《数值分析》第二章答案

1、- - -习题21.分析下列方程各存在几个根，并找出每个根的含根区间x+cosx二0；3x一cosx二0;sinx-e-x=0;x2e-x=0。TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 解：(1)x+cosx=0(A)f(x)=x+cosx，f(x)=1sinx0，xe(g,g)f(0)=0+cos0=1,f(1)=1+cos(1)=1+cos10，xe(g,g)时f(0)=3x0co0=10方程(B)有唯一根x*e0,1 HYPERLINK l bookmark4 sinxex=0(C)sinx=ex1(x)=sinx,2(x)=ex方程(C)有无穷个正根，无负

2、根在2k兀,2k兀+上内有一根x(k),21且limx1(k)kTg且limx(k)(2k+1)兀=0kTg在2k兀+,2k兀+兀内有一根x(k)，(示图如下)22k=0,1,2,3(2)若在0,2上用二分法求根，要使精确度达到6位有效数，需二分几次？解：x2一x一1=01)f(x)=x2一x一1=0f(1)=-1,f(1.5)=-0.250,f(2)=1*1+运x*g1.5,2,x*=1.6180342- -1.5(一)1.75(+)2(+)1.5(一)1.625(+)1.75(+)1.5(一)1.5625(+)1.625(+)1.5625(一)1.5937(5一)1.625(+)(1.62

3、5一1.5625=0.03125105k-15ln10ln2=16.602k2.只要2等分18次3.为求x3-5x-3=0的正根，试构造3种简单迭代格式，判断它们是否收敛，且选择一种较快的迭代格式求出具有3位有效数的近似根。解：f(x)=x3一5x一3=x(x2一5)一3TOC o 1-5 h zf(x)=3x2一5=3(x2)3当x|!-时，广(x)J5时广(x)0A133；5：5510：5/()=(5)一3=一一30，f(0)=-3(x3-3)，91(x)=1-(x3-3)(I)5k12申1=15x=3x25xk+11(x3-3),5.迭代格式(I)发散xk+1=V5xk+3，(II)92

4、(x)=V5x+3，(,2申(x)=(5x+3)233(5X+3)25133W=当xe2,3时92(x)3V(5x2+3)2当xe2,3时*2(x)e2(2),92(3)=3;5x2+3,3；5x3+3=3;13,318u2,3迭代格式(II)对任意xe2,3均收敛0(III)- -3，xi2.48998，x2=2.49095，x厂2.490863x15+x:3x一-+5构造迭代格式k+1+xk5x+33)x2=5x,3b3(x)二+5，3x3(x)=-(3+5)212(-3)x.3:+5rx当xe2,3时b3(x)113x2込x*q2.494.用简单迭代格式求方程x3-x-0.2=0的所有实

5、根，精确至有3位有效数。解：f(x)=x3一x一0.2=x(x2一1)一0.2f(x)=3x2-1=3(x2-)当xe2,3时b3(x)eb3(3),b3(2)二*6,y65u2,3迭代格式(III)对任意x0e2,3均收敛4)maxb2x32(x)l=b2(2)l=1二0.3014533169max2x3minP2匸,32尸23min4x.6.5,9*6二0.0680取格式(III)xk+1x0=25，x- -吉时f(x)002248*1*1x*G-1,-，x2G,0,*x*G1,213223f(J)=-7x-0.20当xG一,0时，b(x)|，241b(x)Gb(),b(0)211一一0.

6、2,0.2一,082任取xG-1,0迭代格式收敛于x*022取x=-0.25得x=-0.215625,x=-0.210025,x=-0.2092640123x=0.209164x*-0.209422)x3=x+0.2,X=3X+0.2- -迭代格式xk+1=xk+0.21一9(x)=3x+0.2,9(x)=(x+0.2)3=33(x+0.2)23当XG1,2时9(X)(1),9(2)1133；(1+0.2)23任意X1,2迭代格式收敛于0*x*3=1-5计算得X1=1-19348x2=1.11695，x3=1.09612，x4=1.09031=1.08867，1.08821x3二1-093)X

7、20.20.2X=1+X迭代格式X0.2-1+一(III)Xk:0.21+IX9(X)=一1(1+0.221)2(-0.2)xX一20.1X2,1+X当X-1,-1时- -9(x)(1),()=-10.2,-*1-02、33=-0.8944,-0.8084u-1,丄g(x)=x21+02,xgr(x)=2x：1+叱+xx2丄(1+0.2)-2(-0.2)x-22x=(1：1+2)-12x(1x0.2+)-0.1x0.2-丄0.2-=(1+)2(2x+0.4-0.1)=(2x+0.3)(1+)2xx当x-1,-时，g(x)0J3g(-丄)二11-0.23=&33当x-1,-时9(x)010.3=

