2015年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析剖析

1、 2015年北京市高考数学试卷（理科）,-8）-2iA.2+T5B.4+T5C.2+2T5D.5参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）TOC o 1-5 h z（5分）（2015北京）复数i（2-i）=（）A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-y0,则a2+a30B.若a1+a30,则若a1+a20,C.若若0a1a2，则a2；D.若a10（5分）（2015北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB,则不等式f（x）log2（x+1）的解集是（A.xl-1x0B.xl-1x1C.xl-1x1D.xl-1x0）的一条渐近线为，Kx+y=0,则a=_.且JII（5分）（20

2、15北京）在极坐标系中，点（2，）到直线p（cosB+T亏sinB）=6的距离为ciTOC o 1-5 h z（5分）（2015北京）在厶ABC中，a=4，b=5，c=6，贝=.smC（5分）（2015北京）在厶ABC中，点M,N满足AM=2MC,EN=NC，若MN=xAB+yAC,贝9x=_，y=.fok_xl若a=1，则f（x）的最小值为；若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围.三、解答题（共6小题，共80分）（13分）（2015北京）已知函数f（x）=12sincos-i龙sin（I）求f（x）的最小正周期；（II）求f（x）在区间-n，0上的最小值.16.（13分）（2015北京）

3、A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A组：10,11，12，13，14，15，16B组；12,13,15,16,17,14,a假设所有病人的康复时间相互独立，从A,B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.（I）求甲的康复时间不少于14天的概率；（II）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（III）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17.（14分）（2015北京）如图，在四棱锥A-EFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF丄平面EFCB，EFBC,BC=4，EF=2a，ZEBC=ZFCB=6

4、0，O为EF的中点.（I）求证：AO丄BE.（II）求二面角F-AE-B的余弦值；（III）若BE丄平面AOC，求a的值.1+18.（13分）（2015北京）已知函数f（x）=ln1-x(I)求曲线y=f（X）在点（0,f（0）处的切线方程;(II)3求证，当xG（0，1）时，f（x）3(III)设实数k使得f（x）对xG（0，1）恒成立，求k的最大值.19.（14分）（2015北京）已知椭圆C：岂+乙=1（ab0）的离心率烷点P（0，1）/b22和点A（m，n）（mH0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.（I）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m,n表示）；（II）设O为原点，点B与点A关

5、于x轴对称，直线PB交x轴于点N,问：y轴上是否存在点Q，使得ZOQM=ZONQ?若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由.20.(13分)(2015北京)已知数列an满足:aGN*,a136,且an+1=2anJ2an_36,归18(n=1,2,),记集合M=anGN*.若a1=6，写出集合M的所有元素；如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数;求集合M的元素个数的最大值.答案:1、解：原式=2i-i2=2i-(-1)=1+2i；故选：A.-y3,s=-2,i=2,x=-2,y=2,k=2不满足条件k3,s=-4,i=0,x=-4,y=0,k=3满足条件k3,退出循环，

6、输出（-4,0）,故选：B.4、解：mua,mB得不到aB，因为a,B可能相交，只要m和a,B的交线平行即可得到mB；aB，mua,m和B没有公共点，：mB，即aB能得到mB；故选B.5、解：根据三视图可判断直观图为：0A丄面ABC,AC=AB,E为BC中点,mB”是aB”的必要不充分条件.EA=2,EC=EB=1,OA=1,可得AE丄BC,BC丄OA,_运用直线平面的垂直得出：BC丄面AEO,AC=1豆OE=15:Sabc=沈2x2=2,5oac=saoab=*況:x1=bco=X2x5=.：5.故该三棱锥的表面积是2+2T豆故选：C.6、解：若a1+a20,则2a1+d0,a2+a3=2a

7、1+3d2d,d0时，结论成立，即A不正确;若a1+a20,则2a+dV0,a2+a3=2a1+3d2d,dVO时，结论成立，即B不正确；an是等差数列，0aa2,即C正确;若a10,贝9(a2-a1)(a2-a3)=-d2log2(x+1)的x范围是-1xlog2(x+1)的解集是xl-1x1；故选C.8、解：对于选项A,消耗1升汽油，乙车行驶的距离比5小的很多，故A错误；对于选项B,以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C,甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D,因为在速度低于80千米/小时

8、，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确.9、解：(2+x)5的展开式的通项公式为：Tr+1=c/5-xr,所求x3的系数为:屈2乙40.10、故答案为：40.2解：双曲线兰5-y2=1的渐近线方程为y=2由题意可得丄=13，a解得a=I故答案为：导.解：点P(2，辛)化为P3).直线p(COS0+方sinB)=6化为藍+冋-6=0.11+3-6|点P到直线的距离d=1.&+布)2故答案为：1.解：ABC中，a=4，b=5,c=6，.16+25-36125+36-163TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark26 o Current Document .cosC=,

