【课件】1.4空间向量的应用 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教Ａ版(2019)选择性必修第一册

1、1.4空间向量的应用第一章空间向量与立体几何目录二、知识讲解三、小结四、练习一、上节回溯五、本章知识结构一、上节回溯空间向量及其运算的坐标表示空间直角坐标系空间中点的坐标表示空间两点间的距离表示空间向量的坐标表示空间向量运算的坐标表示数乘运算加减运算数量积运算1空间中点、直线和平面的向量表示二、知识讲解如何用向量表示空间中的一个点？思考PpO二、知识讲解我们知道，空间中给定一个点 A 和一个方向就能唯一确定一条直线 l如何用向量表示直线 l ？思考a APB l 1空间中点、直线和平面的向量表示二、知识讲解你能证明这个结论吗？a APB l O1空间中点、直线和平面的向量表示二、知识讲解一个定

2、点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？思考PbOa1空间中点、直线和平面的向量表示二、知识讲解BPpOACab1空间中点、直线和平面的向量表示二、知识讲解PlAa如果另有一条直线m，在直线 m 上任取向量 b，b 与 a 有什么关系？1空间中点、直线和平面的向量表示二、知识讲解例1如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB4，BC3，CC12，M 是 AB 的中点以 D 为原点，DA，DC， DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系（1）求平面 BCC1B1 的法向量；（

3、2）求平面 MCA1 的法向量zxyAA1BB1CC1D1DM1空间中点、直线和平面的向量表示二、知识讲解zxyAA1BB1CC1D1DM二、知识讲解由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？思考l1u2l2u12空间中直线、平面的平行二、知识讲解n2n1lnu2空间中直线、平面的平行二、知识讲解nPvuab2空间中直线、平面的平行二、知识讲解zxyAA1BB1CC1D1DP2空间中直线、平面的平行二、知识讲解类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？

4、思考一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直3空间中直线、平面的垂直二、知识讲解u1l1l2u2nl2u2n1n23空间中直线、平面的垂直二、知识讲解 我们随时随地看到向量运算的作用，你同意“向量是躯体，运算是灵魂” “没有运算的向量只能起路标的作用”的说法吗？3空间中直线、平面的垂直二、知识讲解AA1BB1CC1D1D3空间中直线、平面的垂直二、知识讲解unl3空间中直线、平面的垂直二、知识讲解PAQul已知直线 l 的单位方向向量为 u，A 是直线 l 上的定点，P 是直线 l 外一点如何

5、利用这些条件求点 P 到直线 l 的距离？探究4用空间向量研究距离问题二、知识讲解PAQul类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？思考4用空间向量研究距离问题二、知识讲解PAQnl4用空间向量研究距离问题二、知识讲解例6如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为线段 A1B1 的中点，F 为线段 AB 的中点（1）求点 B 到直线 AC1 的距离；（2）求直线 FC 到平面 AEC1 的距离分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离zxyAA1BB1CC1D1EDF4

6、用空间向量研究距离问题二、知识讲解与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论4用空间向量研究距离问题二、知识讲解ABCMDN5用空间向量研究夹角问题二、知识讲解 以上我们用向量方法解决了异面直线 AM 和 CN 所成角的问题，你能用向量方法求直线 AB 与平面 BCD 所成的角吗？思考5用空间向量研究夹角

7、问题二、知识讲解ACnBu5用空间向量研究夹角问题二、知识讲解n1n2图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？5用空间向量研究夹角问题二、知识讲解例8如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACCB2， AA13，ACB90，P 为线段 BC 的中点，点 Q，R 分别在棱 AA1，BB1 上，A1Q2AQ，BR2RB1求平面PQR 与平面 A1B1C1 夹角的余弦值分析：因为平面 PQR 与平面 A1B1C1 的夹角可以转化为平面 PQR 与 A1B1C1 的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可zxyAA1BB1CC1QRP5用空间向量研究夹

8、角问题二、知识讲解例9图为某种礼物降落伞的示意图，其中有 8 根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为 30已知礼物的质量为 1 kg，每根绳子的拉力大小相同求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度 g 取 9.8 m/s2，精确到 0.01 N）分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞 8 根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小8 根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量Fn6空间向量的综合应用二、知识讲解例10如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PDDC，E 是 PC 的中点，

9、作 EFPB 交 PB 于点 F（1）求证：PA平面 EDB；（2）求证：PB平面 EFD；（3）求平面 CPB 与平面 PBD 的夹角的大小ABCDEPF6空间向量的综合应用二、知识讲解分析：本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角这些问题都可以利用向量方法解决由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题zxyGABCDEPF6空间向量的综合应用二、知识讲解通过本节的学习，你对立体几何中的向量法是否有了一定的认识？请结合例题就下面的框图谈谈体会用空间向量表示立体图形中点、直

10、线、平面等元素进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系把运算结果“翻译”成相应的几何意义解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法你能说出它们各自的特点吗？三、小结空间向量的应用证明平行证明垂直 求距离求空间角直线与平面所成角异面直线所成角平面与平面的夹角点到直线的距离点到平面的距离线面垂直线线垂直面面垂直线面平行线线平行面面平行1判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“”，错误的打“”（1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；（ ）（2）若 v 是直线 l 的方向向量，则 v(R) 也是直线 l 的方向向量；（ ）（3）在空间直角坐标系中，j(0，0，1) 是坐标平面 Oxy 的一个法向量（ ）答案：（1）；（2）；（3）四、练习四、练习四、练习四、练习五、本章知识结构空间向量的概念及其应用空间向量的定义及表示空间向量的线