射影几何在中学数学应用

1、关于射影几何在中学数学的应用第一张，PPT共二十九页，创作于2022年6月目录仿 射 变 换交比的应用Desargues透视定理123提纲第二张，PPT共二十九页，创作于2022年6月其中(x, y)与(x, y)为任一对对应点P, P 的坐标, 矩阵满足|A|0, 称为仿射变换的矩阵.仿射变换 明显，椭圆在仿射变换下可变换为圆，平行四边形在仿射变换下可变换为正方形第三张，PPT共二十九页，创作于2022年6月 仿射变换的基本性质: (1)保持直线的平行线； (2)保持同素性和结合性； (3) 保持共线三点的单比, 从而保持两平行线段的比值不变.仿射变换 定理：两个三角形的面积之比是仿射不变量

2、； 推论1：两个多边形的面积之比是仿射不变量； 推论2：两个封闭图形的面积之比是仿射不变量；第四张，PPT共二十九页，创作于2022年6月 椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之比不变（单比不变），从而线段的中点保持不变，面积之比在变换下不变，两直线斜率只比不变，等等； 但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等则发生改变仿射变换第五张，PPT共二十九页，创作于2022年6月仿射变换 例1 在平

3、行四边形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上，且EF/BD,求证：第六张，PPT共二十九页，创作于2022年6月仿射变换 例2 求椭圆的 面积第七张，PPT共二十九页，创作于2022年6月仿射变换 半径为a的圆的内接三角形的面积的最大值是多少呢？ 椭圆的内接四边形面积的最大值是多少呢？一般的，椭圆的内接n边形的面积的最大值多少呢？ 例3 求椭圆 内接ABC的面积的最大值思考一思考二 一般的，椭圆的外切n边形的面积的最小值是多少呢？第八张，PPT共二十九页，创作于2022年6月 椭圆变为圆的变换不是唯一的，并且在这些变换下，椭圆中原有直线变换为直线，原点变换为原点，切线变换为切线，直线与直

4、线之间的关系保持不变（平行直线变换为平行直线，相交直线变换为相交直线），点与线的关系保持不变，同一直线上的两条线段之比不变（单比不变），面积之比在变换下不变，两直线斜率只比不变，等等； 但是直线的倾斜角、斜率，两点间的距离，两直线间的夹角等则发生改变仿射变换第九张，PPT共二十九页，创作于2022年6月仿射变换 例5 设A、B是椭圆长轴的两个端点，C是椭圆的中心，椭圆在其上的一点P处的切线与点A处的切线相交于点Y，则CY/BP第十张，PPT共二十九页，创作于2022年6月仿射变换 例4 求证：椭圆的任意一组平行弦的中点的轨迹是一条经过中心的线段，并且在这线段的两个端点处的切线平行于这些弦第十一

5、张，PPT共二十九页，创作于2022年6月仿射变换 例6 （2009年辽宁卷数学理第20题） 已知椭圆的方程为 ，点A的坐标为（1,3/2），右焦点为F，设M、N是椭圆上的两个动点，如果直线AM的斜率与AN 的斜率互为相反数，证明直线MN的斜率为定值，并求出这个定值第十二张，PPT共二十九页，创作于2022年6月仿射变换第十三张，PPT共二十九页，创作于2022年6月目录仿 射 变 换交比的应用Desargues透视定理123提纲第十四张，PPT共二十九页，创作于2022年6月交比的初等几何意义 注：如果P4=P, 而P1, P2, P3为通常点, 则可合理地规定：于是有, (P1P2,P3P

6、)= (P1P2P3)为前三个通常点的简单比.交 比第十五张，PPT共二十九页，创作于2022年6月 定理1 平面上五点(其中无三点共线)唯一确定一条非退化二阶曲线。 定理2 二阶曲线上四个定点与其上任意一点连线所得四直线的交比为定值。 注：定理2对于解析几何中的各种二次曲线都适用。二次曲线的射影定义第十六张，PPT共二十九页，创作于2022年6月 例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF，连结EF, CD交AB于G, H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)交 比第十七张，PPT共二十九页，创作于2022年6月交 比 如图：AD平分BC于点O，即OB=OD，过O的两条直线EF和GH，与四

7、边交于E、F、G、H，连接GF和EH，分别交BD于点I、J则有OI=OJ 椭圆的长轴与x轴平行，短轴在y轴上，中心在y轴的正半轴上,过原点的两条直线分别交椭圆于点,D和点,设CH交X轴于点P，GD交X轴于点Q,则有OP=OQ 第十八张，PPT共二十九页，创作于2022年6月 例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF，连结EF, CD交AB于G, H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理)交 比第十九张，PPT共二十九页，创作于2022年6月 例7 过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE, DF，连结EF, CD交AB于G, H。求证：GO=OH。(蝴蝶定理) 证明 因为A, F, C, B为圆

8、上四定点, 则由二次曲线的定义，有以直线AB截这两个线束，得由交比的初等几何表示式，有所以同理可证，GO=OH.交 比第二十张，PPT共二十九页，创作于2022年6月调和比是最重要的交比！对于(P1P2,P3P4 )= 1,则称点组 为调和点组此时, 若P4=P, 而P1, P2, P3为通常点, 则这表示P3为P1P2的中点. 定理 设P1, P2, P为共线的通常点，P为此直线上的无穷远点，则P为P1P2的中点交 比利用初等几何意义, 有第二十一张，PPT共二十九页，创作于2022年6月 定理 在完全四点形的每条边上有一个调和点组，其中一对为顶点，另一对中一个为对边点，一个为该边与对边三点

9、形的边的交点。比如在边AB上，有完全四点形的调和性比如在边CD上，有考察完全四点形ABCD第二十二张，PPT共二十九页，创作于2022年6月 例8 证明：梯形两腰延长线的交点与对角线的交点连线平分上下底。几何证明题 证明 如图， ABCD为梯形，AD/BC, E, F分别为两腰和对角线的交点。 EF交AD, BC于P, Q。只要证明P, Q分别是AD, BC的中点。 考察完全四点形ABCD。设ADBC=G， 由上述定理，有 (BC, QG) = 1，从而得出Q为BC的中点。 同理有，(AD, PG)= 1，所以P为AD的中点。完全四点形的调和性第二十三张，PPT共二十九页，创作于2022年6月

10、目录仿 射 变 换交比的应用Desargues透视定理123提纲第二十四张，PPT共二十九页，创作于2022年6月2、Desargues透视定理Desargues透视定理 迪沙格定理 如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点共线。 注:Desargues定理与其逆定理实际是一对对偶命题. 迪沙格定理的逆定理 如果两个三线形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线交于一点。第二十五张，PPT共二十九页，创作于2022年6月作图题 例9. 已知平面上二直线a, b, P为不在a, b上的一点. 不定出a, b的交点ab, 过P求作直线c, 使c经过ab.作法： (1) 在a, b外取异于P的一点O.过O作三直线l1, l2, l3.设l1, l2, 分别交a, b于A1, A2; B1, B2. (2) 连PA1, PB1分别交l3于A3, B3. (3) 连A2A3, B2B3交于Q. (4) PQ=c为所求直线. 证明：由作法, 三点形A1A2A3, B1B2B3有透视中心O. 故其对应边的交点P=A1A3B1B3, Q=A2A3B2B3以及ab三点共线, 即c=PQ经过ab.Desargues透视定理第二十六张，PPT共二十九页，创作于202