(完整版)电磁场与电磁波(第四版)课后答案详解-谢处方

1、 电磁场与电磁波（第四版）课后答案第一章习题解答1.1给定二个矢量a、b和c如下:A=e+e2一e3xyzB=一e4+eyzC=e5e2求：(1)a;(2)a-B;(3)a.b；(4)e；(5)a在b上的分AAB量；(6)AxC；(7)A.(BxC)和(AxB)C；(8)(AxB)xC和Ax(BxC)。e+e2e3123=e+ee-12+22+(3)2x14yv14z14AB=|(e+e2e3)(e4+e)=le+e6e4=753xyzyz/yz1AB=(e+e2-e3)(e4+e)=_11解(1)a=A2)(3)xy(4)由Cos0ABzAB1111,得|A|B|J14x*72380AB=C

2、0S1(一気)=135.55)238A在B上的分_11AC0S0AB=阿药AB6)AxC=ex15ey20ez32=e4e13e10 xyz7)由于BxC=AxB=ex05ey40ez12=e8+e5+e20 xyzex10ey24ez31=e10e1e4xyz所以A(BxC)=(e+e2e3)(e8+e5+e20)=42xyzxyz(AxB)C=(e10e1e4)(e5e2)=42xyzxz8)ex(AxB)xC=10ee=e2e40+e5xyzey25z320=e55e44e11xyz1.2三角形的三个顶点为P(0,1,2)、P(4,1,3)和P(6,2,5)。判断APPP是否为一直角三角

3、形；3(2)求三角形1的23面积。解(1)三个顶点P(0,1,2)、别为1P(4,1,3)和P(6,2,5)的位置矢量分231yz2xyzR=rr=e4e，R1221xz23R=rre6ee73113xyz则由此可见r=ee2，r=e4+ee3，r=e6+e2+e53xyz=rr=e2+e+e8，32xyz123(2)三角形的面积s=2气2x力=2气2卜唱=2历=17-13RR=(e4e)(e2+e+e8)=0故APPP为一直角三角形。%1.3求P(3,1,4)点到P(2,2,3)点的距离矢量R及R的方向解r=e3+e+e4，则Pxyz且R与x、PPpr=e2e2+e3，xyzPxyzR=rr

4、=e5e3eZ轴的夹角分别为eR、xPP)=cos1R1PPIeRPP)=COS10=cos1(x0=COS1(y,yRPplc0z=COS%|IPPIeRPP)=COS1(z32.31120.47=99.731.4给定两矢量A=e2+e3e间的夹角和A在B上的分量；解A与B=cos1(310=COS1(AB4和B=eyz之间的)=131v29x币)A在B上的分量为Ap=4e5+e6，求它们之xyz夹角AB=1.5给定两矢量A=e2+e3e4和B=e6e4+e，求AxB在C=e-e+e上的分量。zzxyz-6ez-4=e13+e22+e10所以AxB在C上的分量为(AxB)=(AXB)CCPl

5、25忑=1443xyz】6证明：如果Ab=AC和AxB=AxC，则B=C；解由AxB=AxC，则有Ax(AxB)=Ax(AxC)，即(AB)A(A.A)B=(AC)A(AA)C由于AB=AC，于是得到(A.A)B=(AA)C故B=C1.7如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p=AX而P=axx，p和p已知，试求x。解由P=AxX，有AxP=Ax(AxX)=(AX)A(AA)X=pA(AA)X故得x=pAAxpAA1.8在圆柱坐标中，一点的位置由(4,王,3)定出，求该点在：(1)3直角坐标中的坐标；(2)球坐标中的坐标。解在直角坐标系中x

6、=4cos(2兀=-2、y=4sin(2兀=2打、z=3_故该点的直角坐标为(2,273,3)。(2)在球坐标系中r=韶2+32=5、=tan-1(4=53.1。、()=2兀/3=120故该点的球坐标为(5,53.1,120)1.9用球坐标表示的场e=e兰，rr2求在直角坐标中点(3,4,-5)处的|E|和E；求在直角坐标中点(34-5)处E与矢量B=e2-e2+e构成的夹角。xyz解(1)在直角坐标中点(3,4,5)处，r2=(3)2+42+(5)2=50，25err21-33迈=x=rx25迈20(2)在直角坐标中点(3,4,5)处，r=-e3+e4-e5，所以xyz2525re3+e4e

7、5E=xyzr2r3102EB0cos1()cos1(EBEB=eE=Ecos0 xx故E与B构成的夹角为宵)=153.6。1.10球坐标中两个点(r,0e)和(r,0,e)定出两个位置矢量R和R。证明R和R间夹角的余弦为22212解得到由cosY12cosYcos0cos0+sin0sin0cos(QQ)121212Rersin0cosQ+ersin0sinQ+ercos0 x111y111z11Rersin0cosQ+ersin0sinQ+ercos0 x222y222z22RRHYPERLINKlbookmark119oCurrentDocument1cIRIR1V2sin0cosQsi

