kdetA=a1Mlia12M12 Hl(1)namMn1 ；(-1)aMMm(2.5)kf(2.6)或 detA =&51 同22 W amDin =

5、= a1kD1k k 4式（2.4） （2.5）和（2.6）统称为n阶行列式按第一行的展开式注：1记一阶行列式 a =a ,但注意不要将其与绝对值概念混淆。2 一些特殊的行列式（下三角行列式，上三角行列式，对角型行列式）aii 0a21a220 a11 a 1200 a 22anian2ann其中一类很好求值的行列式一一上三角行列式。(1)0a22an2川0 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document III0*ri+IIIannIIIann3.行列式的性质行列式运算从本质上讲，是由数组成的一种形式上定义的运算，但随着形式的改变， 行列式的值有那些变化呢

6、？下面性质就解决了这些问题。性质1行列式与它的转置行列式相等。注 性质1表明行列式中行与列具有同等的地位，也就是说：行列式对行成立的性质,对列也同样成立，反之亦然。性质2互换行列式的两行（列），行列式变号。推论 若行列式中有两行元素完全相同，则行列式为零。性质3用数k乘行列式某一行中所有元素，等于用数k乘此行列式。换句话叙述此性质即是推论某一行所有元素的公因子可提到行列式符号的外面。性质4若行列式中有两行元素对应成比例，则行列式为零。性质5若行列式某行的元素是两数之和，则行列式可拆成两个行列式的和。性质6行列式某一行元素加上另一行对应元素的k倍，则行列式的值不变。注 性质2、性质3、性质6对应

7、行列式的三种运算，复杂行列式运算均可通过这三种运算的组合运算化为简单行列式运算,然后利用简单行列式（如例2.1 ）的结果算出复杂行列式的值。2.三种运算分别记为:互换i、j两行（列）：ri hi rj（Ci、 Cj ）性质2; 第i行（列）提取公因数k：rik （ci 令性质3的推论;将第j行（列）的k倍加到第i 行（列）上去：ri +kj （ci + kcj）性质64.举例例2计算2a b3a b3a 2b c6a 3b c4a 3b 2c d10a 6b 3c d解一abcdabcdr4 q r3120aa +ba +b +cr430aa +ba +b +cM2H -0a2a +b3a %

8、 +c-32-00a2a +b0a3a十b6a +3b +c00a3a +bDdr4鼻a +b +c2a b注意运算中次序有时不能颠倒；还要注意运算ri+ r （加到第i行上去）与口 +u的区别。算法不是唯一的，如也可有解法二:解二:abcdabcd0aa +ba +b +c3 Nt0aa+ba +b +c02a3a+2b4a +3b +2c4 -3200a2a+b03a6a+3bi0a+6b+3c003a7a + 3b2上%上心-工r4 3 r34_a2a bai aik0akiakkcii- cik biibincni cnk bni bnnDi=det(aij)二aiiaik，D2=det(bj)=:bi.i binakiakkbni bnn证明：不变；对-对D1作适当的运算u +kj ,可将Di化为下三角形;同理作适当的列运算G kqD2化为下三角形，分别设为PiiqiDi=PiiPkk，D2 =qii qnn ,PkiPkkqniqnn故对D的前k行作上述行运算,和对的后n列作上述列运算后， D可化为PiiPkiciiPkk cikqii=PiiPkk qiiq nn - Di D