绝对值常考题型分析

1、绝对值常考题型分析.理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性.体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用知识梳理.知识结构框图二.绝对值的意义： 几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数 a的绝对值，记作|ah 代数意义：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。（当4为正数）也可以写成：1?1= 0（当为0）（当a为负数）说明：(I ) a20即同是一个非负数；(ID同概念中蕴含分类讨论思想。例题精讲【题目】已知a、b、c在数轴上位置如图：ba 0 c则代数式I a I + I a+b ! + I c-a | - b-c |的值等于()

2、【选项】A. -3a B. 2c-a C. 2a-2b D. b【答案】A【解析】a I + I a+b + | ca - | b-c | =-a- (a+b) + (ca) +b-c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时,必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符 号内数的符号，从而去掉绝对 值符号，完成化简。此题的求解使用了数形结合思想。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】已知：xO0,且|

3、y | |z | |x |,那么的值()【选项】A.是正数B.是负数C.是篆D.不能确定符号【答案】C【解析】由题意，x、v、z在数轴上的位置如图所示：所以卜+1+卜+十卜-y|=x+z-(y + z)-(x-y)-y QZ*=0I分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了 X、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】3【题目】 已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3 倍 .且在数轴上表示这两数的点位于原点

4、的两侧， 两点之& 求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢【答案】（1 ） 6 和 -2 或 -6 和 2；（ 2）12 和 4 或 -12 和 -4【解析】分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为X,乙数为y由题意得：|x| = 3|y|,（ 1 ） 数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即x0,则4y=8，所以y=2 ,x= -6若 X 在原点右侧，y 在原点左侧，即X0, y0, 则 -4y=8 , 所以 y=2,

5、X=6（ 2 ） 数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即x0, y0, y0,则2y=8,所以y=4,x=12此题的解答使用了分类讨论的思想。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】2【题目】方程卜一2008 （ = 20087 的解的个数是（）【选项】 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 无穷多个【解析】分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008 看成一个整体，问题即转化为求方程 a =-a 的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。【知识点】和绝对值有关的问

6、题【适用场合】当堂例题3Iab-2i 与5 1 ；互为相互数，试求下式的值+ . ? . +ab (a + l)(b + l) (a + 2)(b + 2)(a+ 2007)(/?+ 2007)【解析】分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：ab-2| = |a-l|=0,解得：a=l,b=2-T + + ? ? ? + ab (a + l)(b + l) (a + 2)(b + 2)(a+ 2007)0 +2007)111 1=+ - F+2 2x3 3x42008x200911111 1 1=1 1 J- 42 23 3420082009=12009_ 2008-2009绝对值的非负性，是

7、处理绝对值问题时，常常需要想到的。在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结果.同学们可1 1 1 1+ + F +值、你有办法求解吗有兴趣的同2 x 44 x 66 x 82008 x 2010 学可以在课下继续探究。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】4以再深入思考，如果题目变成求【题目】观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与一 2, 3与5, -2与一 6, -4与3.并回答下列各题：(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗答：. _(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为一 1,则A与B两点间的距离可以表示

8、为(3)结合数轴求得卜一 2|+卜+3|的最小值为 取得最小值时x的取值范围为(4) 满足卜 + 1| + 卜 + 4|3 的兀的取值范围为 【答案】（1）相等；（2） lx-（-l）l=lx + ll;（3） 5; 3WxW2 ; （4） x l【解析】分析：点B表示的数为一 I,所以我们可以在数轴上找到点 B所在的位置。那么点A呢因为x 可以表示任意有理数，所以点 A可以位于数轴上的任意位置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。,:? W11 T-1:0-10 x当x-l时，距离为-x-1,当-lx0,距离为x+1综上，我们得到A与B两点间的距离可

9、以表示为| x+1 | x-2|即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上 x与2之间的距离卜+ 3| =卜一（一 3） |即x与-3的差的绝对值，它也可以表示数轴上 x与-3之间的距 离。如图，X在数轴上的位置有三种可能图2符合题意同理|x + l|表示数轴上x与-1之间的距离，|x + 4|表示数轴上x与-4之间的距离。本H 即求，当x是 什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答 案：x-l o说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。