8、n0cosQ+sin0sinQsin0sinQ+cos0cos01122112212sin0sin0(cosQcosQ+sinQsinQ)+cos0cos0121211212sin0sin0cos(QQ)+cos0cos01212121.11的值。一球面s的半径为5，球心在原点上，计算：丄(e/sin0)dSs解丄(ee3sin0)edsdQf3sin0 x52sin0d075兀2rrr丁Ss1.12在由r5、zo和z4围成的圆柱形区域，对矢量Aer2+e2z验证散度定理。rz解在圆柱坐标系中y.A1(rr2)+1(2z)-3r+2rdrdz所以又fyAdtfAdS(eSSff52x5dQdz

9、+ff2x4rdrdQ1200fdzfdQf(3r+2)rdr1200兀000r2+e2z)(edS+edS+edS)rzrrQQzz故有00Adt1200兀=8 =8 1.13求(】)矢量a=ex2+ex2y2+e24x2y2z3的冃攵度；(2)求VA对中心在原点的一个单位立方体的积分；(3)求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。2)3)Q(x2)0(x2y2)Q(24x2y2z3)A=+=2x+2x2y+72x2y2z2dxdydzA对中心在原点的一个单位立方体的积分为1(21(21(21JVAdt=JJJ(2x+2x2y+72x2y2z2)dxdydz=刃A对此立方体表面1的积分(JA

10、dS=JJ(2)2dydzJJ(-)2dydz+-12-12-12-121(21(211(21(21JJ2x2()2dxdz-JJ2x2(-)2dxdz+.2.2-12-12-12-121(21(224x2y2(丄)3dxdy-:-2-12-12故有半半11JJ24x2y2(-)3dxdy=可-12-12JVAdT=6AdS24TS计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求vr对球体积的积分。JrdS=iredS=予d亦aa2sin0d0=4兀a3rSS001.14又在球坐标系中，v.r=丄2(r2r)=3，所以r2QrJvrdt=3r2sin0drd0d=4兀a3T0001.1

11、5求矢量a=ex+ex2+ey2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求VxA对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。Adl=Jxdx-Jxdx+J22dy-J0dyVxA=0.ex8_Qx0eyQQyx200ezQcc=e2yz+e2xQzxzy2z 所以故有AdIxdx+xy2dy2f(一a2cosQsinQ+a4cos2Qsin2Q)dQc4Rex+ey+ez，xyz解(1)vR-竺+空+竺-3dxdydz2)3)VxRexQQxx/L设AeA+eAeyd_QyyezQQz0贝UA9RAx+Ay+Az，故xxyyzzxyzQQV(A

12、R)e(Ax+Ay+Az)+e(Ax+Ay+Az)+xQxxyzyQyxyzQe(Ax+Ay+Az)eA+eA+eAAzQzxyzxxyyzz+eA，zzfvxAdS=ff(e2yz+e2x)edxdy=8xzz00Adl8=fVxdS1.16求矢量Aex+exy2沿圆周x2+y2-a2的线积分，再计算VxA对此圆面积的积分。解0dAQAa2斤兀a4JVxAdSJe(片-l)edSJy2dSJJr2sin2QrdQdrzQxQyz4117证明S(1)VR-3；(2)SvxR0；V(A.R)-A。其中A为一常矢量。Qx径向矢量场f-ef(r)表示，如果vF-0，那么函数f(r)会有什么特点呢？r

13、解在圆柱坐标系中，由可得到VF1丄f(r)0rdrCf(r)rC为任意常数。VF丄r2f(r)0r2dr在球坐标系中，由Cf(r)-可得到r2给定矢量函数Eey+ex，试求从点P(2,1,一1)到点P(8,2,-1)的线积分JEdl:(1)沿抛物线xy2；(2)沿逢接该两点的直线。这个E是保守场吗？解(1)JEdl=JEdx+Edy=Jydx+xdy=xyCCCfyd(2y2)+2y2dy=f6y2dy=14连接点P(2,1,-1)到点P(8,2,-1)直线方程为12TOC o 1-5 h zx-2x-8=即y-1y-2故JEdl=JEdx+EdyJyd(6y-4)+(6y-4)dy=f(12

14、y-4)dy二14xy屮在一个指定方向的方向5定出；求(231)点的方50CC1由此可见积分与路径无关，故是保守场。1.20求标量函数屮=x2yz的梯度及导数，此方向由单位矢量e丄+e2+e向导数值。解dddV屮=e(x2yz)+e(x2yz)+e(x2yz)=xdxydyzdze2xyz+ex2z+ex2yxyz=e上+e-L+e仝的方向x50y、50z50 xy750zdA故沿方向导数为dL=Ve=处+竺+空dl15/50750750点(2,3,1)处沿e的方向导数值为l竺亠+4L+4L=型dlx/5050507501.21试采用与推导直角坐标中TOC o 1-5 h zVA=竺+竺+丝相

