新编计量经济学-理论和应用8随机时间序列模型1课件

1、 计量经济学理论和应用张红霞Zhanghx_c126 时间序列数据的建模如何建立一个平稳时间序列模型，如何进行预测不是以不同变量间的因果关系为基础，而是寻找时间序列自身的变化规律，不以任何经济理论为基础主要内容时间序列模型的基本概念及其适用性随机时间序列模型的平稳性条件随机时间序列模型的识别随机时间序列模型的估计随机时间序列模型的检验时间序列模型的基本概念及其适用性基本概念利用自身的过去预测自身的未来。一般形式 Xt=F(Xt-1, Xt-2, , t)具体模型的建立需要：具体形式滞后期随机扰动项的结构 线性模型一期滞后白噪声时间序列模型的基本概念及其适用性基本概念上面的模型是一阶自回归过程A

2、R(1)一般的p阶自回归过程AR(p)为 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t 如果随机扰动项是一个白噪声(t=t)，则上式为一纯AR(p)过程（pure AR(p) process），记为 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t时间序列模型的基本概念及其适用性基本概念如果t不是一个白噪声，通常认为它是一个q阶的移动平均（moving average）过程MA(q)： t=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 这是一个纯MA(q)过程（pure MA(p) process）注意：MA(q)也可记为时间序列模型的基本概念及其适用性基本概念纯AR

3、(p)与纯MA(q)结合，得到一个一般的自回归移动平均（autoregressive moving average）过程ARMA（p,q）Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过程生成，即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释如果该序列是平稳的，即它的行为并不会随着时间的推移而变化，那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来。随机时间序列模型的平稳性条件AR(p)模型的平稳性条件如果一个p阶自回归模型AR(p)生成的时间序列是平稳的，就说该AR(p)模型是平稳的， 否则，

4、就说该AR(p)模型是非平稳的 对p阶自回归模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t 引入滞后算子 LXt=Xt-1, L2Xt=Xt-2, , LpXt=Xt-p随机时间序列模型的平稳性条件变为(1-1L- 2L2-pLp)Xt=t 记(L)= (1-1L- 2L2-pLp)则多项式(z)= (1-1z- 2z2-pzp)=0称为AR(p)的特征方程。可以证明，如果AR(p)的特征方程的所有根都在单位圆外（模大于1），则AR(p)模型是平稳的随机时间序列模型的平稳性条件AR(1)模型的平稳性条件如果模型稳定，则有E(Xt2)=E(Xt-12)，从而上式可变换为

5、稳定条件下，方差是一非负的常数，从而有 |1 AR(1)的特征方程随机时间序列模型的平稳性条件根为 z=1/ AR(1)稳定，即 | 1，意味着特征根z大于1。随机时间序列模型的平稳性条件AR(2)模型的平稳性方程两边同乘以Xt，再取期望得：而 因此随机时间序列模型的平稳性条件同样有方差为 由平稳性的定义，该方差必须是一不变的正数，于是有 1+21, 2-11, |2|1随机时间序列模型的平稳性条件 这就是AR(2)的平稳性条件，或称为平稳域。它是一顶点分别为（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。 2j (0,1) 1j1 模型的平稳域 (-2,-1)(2,-1)随机时间序列模型的

6、平稳性条件AR(2)模型对应的特征方程1-1z-2z2=0 的两个根z1、z2满足： z1z2=-1/2 , z1+z2 =-1/2解出1，2随机时间序列模型的平稳性条件由AR(2)的平稳性，|2|=1/|z1|z2|1，有于是| z2 |1。由 2 - 1 1可推出同样的结果。随机时间序列模型的平稳性条件 对高阶自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性： AR(p)模型稳定的必要条件是： 1+2+p1 由于i(i=1,2,p)可正可负，AR(p)模型稳定的充分条件是： |1|+|2|+|p|1 随机时间序列模型的

7、平稳性条件MA(q)模型的稳定性Xt=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 当滞后期大于q时，Xt的自协方差系数为0。有限阶移动平均模型总是平稳的。 随机时间序列模型的平稳性条件ARMA(p,q)模型的稳定性 MA(q)模型总是平稳的，因此ARMA (p,q)模型的平稳性取决于AR(p)部分的平稳性。 当AR(p)部分平稳时，则该ARMA(p,q)模型是平稳的，否则，不是平稳的.()()ttLXLeQ=FqtqttptptttXXXXeqeqejjj-=-LL112211随机时间序列模型的平稳性条件一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型；一个非平稳的随机时间序列通

