不定积分解题方法及技巧总结

1、f不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。利用基本公式。(这就不多说了)第一类换元法。(凑微分)设f(u)具有原函数F(u)o则ffp(x)(x)dx=ffp(x)dp(x)=Fp(x)+C其中p(x)可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导

2、数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：fln(+Fdx【解】(ln(x+1)-lnx)二1-1_1x+1xx(x+1)x(x+1)例2：f1+lnxdx(xlnx)2TOC o 1-5 h zfln(x+1_lndx-f(ln(x+1)一lnx)d(ln(x+1)一lnx)=-1(ln(x+1)一lnx)2+Cx(x+1)2【解】(xlnx)=1+lnx1+lnxdxlnx1Jdx=J二一+Cx(x+1)2(xlnx)2xlnx第二类换元法：设x=p(t)是单调、可导的函数，并且p(

3、t)丰0.又设fp(t)p(t)具有原函数,则有换元公式ff(x)dx=ffp(t加(t)dt第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：、a2一x2：x=asint；x=acost：x2+a2：x=atant；x=acott；x=asht：x2一a2：x=asect；x=acsct；x=acht(4)n；ax+b：ax+b=t(6)当被积函数含有x-max2+bx+c,有时倒代换x=1也奏效。t(7)当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。Jsin：xdxt=vx2.tsintdt=一2(tcost一Jcostdt)=_2tcost+2sint

4、+C=2.xcosx+2sin、x+C但当根号内出现高次幂时可能保留根号，一丄t2丿J竺x=1JtX*X12-1tj1dt=t1-t121J1dt66：1-t121.-arcsinx-6+c61丘-1Jdt1一t12t5(7)当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。Jsin.xdxt=vx2jtsintdt=一2(tcost一Jcostdt)=-2tcost+2sint+C=-2：xcos、：x+2sinx+C但当根号内出现高次幂时可能保留根号，x=1JtXI：X12-1tdx-J扌.dtt七1-t12-1J1一dt661-t12-iarcsinx-6+c6t6-1-J丄v1-t12dt

5、分部积分法.公式：JMdv=yv-Jpdv分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取卩、V时，通常基于以下两点考虑:（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧！Jx3arccosx.1x2【解】观察被积函数，选取变换t=arccosx，则cos3tdx=Jt(-sint)dt=J-1cos3tdt=sintJt(sin2t-1)dsint=Jtd(1sinst-sint)=11tsin3一tsint-J(_sin31一sint)dt=TOC o 1-5 h z33tsin3-1sint+Jd-sin21-1)dcost=33121t

6、sm3-1sint-cost-cos31+C=339121一一x3-x-(x2+2).1-x2arccosx+C933例4：Jarcsin2xdx【解】Jarcsin2xdx=xsin2x-Jx2arcsinx=dx1x2xarcsinx+J2arcsinxd1-x2=xarcsinx+2.1-x2arcsinx-J1-x2-.1x2xarcsinx+2.1-x2arcsinx-2x+C上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在Jpdv=v-Jpdv中，卩、v的选取有下面简单的规律：P=P(x)，v=eax,sinax,cosa

7、xm卩=lnx,arctanx,arcsinx，v=P(x)m卩=eax，v=cosPx,sinPx(3)会出现循环，注意卩，v选取的函数不能改变。将以上规律化成一个图就是：(lnxarcsinx)Pm(x)(aAxsinx)VV但是，当卩=Inx,v=arcsinx时，是无法求解的。对于(3)情况，有两个通用公式：eaxI=Jeaxsinbx-dx=(asinbx-bcosbx)+Ca2+b2eaxeaxI=Jeaxcosbx-dx=(acosbx+bsinbx)+Ca2+b2(分部积分法用处多多在本册杂志的涉及lnx的不定积分中，常可以看到分部积分)5不定积分中三角函数的处理分子分母上下同

8、时加、减、乘、除某三角函数。被积函数Jdx上下同乘sinx变形为sin2x+cos2xJ1dxJ(cosxd$osx)、sinx+cosx一cos2x1+cosx令u=cosx，则为2-du+u4“u-J(uT)訂(1U2“+u29+u/1、1n1+cosxTOC o 1-5 h z(4ln2+cosx41cosxx1xIntan2sec2+c242只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意sin2x+cos2x二1的使用。Jsinxcosx门乂sinx+cosxJ(sinx+cosx-1dx2sinx+cosxdxsinxcosxsin(x+兀/4)_1r（x兀）lntan+2J2128