15、似的方法推导圆柱坐dxdydzVA二-(rA)+笠+rdrrrd标下的公式解在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A沿e方向穿出该六面体的表面的通量为rW=于于人(r+Ar)drd-rrr+Arz(r+Ar)A(r+Ar,z)一rA(r,z)AAz-&(丿ArAAz=1&(丿Atrrdrrdr同理r+Arz+Azdrdz-JJ+AAdrdz-A(r,+A,z)A(r,z)ArAz-r+AJAzz+AzA|rdrdzzrrA(r,z+Az)一A(r,z)rArAAz沁zzdAdA人丁rArAAz=丁Atdzdz屮二屮+屮+屮丄四+dArzrdr+rd故得到圆柱坐标下的散度表达式VA=

16、lim=AtTOAy2+兰给出一椭球族。求b2c21d(rA)QAdArrdr1.22方程u=三+a2的单位法向矢量。解由于椭球表面上任意点Vu二e2X+e彳+exa2yb2因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为|Vu|-2J()2+()2+(三)2a2b2c2故椭球表面上任意点的单位法向矢量为1.23Vuxyzn=(e+e+e一Vuxa2yb2zc2现有三个矢量A、+(占)2+(三)2a2b2c2B、C为A=esin0cos+ecos0cos-esinr0B=ez2sin+ez2cos+e2rzsinrzC=e(3y2-2x)+ex2+e2z哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可

17、以由一个矢量函数的旋度表示？求出这些矢量的源分布。解(1)在球坐标系中VA=丄(r2A)+r2drr1drsin0d0(sin0A)+01dA=rsin0d1d1d1d(r2sin0cos)+(sin0cos0cos)+(-sin)=r2drrsin0d0rsin0dVxA二r2sineeraarArreeaaerAersineeaarsineA1r2sineI1arsinecosreeaaercosecosrsineea-rsinesin故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；在圆柱坐标系中1aiaBaBVB=(rB)+JrarrraQz-(rz2sin)+丄

18、(z2cos)+(2rzsin)rarraaz竺泌-皿+2rsin-2rsinVxB二-reraarBrreea那rBrezaazBeraarz2sin故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示;reeaarz2cosezaaz2rzsin直角在坐标系中VxC=acacac_axayazaaa(3y2-2x)+(x2)+(2z)0axayazezaaz2zexaax3y2-2xeyaayx2=e(2x-6y)z故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。（2）这些矢量的源分布为VA0，VxA0；VB=2rsin，VXB0；VC0，VxCe(2x-6y)1.24利用直角坐标，证明V(fA)fVA+AVf解在

19、直角坐标中1.25证明QAQAQAQfQfQffVA+AVf二f(J+片+2)+(Af+A竺+A里)二QxQyQzxQxyQyzQzQAQfQAQfQA(f丁+Af)+(f才+Af)+(f=+AQxxQxQyyQyQzzQQQ(fA)+-(fA)+-(fA)=V(fA)QxxQyyQzz(AxH)=HVxA-AVxH解根据V算子的微分运算性质，有V(AxH)=V(AxH)+V(AxH)表示只对矢量H作微分运H式中v表示只对矢量A作微分运算，算。A由a(bxc)=c(axb)，可得V(AxH)=H(VxA)=H(VxA)同理V(AxH)=-A(VxH)=-A(VxH)故有xA-AVxH1.26利

20、用直角坐标，证明x(fG)=fVxG+VfxG解在直角坐标中QGQGQGdG6GQGfVxG二fe学-才)+e(-x-些)+e(才-RxQyQzyQzQxzQxQyVfxG=e(G-f-GQf)+e(GQf-G-f)+e(G-f-GxzQyyQzyxQzzQxzyQxx所以fVxG+VfxG=e(GQ+f学)-(GQ+f学)+xzQyQyyQzQze(Gf+f学)-(Gf+f+yxQzQzzQxe(Gf+f讐)-(Gf+fzyQxQxxQyeQ(fG)Q(fG)+eQ(fG)Q(fG)+ez+exl+xQyQzyQz-QyQxe=Vx(fG)zQxQy1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更

21、普遍的意义下证明Vx(Vu)=0及V(VxA)=0，试证明之。解(1)对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理有题1.27图 由于曲面S是任意的，故有Vx(Vu)=0(2)对于任意闭合曲面S为边界的体积，由散度定理有V(VxA)dt(VxA)dS=f(VxA)dS+f(VxA)dS其中S和S如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有2f(VxA)dS=Adl，f(VxA)dS=iAdl由题1.27图可知SC和j是方向相反的同一回路C2，则有Adl=(fAdl所以得到fV(VxA)dt-fAdl+(fAdl-Adl+iAdl-0由于体积t是任意的，故有V】VxA)-02第二章习题解答一个

22、平行板真空二极管内的电荷体密度为P二-4Ud-43X-23，式中阴极板位于x=0，阳极板位于x=d，极间电900压为U。如果U-40V、d=lcm、横截面s二10cm2，求:（1）x=0和x=d区域内的总电荷量Q；（2）x=d-2和x=d区域内的总电荷量Q。解（1）Q=Jpdi=f（-Ud-43x-23）Sdx=-US=-4.72x10-nC9003d00（i02Q=pdi=f（-4Ud-43x-23）Sdx=-_（1丄）US=-0.97x10-iiC,9003dV20022一个体密度为p=2.32x10-7Cm3的质子束，通过1000V的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束