8、常可以通过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型随机时间序列模型的平稳性条件如果一个非平稳时间序列通过d次差分，变为平稳的，然后用一个平稳的ARMA(p,q)模型作为它的生成模型，则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整移动平均（autoregressive integrated moving average）时间序列，记为ARIMA(p,d,q)。一个ARIMA(2,1,2)时间序列在它成为平稳序列之前先得差分一次，然后用一个ARMA(2,2)模型作为它的生成模型的。随机时间序列模型的识别随机时间序列模型的识别，就是对于一个平稳的随机时间序列，找出

9、生成它的合适的随机过程或模型，即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（autocorrelation function，ACF）及偏自相关函数（partial autocorrelation function， PACF ）随机时间序列模型的识别AR(p)过程的识别自相关函数ACF 例 一阶自回归模型 Xt=Xt-1+ t 其k阶滞后自协方差为AR(1)模型的自相关函数为 由AR(1)的稳定性知|1，因此，k时，呈指数形衰减，直到零。这种现象称为拖尾或称AR(1)有无穷记忆（infinite memory）。随机时间序列模型

10、的识别AR(p)过程的识别例 阶自回归模型AR(2) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + tk期滞后自协方差k 阶自相关函数为 其中 :1=1/(1-2), 0=1 如果AR(2)稳定，则由1+21知|k|衰减趋于零，呈拖尾状。至于衰减的形式，要看AR(2)特征根的实虚性，若为实根，则呈单调或振荡型衰减，若为虚根，则呈正弦波型衰减。AR(p)过程的识别 p阶自回归模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + pXt-p + t 其k期滞后协方差为: 自相关函数可见，无论k有多大， k的计算均与其到p阶滞后的自相关函数有关，因此呈拖尾状。 如果AR(p)是稳定的，则|k|递减且趋于零事实上

11、，自相关函数是一p阶差分方程，其通解为其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平稳的条件知，|zi|p，Xt与Xt-k间的偏自相关系数为零。 AR(p)的一个主要特征是:kp时，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即k*在p以后是截尾的。AR(p)随机时间序列的识别原则：若Xt的偏自相关函数在p以后截尾，即kp时，k*=0，而它的自相关函数k是拖尾的，则此序列是自回归AR(p)序列。当kp时，rk*不会全为0，而是在0的上下波动。但可以证明，当kp时，rk*服从如下渐近正态分布: rk*N(0,1/n)式中n表示样本容量。MA(q)过程的识别 对MA(1)过程 其自

12、协方差系数： 于是，MA(1)过程的自相关函数为：可见，当k1时，k=0，即Xt与Xt-k不相关，MA(1)自相关函数是截尾的。 MA(q)过程的识别 MA(1)过程可以等价地写成t关于无穷序列Xt，Xt-1，的线性组合的形式： 是一个AR()过程，它的偏自相关函数非截尾但却趋于零，因此MA(1)的偏自相关函数是非截尾但却趋于零的MA(q)过程的识别其自协方差系数为 q阶移动平均过程MA(q) 相应的自相关函数为 可见，当kq时， Xt与Xt-k不相关，即存在截尾现象，因此，当kq时， k=0是MA(q)的一个特征。 于是：可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为0来判断MA(q)模型的阶。与

13、MA(1)相仿，可以验证MA(q)过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。MA(q)模型的识别规则：若随机序列的自相关函数截尾，即自q以后，k=0（ kq）；而它的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是滑动平均MA(q)序列同样需要注意的是：在实际识别时，由于样本自相关函数rk是总体自相关函数k的一个估计，由于样本的随机性，当kq时，rk不会全为0，而是在0的上下波动。但可以证明，当kq时，rk服从如下渐近正态分布: rkN(0,1/n)式中n表示样本容量。ARMA(p,q)过程的识别 ARMA(p,q)的自相关函数，可以看作MA(q)的自相关函数和AR(p)的自相关函数的混合物。 当p=0时，它具有

