求函数f(x)周期的方法

1、求函数f(x)周期的几种常见方法 1 定义法根据周期函数的定义以及题设中f(x)本身的性质推导出函数的周期的方法称为定义法(1)f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期注：如果题设函数方程中只有一边含有不为零的常数a，另一边与a无关，这时周期T应取决于a，假设T能被a整除，就分别试算f(x2a)，f(x3a)，f(x4a)，当出现f(xT)f(x)(T0)的形式时，就可知T是f(x)的周期周期函数，若是，求出它的周期；若不是，说明理由(1)f(x2a)f(xa)a(2)f(x)为周期函数，3a是它的周期2 特殊值法当题设条件中有f(m)n(m，n为常数)时，常常以此条件为突破口，采用特殊值法解

2、即可奏效f(x)是不是周期函数若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由f(x)为周期函数，2是它的一个周期3 变量代换法例4 设函数f(x)在R上有定义，且对于任意x都有f(x1995)f(x1994)f(x1996)，试判断f(x)是否周期函数若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由解 在f(x1995)f(x1994)f(x1996) (xR)中，以x代x1995，得f(x)f(x1)f(x1)；(1)在(1)中以x1代x，得f(x1)f(x)f(x2)(2)(1)(2)，得f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)(3)在(3)中以x1代x，得f(x)f(x3)；(4)在(4)中以x3

3、代x，得f(x3)f(x6)(5)将(5)代入(4)，得f(x6)f(x)f(x)为周期函数，6是它的一个周期4 递推法f(x)是不是周期函数若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由(1)在(1)中以x2代x，得f(x4)f(x6)f(x2)(2)(1)(2)，得f(x)f(x6)0，f(x)f(x6)(3)在(3)中以x6代x，得f(x6)f(x12)(4)(4)代入(3)，得f(x12)f(x)f(x)为周期函数，12是它的一个周期5 消去法例6 若函数f(x)定义在R上，且对一切实数x，都有f (5x)f (5x)，f (7x)f (7x)，试判断f(x)是不是周期函数若是，求出它的一个

4、周期；若不是，说明理由解 在f(5x)f(5x)中以5x代x，得f(x)f(10 x)；(1)在f(7x)f(7x)中以7x代x，得f(x)f(14x)(2)由(1)和(2)，得f(10 x)f(14x)(3)在(3)中以10 x代x，得f(x4)f(x)f(x)是周期函数，4为它的一个周期6 结构类比法f(x)是不是周期函数若是，求出它的一个周期；若不是，说明理由解：可视sinx为本题中f(x)的一个实例，由此可设想f(x)为周期函数，且2是它的一个周期下面进行证明：于是f(x2)f(x)f(x)f(x)f(x)为周期函数，2是它的一个周期7 公式法例8 已知yf(x)(xR)的图象是连续的

5、曲线，且f(x)不为常数，f(x)的图象关于直线xa和直线xb对称(ab)(1)求证：f(x)f(2ax)，f(x)f(2bx)；(2)求证f(x)是周期函数，并求出它的一个正周期证明 (1) f(x)的图象关于直线xa对称，且图象连续，不是平行于x轴的直线，设P(x，y)为曲线上任一点，点P关于xa的对称点P的坐标为P(x，y),同理可证 f(x)f(2bx)解 (2)由(1)可知，f(x)f(2ax)f(2bx)，f(2ax)f(2bx)，以x代2ax，得fx(2b2a)f(x)ab，2b2a0且为常数，f(x)是周期函数，2b2a为它的周期由例8可得到如下的定理 若函数yf(x)(xR)的图象关于直线xa和直线xb(ab)对称，且在这两条直线之间再无对称轴，那么f(x)是周期函数，2b2a为它的周期此定理可当作一个公式用，如例6中函数f(x)的周期为2.72.54利用“最小公倍数法”求一些三角函数的周期(最小正周期),解法虽巧妙,但有一定的局限性。为叙述方便,先举两例如下:例1.求函数y=sinx+cosx的周期。解:sinx的周期是2,cosx的周期是2,它们周期的最小公倍数是2函数y=sinx+cosx的周期是2例2.求函数y=tg3x+ctg2x的周期。解:tg3x的周期是/3=1/3(弧度)ctg2x的周期是/2=1/2(弧度)