23、直径为2mm，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。解质子的质量m=1.7x10-27kg、电量q=1.6x10-19C。由口mv2=qU2v=、；2mqU=1.37x106m：sJ=pv=0.318Am2I=J兀（d/2）2=10-6A一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度o绕一个直径旋转，求球内的电流密度。解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球内任一点p的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为则P点的线速度为球内的电荷体密度为v=oxr=eorsin00p=Q4兀a33故J=pv=eQorsin0=eQrsin004兀a3204兀a3一个半径为a的导体球带总电荷量

24、为Q，同样以匀角速度o绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z轴。设球面上任-点P的位置矢量为r，且r与z轴的夹角为0，则P点的线速度为v=oxr=eoasin0球面的上电荷面密度为04兀a2cv=eoasin0=e-Q0sin0s04兀a204兀a2.5两点电荷q=8C位于z轴上z=4处，q=4C位于y轴上y=4处，求(400)处的电场强度。2解电荷q、在(4,0,0)处产生的电场为qrr2e4e4E=ii14kerrf电荷q在(4,0,0)处产生的电场为12qrr1e4e424kejq2=xz3珥(42)3E2故(4,0,0)处的电场为=xy-3兀(4J

25、2)3e+ee2E=E+E=yz1232播匕2.6一个半圆环上均匀分布线电荷p,求垂直于圆平面的轴线上z=a处的电场强度E(0,0,a)，设半圆环的半径也为a，如题2.6图所示。解半圆环上的电荷元pdl=padg在轴线上z=a处的电场强度为lldE=4册(屈)30pe(ecosg+esing)lxydg8J2兀匕a在半圆环上对上式积分，得到轴线上z=a处的电场强度为E(0,0,a)=JdE=pt2P(e兀e2)iJe(ecosg+esing)dg=1zx82兀azxy8为；2兀a0t202.7三根长度均为l，均匀带电荷密度分别为p、p和p地线电荷构成等边三角形。设p=2p=2p，计算三角形中心

26、处的电场强度。解建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为d=tan30=L26则题2.7图E=ePn(cos30cosl50)=e西y4ksdy2ksL00E=(ecos30+esinSO)=(e3+exy2KSLxy8ksL00E=(ecos30esinSO)=(e3e)-xy2KSLxy8ksL0故等边三角形中心处的电场强度为0题2.10图题2.10图E=E+E+E=123e3n-(eJ3+e)+(e3-e)=eP/iy2K8Lxy8兀8Lxy8兀8Ly4K8L28点电荷+q位于(-a,0,0)处，另一点电荷-2q位于(a,0,0)处,空间有没有电场强度E=0的点？解电荷+q在

27、(x,y,z)处产生的电场为qe(x+a)+ey+ezExyz14兀8(x+a)2+y2+z232电荷-2q在(x,y,z)处产生的电场为2qe(x-a)+ey+ezExyz24兀8(x-a)2+y2+z232(x,y,z)处的电场则为E-E+E。令E0，则有12e(x+a)+ey+ez2e(x-a)+ey+ezxyzxyz(x+a)2+y2+z232(x-a)2+y2+z232由上式两端对应分量相等，可得到(x+a)(x一a)2+y2+z2322(x一a)(x+a)2+y2+z232y(x一a)2+y2+z2322y(x+a)2+y2+z232z(x一a)2+y2+z2322z(x+a)2+

28、y2+z232当y丰0或z丰0时，将式或式代入式，得a-0。所以，当y丰0或z丰0时无解；当y-0且z0时，由式，有(x+a)(x-a)32(x-a)(x+a)3解得x(-3土2/2)a但x-3a+2迈a不合题意，故仅在(-3a-2迈a,0,0)处电场强度E-0。2.9一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为&。证明：垂直于平面的z轴上z-z处的电场强度E中，有一半是有平面上半径0为打z的圆内的电荷产生的。解半径为r、电荷线密度为Pdr的带电细圆环在z轴上z-z处的电场强度为l0r&zdr8r&zdraz1EeJ0-ez28(r2+z2)32z28(r2+z2)i200000dEez28(r2

29、+z2)32故整个导电带电面在z轴上z-z处的。电场强度为08Oez280014而半径为J3z0的圆内的电荷产生在z轴上z二z0处的电场强度为%C1-=e=一Ez4&2003z0r&zdr&z1E=eJ0=e0-z2s(r2+z2)32z2s(r2+z2)1200.00.00000000一个半径为a的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度解球面上的电荷面密度为&Q4兀a2当球体以均匀角速度o绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r=ea点处的电流面密度为rJ=ovxr=oeoxea=Szreonasin0=e0Qsin9ee4兀a将球面划分为无

30、数个宽度为dl=ad9的细圆环，则球面上任一个宽度为dl=ad9细圆环的电流为dI=Jdl=0Qsin9d9S4兀细圆环的半径为b=asin9，圆环平面到球心的距离d=acos9，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为卩b2dI卩oQa2sm39d9uoQsin39d9dB=e0=e0=ez2(b2+d2)32z8兀(a2sin29+a2cos29)32z8兀a故整个球面电流在球心处产生的磁场为B=eL巴0Qsin39d9=e卩oQz08兀az6兀a2.11两个半径为b、同轴的相同线圈，各有n匝，相互隔开距离为d，如题2.11图所示。电流/以相同的方向流过这两个线圈