8、0.3711g()x10.2x：3迭代格式(III)对任意x0-1,-丄均收敛于x*，取x0=-08,计算得x1=-0.866025,x2=-0.876961,x3-0.878601x4=-0.878843,x1*=-0.8795.已知x=9(x)在区间a,b内有且只有一个根，而当axb时，(1)试问如何将x=9(x)化为适用于迭代的形式?将x=tanx化为适用于迭代的形式，并求x二4.5(弧度)附近的根。解：(1)由空二丄dxDxdydx将xr(x)改写为x1(x)，则此空二d9(x)dx当xGa,b时，dx11，这时迭代格式为kXk+1=厂1(Xk)，k=0,1,2,是局部收敛的。申，(x

9、)二1+X2兀3兀22兀3兀22时且9(X)G当xGb(x)|1迭代格式Y=arctanxY=兀+arctanxxk+1=+arct叭，k二丄2，- -对任意x0e-，匹均收敛22取x=4.5得x=4.49372，x=4.49342，x=4.4934100123具有5位有效数的根为x*4.49346.设(1)方程f(x)=0有根x*;(2)对一切xeR,f(x)存在且0Vmf(x)M。证明对于任意的九e(0,2.；M)，迭代格式x=x一九f(x)(k=0,1,2,)k+1kk是局部收敛的。解：0mf(x)Mx=x一九f(x)k+1kk7Q(x)=x一九f(x)A(x)=1-九f(x)Q(x*)

10、=1-九f(x*)当九e(0,2)时1九MQ(x*)1九m，Q(x*)1(9(x*)f(x*),22f，(x*)3广忆k)(x*x)346kf(xk)kx*xk丄f(x*)f(x*)1f(x*)(x*x)32f(x*)f(x*)6f(x*)ka11.应用Newton法分别导出求方程f(x)二xna二0和f(x)=1一二0的xn根na的迭代格式，并求lim(nax)；(nJax)2。k+11kkta解：1)解方程f(x)=0的Newton迭代格式xk+1=xkf(xk)八xk)f(x)f，(x)八x)2f(x)八x)二f(x)八x)f(x)2f(x)2lim申(x)=0*xtx9(x)=f(x)

11、+f(x)f(x)f(x)f(x)lim9(x)二*xtxf(x*)f(x*)*x*xlimkta(x*x)2k*x*- -nxn一1一1，2)f(x)=xn一a，f(x)=nxn_1，f(x)=n(n-1)xn_2，f(x)n(n一1)xn一2n一1f(x)nxn一1xNewton迭代格式x二xk+1k叫一1xkn一a一1xn一a1a=x一k=(1一)x+x1-nknxn一1nknkklimkta町a一xk+1n一11一n：a2-naa3)f(x)=1，f(x)二anx一(n+1)，f(x)二一an(n+1)x一(n+2)xnaxn+1,an1TOC o 1-5 h z HYPERLINK

12、l bookmark18 f(x)二xnf(x)anx一(n+1)f(x)一an(n+1)x一(n+2)n+1f(x)anx-(n+1)xNewton迭代格式xk+1=xkf(xk)八xk)xn+1kan一nxk二(1+n)xkxn+1kan对axf(x*)n+1limk+1=-J=kT8(n：ax)22f(x*)2-nak12.试写出求方程1c二0(其中c为已知正常数)的Newton迭代格式，并证明当初值x0满足0 x0 x22时迭代格式收敛。该迭代格式中是否含有除法运c算？解：记f(x)=c-丄，则求1等价于求方程f(x)=0的根.xcf(x2a八x)=x3Newton迭代格式为xk+1=

13、xkf(xk)八xk)xkx严（2一cxk）k=0,1,2,对任意x0e2(0,)，cx01oxk2存在充分小的6（6-）,6,2-6现在考虑区间a,b=611f(a)=f(5)=c=(c5-1)02一c52o当xea,b时f(x)03o当xea,b时f(x)0f(5)24o5-5(2c5)02c5(2c5)2c55(2c5)5f(a)f(b)5c因而当x0e(0,2)时,cNewton迭代格式收敛。直接证明x(2-cx)kk1-CXk二1-CXk(2-CXk)=(I-CXk)2l-cxk=(I-cxk-1)2=(1-cx0)2klimxkktalim(1ktacxk)=0olim(1-cx0

14、)2kktao1-cx02e(0,)算至c18.用劈因子法解方程x3-3x2-x+9=0(取w(x)=x2-4x+6,0r0.005,r0.005)01解：f(x)=x3-3x2-x+9取-0(x)=x2-4x+61+11-4+6；1-3-1+91-4+61-7+914+6-3+35Au+Av=-3Au=-0.545455-6Au+Av=3Av=-0.272727于是得到w(x)=w(x)+Aux+Av=x2-4.54546x+5.727271、0、.6.09092Au+Av=0.29756.-5.72727Au+1.54546Av=0.14873Au=0.0205500，Av=0.172392w2(x)=x2-4.5249x1+5.899662f(x)=o2(x)(x+1.5249)1+0.0004X+0.00355- -2(x)(x+1.52491)x二2.26246土0.883718i1,2x=-1.52491319.用适当的迭代法求下列方程组的根，精确至4位有效数