3.4生活中的优化问题举例

1、3.4 生活中的优化问题举例练习：函数 y = x + 3 x9x在 4 , 4 上的最大值为 ,最小值为 .分析: (1) 由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 区间4 , 4 端点处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76得x1=3，x2=1 函数值为f (3)=27, f (1)=576-5当x变化时，y 、 y的变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y+0-0+0y2027-576比较以上各函数值，得函数在4 , 4 上的最大值为 f (4) =76，最小值为 f (1)=5复习旧知你是否注意到：市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵

2、些?你想从数学上知道它的道理吗?是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?问题引入 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，通过前面的学习，知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子制造成本是0.8r2分.其中r是瓶子的半径,单位是厘米.已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm.（）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？知识背景问题1: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?问题探究（一）解：

3、由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为：令 当r2时，f(r)0,它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；因此,当r2时，f(r)0,它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低。（1）半径为2时，利润最小。这时f(2)0由V=R2h,答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.因此, 是函数 的极小值点,也是最小值点.此时 2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值.说明1、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义优化问题用函数表示数学问题用导数解决

4、数学问题优化问题的答案建立数学模型解决数学模型作答利用导数解决优化问题的基本思路：解题思路的总结 练习2 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解：设版心的高为xcm,则宽为此时四周空白面积为：练习巩固因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。 所以，当版心高为16dm,宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm,宽为8dm时，海报四周空白面积最小。求导数，有解得，x=16 (x=-16舍去）练习3:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?xh解: 设箱底边长为 x,则箱高为箱子容积由解得 x1=0 (舍), x2=40.练习巩固xh解: 设箱底边长为 x,箱子容积为由解得 x1=0 (舍), x2=40.当x(0,40)时,V(x)0;当x(40,60)时,V(x)0.函数V (x)在x=40处取得极大值,这个极大值就是函数V (x)的最大值.答 :当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大, 最大值为16000cm3优化问题用函数表示数学问题