31、。xx求这两个线圈中心点处的磁感应强度B=eB；证明：在中点处dB/dx等于零；求出b与d之间的关系，使中点处d2Bdx2也等于零。解(1)由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度uIa2B=e0-z2(a2+z2)32得到两个线圈中心点处的磁感应强度为B=e卩0N血x(b2+d2:4)32(2)两线圈的电流在其轴线上x(0 xd)处的磁感应强度为fuNIb2uNIb20+02(b2+x2)322b2+(dx)232所以dB3uNIb2x3uNIb2(dx)x=0+0dx2(b2+x2)522b2+(dx)25215 故在中点x=d2处，有3巴NIb2d,；2*3巴Nb2d,;2_Q2b2+d245

32、22b2+d2452d2B15卩Nib2x23卩Nib2x=00dx2dBxdx3)d2Bdx2.0+2(b2+x2)722(b2+x2)5215NIb2(dx)23NIb2002b2+(dx)2722b2+(dx)2525d2/41即故解得2.12一2a，中心线与zI。证明在第一象B一打a，x4兀ar和r如题2.121解2将导体dx，的细条带，每,=0b2+d2472b2+d24525d2f4=b2+d2I4d=b题2.12图扁平的直导体带，宽为轴重合，通过的电流为限内的磁感应强度为B上In=y4兀ar图所示。1带划分为无数个宽度为一细条带的电流式中a、di二dx，。由安x，处的细条带的电流

33、di在点P(x,y)处的磁场为卩dI卩Idx，卩Idx，dB0002兀R4兀aR4兀a(x一x)2+y212dB=-dBsin9=-愛竺一x4兀a(x一x，)2+y2dB=dBcos0=0I(xx，)dx，y4兀a(xx，)2+y2所以Iydx，0-4兀a(xx，)2+y2培环路定理，可得位于arctan卩I0arctan4兀a(、axarctan出Iarctan4兀alarctanIy丿一o(aa)=4兀a21fI(x一x，)dx，B=0y4兀a(x一x)2+y2Iy丿口i0a4兀aa卩I0ln(xx)2+y28兀aa卩(x+a)2+y2卩IroIn=In8兀a(x-a)2+y24兀ar如题

34、2.13图所1示，有一个电矩为p1的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为p2的电偶极子，位于矢径为r的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为F二312(sin0sin0cos-2cos0cos0)r4ksr41212式中0=,0=,，是两个平面(r,p)和(r,p)间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？解电偶极子p在矢径为r的点上产生的电场为1E=丄2少-鼻14ksr5r3E“丄卫卫吐-X4ksr5r300=，贝U2pr=prcos0111p*r二prcos0222又因为是两个平面(r,p)和(r,p)间的夹角，所以有12(rxp)(rxp)=r2ppsin0sin0co

35、s另一方面，利用矢量恒等式可得12(rxp)(rxp)二(rxp)xrp二1212r2(pp)(rp)(rp)1212因所以与P2之间的相互作用能为因为0=,11(pp)=(rxp)(rxp)+(p)(p)=ppsin0sin0cos+ppcos0cos012r2121212121212于是得到W二1“2(sin0sin0cos-2cos0cos0)e4兀r31212故两偶极子之间的相互0作用力为F竺rr)rW二一pe2二-(sin0sin0cos2cos0cos0)Q(丄)二q=const4KS1212dr厂303pp(sin0sin0cos一2cos0cos0)4kr41212由上式可见，

36、当0广02=0时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。两平行无限长直线电流I1和I2，相距为d，求每根导线单位长度受到的安培力F。mBe卩IB=eO-1ie2兀r到的安培力为解无限长直线电流I产生的磁场为1直线电流I每单位长度受21pIIF=JIexBdz=e012m122z1122兀d式中e是由电流I指向电流I的单位矢量。同1理可得，1直线电流I每单位长度受到的安培力为1pIIF=F=e012m21m12122兀d2.15一根通电流I的无限长直导线和一个通电流I的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为d,如题2.15图所示。间相互作用的安培力为F=p11(seca一1)这里a是圆环在直线最接

37、近0圆环的点所张的角。解无限长直线电流I产生的磁场为1pIB=e-11e2兀r圆环上的电流元Idl受到的安培力为22pIIdF=IdlxB=dlxe012m2212y2兀x图可矢口dl=(esin0+ecos0)ad02xzx=d+acos0F=JP012(esin0ecos0)d0=m2兀(d+acos0)zx0由题2.15所以2证明：两电流卩all2eo1-2.x2兀(d+acos0)0卩alI/2兀d2兀eo12(+)=ep11(seca1)x2兀aad2a2x012证明在不均匀的电场中，某一电偶极子P绕坐标原点所受到的力矩为rx(pV)E+pxE。解如题2.16图所示，设p=qdl(d