9、丿+c(sinxcosx)2三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。3.函数的降次形如Jsinmxcosnxdx的积分（m，n为非负整数）当m为奇数时，可令u二cosx，于是Jsinmxcosnxdxsinm1xcosnxdcosxu2卜undu，转化为多项式的积分当n为奇数时，可令u二sinx，于是JsinmxcosnxdxJsinmxcosn1xdsinxJum同样转化为多项式的积分。当m，n均为偶数时，可反复利用下列三角公式sinxcosx=isin2x,2sin2x1cos2x2cos2x1+cos2x不断

10、降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。形如Jtannxdx和Jcotnxdx的积分（n为正整数）令u二tanxdx，贝=arctanu,dx二du1+U2，从而Jtannxdxun1+U2du,已转化成有理函数的积分。类似地，Jcotnxdx可通过代换u=cotX转为成有理函数的积分。形如Jsecnxdxcscmxdx的积分(n为正整数)当n为偶数时，若令u=tanx，du=arctanu,dx=1+u2于是Jsecnxdx+tan2x)1d+u2du1+u2+u2)-1du已转化成多项式的积分。类似地，Jcscnxdx可通过代换u=cotX转化成有理函数的积分。当n为奇数时，利用分

11、部积分法来求即可。4当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。1X2-1Jxd(in2x)=1x2-1xx一xsin2x+1Jsin2xdx44444112x12xX2-xsin一cos+c448Jxsin2xdx=Jx-Fx=1x2-2Jxcos2xdx5.几种特殊类型函数的积分。(1)有理函数的积分有理函数竺先化为多项式和真分式竺之和，再把P*x)分解为若干Q(x)Q(x)Q(x)个部分分式之和。(对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现I=J竺一n(a2+X2)n时，记得用递推公式：I=X+2n-3I)n2a2(n一1)(x2+a2)n-12a2(n一1)n-11.有理真分式化为部分分

12、式之和求解简单的有理真分式的拆分J(1)dx=ff丄一亠仏x1+X4丿(x1+X4丿=ln|x-ln1+X44注意分子和分母在形式上的联系dt=旦-1爲+t)+c3x3+X7-3+t丿-ln3+X7)+c3此类题目一般还有另外一种题型Jdx二1Jx2+2x+52二1ln(2+2x+5)+c22x+2dxx2+2x+52.注意分母(分子)有理化的使用Jdx_JJ2x+3-J2x一1J2x+3+v/2x-1dxx6+x4-4x2-2dxx3(x2+1)2解】x6+x4-4x2-2x6+x44x2+2x4x2+2x3(x2+1)2x3(x2+1)2x3(x2+1)2x2+1x3(x2+1)2dx=l

13、n(x2+1)+Cx2+124x2+2x3(x2+1)2dx=4x2+2x4(x2+1)2xdx=2x2+1x4(x2+1)2J2+1dJ(卩+1)2一卩2dp=卩2(p+1)2p2(p+1)2J1-1p=1-1+=-1+p2(p+1)2p+1px2(x2+1)故不定积分求得。2)三角函数有理式的积分2tan.2smx=x万能公式：1+tan22x1-tan22cosx=x1+tan2-2IPnX，C0SX)dx可用变换t=tan-化为有理函数的积分，但由于计算较烦,Q(sinx,cosx)2应尽量避免。对于只含有tanx(或cotx)的分式，必化成Si叮或C0S。再用待定系数cosxsinx

14、A(acosx+smx)+B(acosx+smx)来做。(注：没举例题并不代表不重要)acosx+bsinx(3)简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现和匚I时，可令x=tan21；同时出现ux和x时，可令x=sin21；同时出现：1-x2和arcsinx时，可令x=sint；同时出现1-x2和arccosx时，可令x=cost等等。善于利用ex，因为其求导后不变。I(x+1)dx=Ie+l)dx=J,)d(ex)x1+xexexx1+xexxex1+xex丿+ct=xexxex=ln+c1+xex这道题目中首先会注意到xex，因为其形式比

15、较复杂。但是可以发现其求导后为ex+xex与分母差ex，另外因为ex求导后不变，所以容易想到分子分母同乘以ex。某些题正的不行倒着来3lnsinx1u2lnuJdxsinx=J-sin2xu：1-u2JUlnU-duU2-1=Jlnud；U2-1v;U2-1lnu-JW2-1duuJ2-1duu=secyJtany-secy-tanydysecyu=Jtan2ydy=tany-y+c原式=-JsinxdOotx)=-cotxlnsinx+JcotxdGnsinx)-cotlnsin-cotlnsinJcosxcosxdxsinxsinxJcot2xdx-cotlnsincotx-x+csinx，这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用u二sinx，然而这样的换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”，当u二sinx这类一般的换元法行不通时尝试下丄=sinx。这种思路类似于证明u题中的反证法。（6）注意复杂部分求导后的导数JT%+2）dxt二lnxJ_dtxlnx1一2xln2xt一2t2et丿注意到:1-6t2et-2t3e