14、截尾性质； 当q=0时，它具有拖尾性质； 当p、q都不为0时，它具有拖尾性质 从识别上看，通常： ARMA(p，q)过程的偏自相关函数（PACF）可能在p阶滞后前有几项明显的尖柱（spikes），但从p阶滞后项开始逐渐趋向于零； 而它的自相关函数（ACF）则是在q阶滞后前有几项明显的尖柱，从q阶滞后项开始逐渐趋向于零。模型ACFPACF白噪声AR(p)衰减趋于零（几何型或振荡型）p阶后截尾：MA(q)p阶后截尾：衰减趋于零（几何型或振荡）ARMA(p,q)q阶后衰减趋于零（几何型或振荡型）p阶后衰减趋于零（几何型或振荡型） ACF PACF 模型1： tttXXe+=-17.00.00.20.

15、40.60.812345678ACF10.00.20.40.60.812345678PACF1随机时间序列模型的估计估计方法最小二乘估计；矩估计；利用自相关函数的直接估计。AR(p)模型的Yule Walker方程估计 在AR(p)模型的识别中，曾得到 利用k=-k，得到如下方程组： AR(p)模型的Yule Walker方程估计 此方程组被称为Yule Walker方程组。该方程组建立了AR(p)模型的模型参数1,2,p与自相关函数1,2,p的关系。 估计方法： 首先，求得自相关函数的估计值 然后利用Yule Walker方程组，求解模型参数的估计值2的估计值 MA(q)模型的矩估计 将MA

16、(q)模型的自协方差函数中的各个量用估计量代替，得到： 首先求得自协方差函数的估计值，上式是一个包含(q+1)个待估参数 的非线性方程组，可以用直接法或迭代法求解。 常用的迭代方法有线性迭代法和Newton-Raphsan迭代法。MA(1)模型的直接算法于是 或有于是有解 由于参数估计有两组解，可根据可逆性条件|1|2以后， 偏自相关函数是截尾的。 一阶差分后的GDP满足AR(2)随机过程。估计有如下Yule Walker 方程：解得估计 最小二乘估计 （7.91) (-3.60) r2=0.8469 R2=0.8385 DW=1.15 有时，在用回归法时，也可加入常数项。 （1.99） （7

17、.74） （-3.58） r2 =0.8758 R2 =0.8612 DW.=1.22检验三模型的残差项的自相关系数及QLB检验值模型残差项的自相关系数及Q检验值 模型1 模型2 模型3 K Resid-ACF Q Resid-ACF Q Resid-ACF Q 1 0.382 3.3846 0.258 1.5377 0.257 1.5263 2 0.014 3.3893 -0.139 2.0077 -0.040 1.5646 3 -0.132 3.8427 -0.246 3.5677 -0.059 1.6554 4 -0.341 7.0391 -0.529 11.267 -0.328 4.6

18、210 5 -0.170 7.8910 -0.300 13.908 -0.151 5.2864 6 0.253 9.9097 0.271 16.207 0.345 9.0331 7 0.144 10.613 0.158 17.051 0.155 9.8458 8 0.057 10.730 0.116 17.541 0.076 10.059 9 -0.019 10.745 0.097 17.914 0.011 10.064 10 -0.146 11.685 -0.036 17.969 -0.123 10.728 11 -0.233 14.329 -0.136 18.878 -0.230 13.3

19、19 12 -0.049 14.461 0.064 19.104 -0.012 13.328 用建立的AR(2)模型对中国支出法GDP进行外推预测模型1已知t-1、t-2、t-3期的GDP时，就可对第t期的GDP作出外推预测。例：中国人均居民消费（CPC）的随机时间序列模型 中国人均居民消费（CPC）经过二次差分后的新序列记为CPCD2 CPCD2序列的自相关函数、偏自相关函数与Q统计量值 k ACF PACF Q k ACF PACF Q 1 0.125 0.125 0.269 7 0.196 0.014 6.286 2 -0.294 -0.314 1.882 8 -0.218 -0.335 8.067 3 -0.034 0.060 1.906 9 -0.010 0.024 8.072 4 -0.213 -0.350 2.919 10 0.102 -0.147 8.650 5 -0.258 -0.193 4.576 11 -0.071 0.001 9.025 6 0.131 0.017 5.057 12 0.006 -0.119 9.029 在5%的显著性水平下，通过Q统计量容易验证该序列本身就接近于一白噪声，因此可考虑采用零阶MA(0)模型: 由于k=2时，|r2|