38、l1)，则电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为2.16cos0T=rxqE(r)一rxqE(r)=2211dldldldl(r+q)xqE(r+q)(ry)xqE(ry)=题2.16图 E(r-乎)沁E(r)-(dl-)E(r)故得到T-rx(qdl-V)E(r)+qdlxE(r)=rx(pV)E+pxE第三章习题解答3.1真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和-q，试计算球赤道平面上电通密度的通量(如题3.1图所示)。解由点电荷q和-q共同产生的电通密度为赤道平面q题3.1图D=2tR-=4kR3R3+qer+e(za)er+e(z+a)4kr2+(za)232r2+(z+a

39、)232则球赤道平面上电通密度的通量JDdS=JDeIS(一a)=JDdS=S旦f2兀rdr=4兀(r2+a2)32(r2+a2)320dS=zz=0qa1)q=0.293q度表达式为Do=er4”Ze1工，试证明之。r2r3V丿a解位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为(r2+a2)121911年卢瑟福在实验中使用的是半径为r的球体原子模型，a其球体内均匀分布有总电荷量为-Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze(Z是原子序数，e是质子电荷量)，通过实验得到球体内的电通量密Ze3Ze题3.3图(a)D=e空1r4kr2bPTOC o 1-5 h z原子内电子云的电荷体密度为P4344kr3/

40、34kr3电子云在原子内产生的电通量密度则为aap4kr33ZerD=e=e-2r4kr2r4kr3故原子内总的电通量密度为3.3电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为P。Cm3,两圆柱面半径分别为a和b，轴线相距为c(cb区域中，由高斯定律6EdS旦，可求得大、小圆柱中的S正、负电荷在点P产生的电场分别为E=e竺巴二込ir2兀r2r200bacPo题3.3图(b)bPacB丄兀a2PPa2rE=e0=1r2兀r2r200点P处总的电场为在ra区域中，产生的电场分别为E=E+E(空旦)ii2r2r2同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点PE=e巴迟=-PT2r2兀r200点P处总的电场为E

41、=E+E22ef=e2r2兀r0Pza2rr(r_28r2Pa2r28r20在ra的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为点P处总的电场为兀r2pPrE=e0=03r2兀8r2800E=E+E=33-兀r2PPrrE=e0=3r2兀r2800(r-r)=c28283.4半径为a的球中充满密度p(r)的体电荷：已知电位移分布为r3+Ar2(ra)其中A为常数，试求电荷密度P(r)0、r2解由D=P，有P(r)-VD-1d(r2D)r2drr故在ra区域p（r）=丄r2（a5+Aa4）=00r2drr2一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电

42、荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E=e（rfa）4，设球内介质为真空。计算:（1）球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。解（1）由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为1d1dr4r3p=VE=(r2E)=(r2)=6s00r2dr0r2dra40a4（2）球体内的总电量Q为Q=Jpcfc=f6s4兀r2dr=4兀sa20a40,T0球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷-Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为o二二色二2s4兀a203.6两个无限长的同轴圆柱半径分别为r=a和r=b（ba），圆柱表面分别带有密度

43、为o和o的面电荷。（1）计算各处的电位移D；（2）12欲使rb区域内D=0，则o和o应具有什么关系？012由高斯定理&D0dS=q，当rVa时，有解（1）aVrVb时，S2兀rD=2兀ao，则021D=e02当bVrVa时，2)令D=e032兀rD二2兀ao+2兀bo0312竺1+竺2二0，则得到r，则D二001ao1rao+boD=e1203rrboa23.7计算在电场强度E=ey+ex的电场中把带电量为-2卩C的xy点电荷从点P(2丄-1)移到点P(8,2,-1)时电场所做的功：(1)沿曲线x=2y2；(2)沿连接该两点的直线。解(1)W=fFdl=qfEdl=qfEdx+Edy=xyCC

44、Cqfydx+xdy=qfyd(2y2)+2y2dy=C1qf6y2dy=14q=28x10-6(J)x6y+4=0连接点p（2丄-1）到点p2（&2，-1）直线方程为y1y2故qfydx+xdy=qfyd(6y-4)+(6y-4)dy二C1qf(12y-4)dy二14q二-28x10-6(J)138长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为P。(1)计算线电荷平分面上任意点的电位Q；(2)利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E二-V核对。解(1)建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为/小L2PdzQ(r,0)=fio4兀wvr2+z

45、2o41n(z+pr2+z2)4兀w0PL2一L2r2+(L2)2+L24Kw0v；r2+(L2)2-L2Pr2+(L2)2+L24ln2兀w0可得两个对称线电荷元Pdz在点P的电场为i0PdznPrdz玲cosnei0dE二edE二errr2兀wr2+z20故长为L的线电荷在点P的电场为f*Lf2PrdzEJdE=eJior2兀w(r2+z2)3200LPei(r2兀wr0Z=)r2+z2ei0r4Kw0r,：r2+(L2)2由E-VQ求E，有r2兀w(r2+z2)320lnL2+Jr2+(Lf2)2-eer4Kw0rJr2+(L2r2吐r，试用定义式03.9已知无限长均匀线电荷p的电场E=