10、事实 上，|4 B|表示的 几何意义就是在数轴上表示数 A与数B的点之间的距离。这是一个很 有用的结论，我们正是利用这一 结论并结合数轴的知识解决了（ 3）、（4）这两道难题。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】当堂例题【难度系数】4习题演练【题目】若 2 黑则 lxl + lx-ll + lx-2l + lx-3l + lx-4l +lx-5l + lx-6目【解析】lxl + lx-ll + lx-2l + lx-3l + lx-4l + lx-5l + lx-6l=15-戈=12 !一2002【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3=x+x- + x-2+3

11、-x+4-x+5-x+6-x【题目】数2003是()【选项】A正数B负数C非正数D零【答案】cI F斗【解析】利用k/l，40,知一八0,则 = 二一不为正整数；4x4x 2- L3X-IXII 13x + x I -4x十看 19=一1不为正整数.若*0,则4x4x 4xI 3 r_ I v II故使代数式竺空的值为正整数的X 值不存在。4%【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习 TOC o 1-5 h z 【难度系数】3【题目】已知a,b,c 都是负数，并且lx dl + ly 4 + lz 小 =0, 则心它是()【选项】A 负数 B 非负数 C 正数 D 非正数【答案】A

12、【解析】由绝对值的非负性，I x-a|=O. | y-b|=O, z-c =0故 x=a, y=b, z=c, xyz=abc 为负数。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3已知 d l, 15c5O,avbc,敲大值是【答案】 2, -1【解析】I d+/?+cl l 方 cl I ac II = (a + b + c) + (b-c)+(a c l) = -3c-ll-lc0,则 b0, I _L11 + 1 匕 21=1 巴一 1I + I_#_2I b b b b=| -_L-ll + l -2|=3 2 2【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练

13、习【难度系数】4【题目】如果+ /?-c0,G-b + c0,-+b + c0, 则产T / b 2002 | 、”|仿）k【选项】【答案】A【解析】已刍？占均为1或t,于是口严，（刍严，（一严均为i.即可得答案 1A1 IclaI cl【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【题目】If a.b, c, d are rational numbers,and16/ - Z? - c + i/1= 25, then b-a-d c 1= 【答案】 -7【解析】 近年来，每年希望杯都会有英语题。这需要学生对于一些数学名词的英语要了解, 比如 rationalnumbers 是实数的意思

14、。另外还需要知道lx ylSlxl + lyl ( 画出数轴，分析可得)于是 25 = |(a-b)-(c-d)F6/-/?l + lc-JI-7【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习 TOC o 1-5 h z 【难度系数】4【题目】已知a,b,c都是整数，匚1 + 4 + cl + ld cl,那么【选项】 A .m 定是奇数.一定是偶数.C.仅当a,b,c同奇或同偶时，m是偶数.的奇偶性不能确定?【答案】 B【解析】若a,b奇偶性相同，则 f奇偶性相同，a+b,b-c + a-c八为偶数，m为偶数。若 a,b 奇偶性不同，则奇偶性不同，f都为奇数，m 为 偶数。【知识点】和

15、绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【题目】如果I 加 -31 +(? + 2) 兀 + 11 + 1 兀一 11 的最小值是 【解析】利用数形结合可得。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习2【题目】BNxll,ljll,fiu=lx+yl + ly + ll + l2y-x-4l,【答案】CD上【解析】设A, B, C, D在数轴上面表示的数为a.b.c.d,则路程总和为I xa | +1 xb | +1 x-c | + J xd I!x-a|+ x-b 最小值在AB上取到；|x-c|+ x-d|最小值在CD上取到。故选址在CD上x-a| +1 x-b| +

16、1 x-c | + x-d| 取到最小值。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4 = 0, 则方程 3mx +1 = x + 加 I 勺解是 ?3【答案】 x = -8【解析】 I 加一 3l+(n + 2)2=0, 由平方和绝对值的非负性，可得加=23,解方程即可, “ =得。【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习 TOC o 1-5 h z 【难度系数】3题目】不等式(1 尤 1+朗 (1-尤 )l【解析】(1)当 x0 时；原不等式可化为：2x(l-x)lx=0 时；原不等式没有解.x0 时；(-x+x) (1-x)0.0(l-x)1.【知识点】和绝对值有关的问题【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4则”的瑕大值和最小值的和是 ?【答案】10【解析】|y+i|=i+yI2y-x-4 =|(2y-x)-4|=4-(2y-x) x+y 二 0,u=x+y+1+y+4-(2y-x)=2x+5(2) x+y0,u=-(x+y)+l+y+4-(2y-x)=-2y+