9、cosA=2X4X582X5X64sinC=,sinA=, HYPERLINK l bookmark28 o Current Document 84.2x2Tx7.A44813、故答案为：1.解：由已知得到MN=MC+CM*過曲*證(应-疋)=AB-|a6由平面向量基本定理，得到x=,y=-g；故答案为：CI-14、解：当a=1时,f(X)pK-l,xl4(z-1)(z-2)当x-1,当x1时，f(x)=4(x-1)(x-2)=4(x2-3x+2)=4(x-)2-1,2当1x函数单调递减，当函数单调递增,故当x=|时，f(x)min=f(弓)=-】，设h(x)=2x-a，g(x)=4(x-a)

10、(x-2a)若在x0，并且当x=1时，h(1)=2-a0，所以0a1，且a1,所以ga1,Ci若函数h(x)=2x-a在x1时，与x轴没有交点，则函数g(x)=4(x-a)(x-2a)有两个交点，当a0时，h(x)与x轴无交点，g(x)无交点，所以不满足题意(舍去)，当h(1)=2-a2时，g(x)的两个交点为x1=a,x2=2a，都是满足题意的,综上所述a的取值范围是令a2.C15、解：(I)f(x)=sin寺吨-卫血(1-COSX)V2V2sinx-22=sinxcos+cosxsin-442=sin(x+-)则f(x)的最小正周期为2n；(II)由-nx18 7T兀Wx+,444RTTT

11、E则当x=-时，sin(x+)取得最小值-1,44则有f(x)在区间-n,0上的最小值为-1-16、解：设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人，由题意可知P(A：)=P(B，i=1，2，7ii7事件“甲的康复时间不少于14天等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人甲的康复时间不少于14天的概率p(a5ua6ua7)=p(a5)+p(a6)+p(a7)3=7；设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长，则c=a4b1ua5b1ua6b1ua7b1ua5b2ua6b2ua7b2ua7b3ua6b6ua7b6，P(C)=p(a4b1)+p(a5b1)+p(a6b1)p+(a7

12、b1)+p(a5b2)+p(a6b2)+p(a7b2)+p(a7b3)+p(a6b6)+p(a7b6)=10P(A4B)=10P(A4)P(B)=414149(III)当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等.17、证明：(【AEF为等边三角形，O为EF的中点，AO丄EF，平面AEF丄平面EFCB，AOu平面AEF，AO丄平面EFCBAO丄BE.(II)取BC的中点G,连接OG,EFCB是等腰梯形，OG丄EF,由(I)知AO丄平面EFCB,OGu平面EFCB,OA丄OG,建立如图的空间坐标系，_则OE=a,BG=2,GH=a,BH=2-a,EH=BHtan60=.:则E(a,0,0

13、),A(0,0,Ma),B(2,血匹一&),0),EA=(-a,0,Ja),BE=(a-2,-(戈,0),设平面AEB的法向量为门=(x,y,z),fn-EA=Oln-BE=0-ax+-/3az=0(a-2)蓝+鹿2)y=0令z=1,则x=13,y=-1,即门=03,-1,1),平面AEF的法向量为（0,1,0）,TOC o 1-5 h z则cos=-|m|n|5即二面角F-AE-B的余弦值为戈；5(III)若BE丄平面AOC,贝yBE丄OC,即祝0C=0,VBE=(a-2,-(2R,0),农=(-2,価(2-a),0),BE0C=-2(a-2)-3(a-2)2=0,解得a=.18、解答：(1

14、)因为f(x)=ln(l+x)-ln(1-x)所以f；(x)=v-+t-F(0)=21+x1_X又因为f(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=2x.3证明：令g(x)=f(x)-2(x+),贝9o2x4g(x)=f(x)-2(1+x2)=1-X2因为g(x)0(0VxV1),所以g(x)在区间(0,1)上单调递增.所以g(x)g(0)=0,xG(0,1),3即当xG(0,1)时，f(x)2(x+).3由(2)知，当k对xG(0,1)恒成立.3当k2时，令h(x)=f(x)-,贝9kx4-(k-2)h(x)=f(x)-k(1+x2)=一1-x2所以当0 x2时，f(

15、x)并非对xG(0,1)恒成立.19、综上所知，k的最大值为2.b=lcV2解:(I)由题意得出=_9_a2=b2+c解得：a=12,b=1,c=1VP(0,1)和点A(m,n),-1n1n1/.PA的方程为：y-1=x,y=0|-t_LITl时，xM=T刁mAM(,0)1-n(II)V点B与点A关于x轴对称,点A(m,n)(mHO)A点B(m,-n)(mH0)V直线PB交x轴于点N,N(斗,0),V存在点Q，使得ZOQM=ZONQ,Q(0,yQ),tanZOQM=tanZONQ,学严，即丫2.,+n2=1XMyQZ20、2V2-2yQ=2，Vq-故V轴上存在点Q，使得ZOQM-ZONQ,2anJ2an_36,解:(I)若a1=6，由于an+1=Q(0,卫)或Q(0,-1)an18故集合M的所有元素为6,12,an+1=(n=1,2,)，可归纳证明对任意nk,an是3的倍数.(II)因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由2anJ2a_36,如果k=l,M的所有元素都是3的倍数；如果k1,因为ak=2ak_,或ak=2ak_-36，所以2ak是3的倍数；于是ak-1是3的倍数；类似可得，ak_2,，幻都是3的倍数；从而对任意n1，an是3的倍数；综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元