46、ePl申(r)=Tedl求其电位函数。其中r为电位参考点。P解p(r)=Edl=j由于是无限长的线电荷，不能将r选为无穷远点。P3.10一点电荷+q位于(-a,0,0),另一点电荷-2q位于(a,0,0),求空间的零电位面。解两个点电荷+q和-2q在空间产生的电位p1q2qP(x,y,z)=1dr=1Inr2兀r2ksrp亠Inrpr2兀r令申(x,y,z)=0，则有4册o(x+a)2+y2+z2;(x-a)2+y2+z212=0f(x+a)2+y2+z2*：(x-a)2+y2+z24(x+a)2+y2+z2=(x-a)2+y2+z2(x+a)2+y2+z2=(a)2由此可见，零电位面是一个以

47、点(-5a,0,0)为球心、3a为半径的球面。3.11证明习题3.2的电位表达式为p(r)=三(丄+二-三)4兀r2r2r解位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为=ZeD=e-1r4兀r2电子云在原子外产生的电通量密度则为即故得D=e12=-e空2r4兀r2r4兀丫2所以原子外的电场为零。故原子内电位为p(r)=ddr=空()dr=4ksr2r3Ze1r23(+-)4耐r2r2r3.12电场中有一半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为a2p(r)=A(r-一)cosQra、r求圆柱内、外的电场强度；这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之解(1)由E=-Vp，可得到ra

48、时,E=-Vp=-eA(r一)cosQ一e乞A(r一)cosQ=rQrrQrQQr-eA(1+)cosQ+eA(1-)sinQrr2Qr22)该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为3.13（1）（2）（3）（4）（5）=seE|=-2sAcos验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足V23=0其中h2=k2+l2；圆柱坐标；圆柱坐标；球坐标；球坐标。a=snEsin(kx)sin(ly)e-hrncos(n)+Asin(n)r-ncos(n)rcosr-2cos1）在直角坐标系中a23a2m823V23=+ax2ay2az2a2=sin(kx)sin(ly)e-h

49、z=-k2sin(kx)sin(ly)e-hzax2a2=sin(kx)sin(ly)e-hz=-l2sin(kx)sin(ly)e-hz2ia2aya2sin(kx)sin(ly)e-h=h2sin(kx)sin(ly)e-haz2V23=(-k2-l2+h2)sin(kx)sin(ly)e-hz=02）在圆柱坐标系中1aa3a23a23V23=(r)+rararr2a2az2(r)=rrncos(n)+Asin(n)=n2rn-2cos(n)+Asin(神)rararrarar83=-n2rn-2cos(n)+Asin(n)r2a2cos(n)+Asin(n)=0a23a2=r-naz2a

50、z223=0-(r空)=12rr-ncos(n)=n2r-n-2cos(n)rararrarar83=-n2r-n-2cos(n)r2a2a23a2=r-ncos(n)=0az2az223=0(4)在球坐标系中=丄2(r2型)+舟(sing樂)+o人r28r8rr2sin08080r2sin20a2丄乞(r2竺)=丄r22(rcos0)=2cos0r2ararr2ararr5）云注Q9(sin9Q9)1Q291给sin9J?(rcos9)二r2sin9Q9Q91Q(-rsin29)=一2cos9r2sin9Q9rQ2一(rcos9)=02r2sin29Q2r2sin29QV29=0(r2理)=

51、r2(r-2cos9)=cos9r2QrQrr2QrQrr21Q,cQo、1Q.aQ(fi)sin9(r-2cos9)=r2s.n9Q9Q91(-r-2sin29)=-Zcos9r2s.n9Q9r4Q2一(r-2cos9)=02r2sin9旳(Sin1Q291r2sin29Q2r2sin29QV29=0已知y0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解故3.14（1）（2）（3）（4）e-ycoshx；e-ycosx；e-2ycosxsinxsinxsinysinz。Q2Q2Q2解(1)(e-ycoshx)+(e-ycoshx)+(e-ycoshx)=2e-ycoshx丰0Qx2Qy

52、2Qz2所以函数e-ycoshx不是y0空间中的电位的解；(2)Q2Q2Q2(e-ycosx)+(e-ycosx)+(e-ycosx)=-e-ycosx+e-ycosx=0Qx2Qy2Qz2所以函数e-ycosx是y0空间中可能的电位的解；(e-、2ycosxsinx)+-(e2ycosxsinx)+-(e-2ycosxsinx)=Qx2Qy2Qz2-4e-2ycosxsinx+2e-2ycosxsinx丰0所以函数e-2ycosxsinx不是y。空间中的电位的解；Q2Q2Q2(sinxsinysinz)+(sinxsinysinz)+(sinxsinysinz)=Qx2Qy2Qz2-3sin

53、xsinysinz主0所以函数sinxsinysinz不是y0空间中的电位的解。3.15中心位于原点，边长为l的电介质立方体的极化强度矢量为P=P(ex+ey+ez)。(1)计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；(2)0 xyz证明总的束缚电荷为零。3）4）解（1）p二一yp=3PP0a(x=)=nP=ePP2x=L2xLPx_L220LPx_L220同理a(y_)_a(y_上)_a(z_)_a(z_L)_LPP2P2P2P220dS_3PL3+6L2x-P_0p020/L、“a(x_)_nPp2L、LePx_L2xL2）3.16由电荷P，2p2q_fpdP+app一半径为R的介质球，介电常数为

