极大似然估计例

1、案例色盲的遗传学模型研究随机调查1000人，按性别和是否色盲将这1000人分类。分类结果如下：男性正常、女 性正常、男性色盲和女性色盲各有442、514、38、6人。按遗传学的理论，有如下结论：性别决定于两个染色体，女性是XX，男性是XY，人群中女性和男性，也就是有 XX和XY染色体的人所占的比例都是1/2；染色体X与非色盲遗传因子A，或与色盲遗传因子a成对出现，而染色体Y不可 能与A，或与a成对出现。A和a与X成对出现的概率分别为P和q , P + q = 1；遗传因子有显性和隐性之分，非色盲遗传因子A是显性因子，色盲遗传因子a是 隐性因子。因而，对男性来说，(XA)Y的情况没有色盲，其概率

2、为P/2 ； (Xa)Y的情况有色盲，其概 率为q;2。对女性来说，(XA)(XA)、(XA)(Xa)和(Xa)(XA)三种情况都没有色盲，它们的概 率之和为P2.；2 + pq ； (Xa)(Xa)的情况有色盲，其概率为q*2。即男性正常、女性正常、 男性色盲和女性色盲这四类人所占的比例分别为P/2、p*2+ pq、q2和q2,；2，其中p 未知，q =1p。将男性正常、女性正常、男性色盲和女性色盲这四类人分别记为，a4，并记类A. 所占的比例为Pj(i = 1，,4)。则P1 = P/2，p2 = p2 .2 + pq，p3 = q/2，p4 = q2 , 2.这些Pt都依赖一个未知参数P

3、。若上述模型是对的，试求类4所占比例Pj(i = 1，,4)的极大似然估计(相当于求p的 极大似然估计)解：参数似然函数为q )38 ()6J)514 z + pqJ Ix p956(2 - p)514(1-p)50从而有对数似然方程a ln L( p) 956 51450 八=0dpp2 p 1 p即1520p2 3482p +1912 = 0。据此求得p的极大似然估计p - 0.91，从而得p.的极大似然估计 P. = Pi(P)，i = 1,4。它们分别为 0.455、0.49595、0.045 和 0.00405。（由此得各类的期望频数的估计值np., i = 1, ,4。它们分别为4

4、55、495.95、45和4.05）使用Excel软件，由数值迭代算法求得参数p的极大似然估计，使得似然函数，或使得 对数似然函数达到极大值。如何设定P的初始值是数值迭代算法能否正确求解的关键。对 本例来说，可通过以下一些途径设定P的初始值。由于（XA）Y是男性没有色盲，所以没有 色盲的男性只有A，没有a。由于在随机调查1000人中没有色盲的男性有442人，所以A 与X成对出现的概率p不可能小于0.442。其次由于在没有色盲的人中才有A，色盲的人中 没有A，并由于在随机调查1000人中有442 + 514 = 956人没有色盲，所以A与X成对出现 的概率p不可能大于0.956。故由调查数据知，

5、p的初始值应设定在0.442与0.956之间。 另外，由于男性没有色盲的概率为p 2，在随机调查1000人中男性没有色盲有442人，所 以p的初始值应设定在0.442x2 = 0.884附近。类似地，由男性色盲、女性没有色盲和女性 色盲的概率，以及在随机调查的人中男性色盲、女性没有色盲和女性色盲各有多少人，也可 以推得p的初始值应设定在什么值附近。本例，我们取p的初始值为0.85。下面介绍利用统计软件Excel求参数的极大似然估计的方法。建立Excel工作表格：将p的初始值0.85输入到例如A1单元格；将目标函数，即对数似然函数 “ =956*ln（。1） + 514*ln（2 一。1） +

6、50*ln（1 一。1） ” 输入到例如 A3单元格；p满足约束条件：0 p 1，为此将0和1分别输入到例如B1和C1单元格；按下面的步骤求参数的极大似然估计：1.选择Tools（X具）下拉菜单；.选择Solver Parameters（规划求解）选项；.在Solver Parameters（规划求解参数）对话框中：在Set Target Cell（设置目标单元格）栏中键入A3；在Equal to（等于）栏中选择Max（最大值）；在By Changing Cells（可变单元格）栏中键入A 1；在Subject to the Constraints（约束）栏中选择Add（添加）选项：.在Add Constraint（添加约束）对话框中：在Cell Reference（单元格引用位置）栏中键入A1；在Constraint （约束）栏中键入B1；在 =下拉菜单，选择=;再一次选择Add（添加）；5 .在Add Constraint（添加约束）对话框中：在Cell Reference（单元格引用位置）栏中键入A1；在Constraint （约束）栏中键入C1；在 =