数字信号处理第5章时域离散系统的基本网络结构课件

1、长沙理工大学电气学院电子信息工程系数字信号处理(Digital Signal Processing)第5章 时域离散系统的基本网络结构 5.1 引言 5.2 用信号流图表示网络结构 5.3 无限长脉冲响应基本网络结构 5.4 有限长脉冲响应基本网络结构5.1 引 言 一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入输出服从N阶差分方程 其系统函数H(z)为 给定一个差分方程，不同的算法有很多种，这将直接影响系统运算误差、运算速度及系统复杂程度和成本等，因此要研究信号处理的算法。例如： 5.2 用信号流图表示网络结构 观察(5.1.1)式，数字信号处理中有三种

2、基本算法，即乘法、加法和单位延迟，三种基本运算用流图表示如图5.2.1所示。 图5.2.1 三种基本运算的流图表示 和每个节点连接的有输入支路和输出支路，节点变量等于所有输入支路的输出之和。在图5.2.2中， (5.2.1) 图5.2.2 信号流图(a)基本信号流图；(b)非基本信号流图 不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图相对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图(Primitive Signal Flow Graghs)。 (1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1； (2) 流图环路中必须存在延时支路； (3) 节

3、点和支路的数目是有限的。 例5.2.1 求图5.2.2(a)信号流图决定的系统函数H(z)。 解 将5.2.1式进行z变换，得到 经过联立求解得到： 一般网络分为两类：有限长单位脉冲响应网络（FIR）；另一类是无限长单位脉冲响应网络(IIR)。 FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述： 其单位脉冲响应h(n)是有限长的，按照(5.2.2)式，h(n)表示为 其它n 另一类IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。例如一个简单的一阶IIR网络差分方程为 y(n)=ay(n-1)+x(n) 其单位脉冲响应h(

4、n)=anu(n)。这两类不同的网络结构各有不同的特点，下面分类叙述。5.3 无限长脉冲响应基本网络结构（IIR）1.直接型 对N阶差分方程重写如下： 有三种：直接型、级联型和并联型。 图5.3.1 IIR网络直接型结构 前后两部分延时支路可以合并 例5.3.1 IIR数字滤波器的系统函数H(z)为画出该滤波器的直接型结构。 解 由H(z)写出差分方程如下：图5.3.2 例5.3.1图2. 级联型 在(5.1.2)式表示的系统函数H(z)中，分子分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数，现将分子分母多项式分别进行因式分解，得到(5.3.1) 形成一个二阶网络Hj(z)；Hj(z)如下式：(5.

5、3.2) 式中，0j、1j、2j、1j和2j均为实数。这H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式： H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z) (5.3.3) 式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示。 图5.3.3 一阶和二阶直接型网络结构(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构 例5.3.2 设系统函数H(z)如下式： 试画出其级联型网络结构。 解 将H(z)分子分母进行因式分解，得到 图5.3.4 例5.3.2图 3.并联型 如果将级联形式的H(z)，展开部分分式形式，得到II

6、R并联型结构。 式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为(5.3.4) 式中，0i、1i、1i和2i都是实数。如果a2i=0则构成一阶网络。由(5.3.4)式，其输出Y(z)表示为 Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z) 并联型结构中，每个一阶网络决定一个实数极点，每个二阶网络决定一对共轭极点，因此调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型。另外，各个基本网络是并联的，产生的运算误差互不影响，不像直接型和级联型那样有误差积累，因此并联形式运算误差最小。 例5.3.3 画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。 解 将例

7、5.3.2中H(z)展成部分分式形式： 将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图5.3.5所示。 图5.3.5 例5.3.3图 5.4 有限长脉冲响应基本网络结构 FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为1.直接型 按照H(z)或者差分方程直接画出结构图如图5.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。 图5.4.1 FIR直接型网络结构 2. 级联型 将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的

8、级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。 例5.4.1 设FIR网络系统函数H(z)如下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出H(z)的直接型结构和级联型结构。 解 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其直接型结构和级联型结构如图5.4.2所示。 图5.4.2 例5.4.1图5.5 FIR系统的线性相位结构FIR线性相位系统具有以下特点:(1) FIR线性相位系统单位脉冲响应满足下式: h(n)=h(Nn1)式中, h(n)是实序列; N表示序列的长度。 该式说明h(n)对序列的(N1)/2位置偶对

9、称（公式中取“”号）或奇对称（公式中取“”号）。 (2) FIR线性相位系统系统函数满足下面公式:N为偶数N为奇数(3) FIR线性相位系统零点分布具有四个一组的特点，即如果z1是零点， 那么z1*、 z11、 (z11)*也是零点。 以上三点的分析和公式推导请参考教材第5章内容。 只要满足上面任意一个特点， 就可以判断该系统具有线性相位的特点。 按照该系统函数的特点， 就可以构成它的线性相位结构， 因此并不是所有FIR系统都能形成线性相位结构。 线性相位结构的优点是比直接型结构能节约近一半的乘法器。 线性相位网络结构流图P135频率域等间隔采样，相应的时域信号会以采样点数为周期进行周期性延拓

10、，如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真，此时原序列的z变换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式 (P88) 设FIR滤波器单位脉冲响应h(n)长度为M，系统函数H(z)=ZTh(n)，(5.4.1)式中H(k)用下式表示： (5.4.1) 5.6 FIR系统的频率采样结构要求频率域采样点数NM。(5.4.1)式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。请分析IIR滤波网络，为什么不采用频率采样结构。将(5.4.1)式写成下式： (5.4.2) 式中 Hc(z)是一个梳状滤波网络(参考第八章)，其零点为因此是由梳状滤波器和N个一阶网络的并联结构进行级联而成的，网络

11、结构如下图所示。图5.4.3 FIR滤波器频率采样结构 频率域采样结构的突出优点： (1)在频率采样点k，H(ejk)=H(k)，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k)，就可以有效地调整频响特性，使实际调整方便，可实现任意形状的频响曲线。 (2)只要h(n)长度N相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。这样，相同部分便于标准化、模块化。 然而，上述频率采样结构亦有两个缺点： (1)系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的。 (2)结构中，H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算，这对硬件实现是不方便的。 为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。 首先将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为r的圆上，取r1且r1。此时H(z)为(5.4.3) 另外，由DFT的共轭对称性知道，如果h(n)是实数序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于N/2点共轭对称，即H(k)=H*(N-k)。而且W-kN=W-(N-k)N，我们将Hk(z)和 H N-k(z)合并为一个二阶网络，并记为Hk(z)，则 显然，二阶网络Hk(z)的系数都为实数，其结构