54、o证明中心点的电位为88，r0其内均匀分布自28+1（pr28r解由6DdS=q，可得到SrVR时，0rR0时,故中心点的电位为d_pt，3r4兀R34兀r2D_03pR3D_023r2Di-88r0E=D2809(0)_fEdr+fEdr_丁一dr+f-PRL1238838r2pr388r0PR30-38r20dr=_PRL+PR22868838上（R）R2283803.17一个半径为2的介质球，介电常数为8，球内的极化强度P_eKr，其中K为一常数。（I）计算束缚电荷体密度和面密度；（2）计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。解（1）介质球内的束缚电荷体密度为1d/K、Kp

55、_P_（r2）_pr2drrr2在r_R的球面上，束缚电荷面密度为_Kr_R_R(2)由于D_8E+P，所以0(l8)yd_yp8=Pr=Rr8yD=8ye+yp=oyd+yp08由此可得到介质球内的自由电荷体密度为888Kp_yd_yp_p8888P00(88)r20总的自由电荷量q=Jpdu=*Kf丄4兀r2dr=4兀*RKs-sr2（3）介质球内、外的电场强度分别为Pr(s-s)r0sRK=e-rs(s-s)r200E=es-s0E=eq-r4兀sr2介质球内、外的电位分别为P=fEdZ=fEdr+fEdr=112TOC o 1-5 h zrrRdr=dr+fSRK(s-s)rs(s-s

56、)r2r0R00KRsKIn+(s-s)rs(s-s)000fsRKsRK/厂、P=JEdr=Jdr=(rR)22s(s-s)r2s(s-s)r3.18(1)证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导出束缚电荷密度pp的表达式。解（1）由D=sE+P，得束缚电荷体密度为0p=P=VD+sEP0在介质内没有自由电荷密度时，VD=0，则有p”=s的E由于D=sE，有VD=（sE）=sVE+EVs=0所以EVss故在不均匀电介质由此可见，当电介质不均匀时，V.E可能不为零,中可能存在束缚电荷体密度。（2）束缚电荷密度的表达式为p=sVE=-人E.VsPP0s3.19两种电介

57、质的相对介电常数分别为s=2和s=3,其分界r1r2面为z=0平面。如果已知介质1中的电场的E=e2y-e3x+e（5+z）1xyz那么对于介质2中的E和D，我们可得到什么结果？能否求出介质222中任意点的E和D？22解设在介质2中E(x,y,0)=eE(x,y,0)+eE(x,y,0)+eE(x,y,0)2x2xy2yz2zD=ssE=3sE在z=0处，由ex(E-E)10和(D-D)=0，可得z12z12e2y-e3x=eE(x,y,0)+eE(x,y,0)2xyx2xy2y2x5e=3eE(x,y,0)002z于是得到E(x,y,0)二2y2xE(x,y,0)=-3x2yE(x,y,0)

58、=10/3故得到介质2中的E和D在z=0处的表达式分别为22E(x,y,0)=e2y-e3x+e(103)2xyzD(x,y,0)=s(e6y-e9x+e10)2不能求出介质2中任意点的E和D。由于是非均匀场，介质中22任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。3.20电场中一半径为a、介电常数为s的介质球，已知球内、外的电位函数分别为=-Ercos0+0S-S0a3Es+2s0cos0r209=-0Ercos02s+2s0验证球表面的边界条件，并计算球0表面的束缚电荷密度。解在球表面上s-s9(a,0)=-Eacos0+aaEcos0二0s+2s003s9(a,0)=-0Eacos0s+2s0

59、0=-Ecos0-Ecos0=r=a0s+2s00=-3S0Ecos0r=as+2s000Eacos0s+2s00。91QrQ9Or一Ecos0s+2s00故有9(a,0)=9(a,0)，12s勢|=s|0Qrr=aQrr=a可见91和92满足球表面上的边界条件。球表面的束缚电荷密度为cp3.21=nP=(s-s)eE=-(s-s)0(s叮Ecos02r=a0r20Qrr=as+2s0平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度(0d)用介电常数为s的电介质填充，如题3.21图2所示。(1)板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；(2)若已知板上的自由电荷总量

60、为Q，求此时极板间电压 2 和束缚电荷；0题3.21图00-(S+)d0=eE。z0SE=SE00E=02SUo-(s+s)d0故下极板的自由电荷面密度为上极板的自由电荷面密度为2ssU00-(s+s)d02ssU=sE=00-00(s+s)d0G=sE=下上表面上的束缚电荷面密度为得到故0题3.22图电介质中的极化强度P=(s-s)E=-e2管飞丫。0z(s+s)d0故下表面上的束缚电荷面密度为GeP2s(ss)Up下z(s+s)d02s(ss)UTOC o 1-5 h z=eP=一000-z(s+s)d02)Q2ssUG=0ab(s+s)d0(s+s)dQU=02ssab0G(ss)Qp下