工程问题数学建模实训报告

1、 工程问题数学建模实训报告目录 TOC o 1-5 h z 一摘要 2二基本假设 2三设计变量的确定 2四整体求解思路 4五目标函数的确定 4六约束条件的确定 5七 MATLAB 7 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 八总结 10 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 九参考文献 11 题目:机床主轴自重最轻优化设计机床主轴是机床中重要零件之一，一般为多支承空心阶梯轴。为了便于使用 材料力学公式进行结构分析，常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。在设计时有两个重要因素需要考虑，即主轴的自重和伸出

2、端C点的挠度。图1所示的为一根简化的机床主轴。要求以主轴的自重为目标，对该主轴进行优化设计 已知条件：主轴材料为45#,内径d=30mm外力F=15000N许用挠度y0=0.05mm 材料的弹性模量E=210GPa许用应力(T =180MPa,材料的密度为3$=7800kg/m。300 I 650， 60 D 110， 90 a 150。I、D、a 的量纲均为毫米。试建立机床主轴以主轴自重最轻为目标的优化设计数学模型。其中，C点的挠度：2Fa la4,y; ID d 。3EI64题图如下E-EI一摘要本文利用了材料力学对机床主轴进行了受力与形变分析，利用机 械优化设计对机床主轴参数优化建立了数

3、学模型，最后通过MATLAB实现了对参数最优解的求解。机床主轴是机床中重要零件之一， 一般为多支承空心阶梯轴。为 了便于使用材料力学公式进行结构分析，常将阶梯轴简化成以当量直 径表示的等截面轴。在设计这根主轴时，有 3个重要因素需要考虑。 一是主轴的自重；一是主轴伸出端的挠度；还有则是此轴强度应满足 要求。对于普通机床，并不追求过高的加工精度，对机床主轴的优化 设计，以选取主轴的自重最轻为目标，外伸端的挠度与许用应力是约 束条件。关键词：材料力学挠度许用应力自重优化二基本假设（1）主轴在实际工作时处于理想状态不受振动等题目外因素干扰。（2）将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。三设计变量说明

4、当主轴的材料选定时，其设计方案由3个设计变量决定。空心轴的长I，外径D,伸出的轴长a分别为XI, X2, X3。故设计变量取为x=x1 x2 x3T=I DaT变量及系数表Xi空心轴长1X2空心轴外径DX3伸出轴长ad空心轴内径F外力p材料密度E弹性模量I惯性矩M弯矩W截面抗弯矩c 许用应力aa = dD四整体求解思路根据题意找到变量建立目标函数与约束方程，带入MATLAB进行求目标函数/ MATLAB最优解约束方程五目标函数的确定机床主轴优化设计的目标函数则为f(x) JY(Xi X3)(X22-d2)即主轴自重4式中，-材料的密度。带入数值，=7800kg/ m3 , d=30mm推出 f

5、 =6126.10567(% x3)(x22 -0.0009)六约束条件的确定（1）应力图（2）弯矩图上图为机床主轴的受力分析图（1）为轴应力图表示机床主轴各个位置所受的切应力图（2）为轴弯矩图表示机床主轴各个为之所受的弯矩由图可知机床主轴在B点有应力突变此处承受的弯矩最大Mmax由题意知机床主轴应满足两个条件，一是端点c处的扰度最大值 应小于0.05mm二是此轴的应力应小于 宙。(1)主轴刚度主轴刚度是一个重要性能指标，其外伸端的挠度y不得超过规定值y0，据此建立性能约束g(x)=y-y0 0在外力F给定的情况下，y是设计变量x的函数，其值按下式计算Fa2(1 a)3EI式中 I(D4 -d

6、4)64264FX3 (X1 X3)则 g(x)k 4- -y03兀E(x2 -d )%33(为X3)4E=210GPa F=15000N y0 = 0.05mm推出十3 13103.0830 x2 -0.00000081主轴强度对于强度条件:其中max =Fa十M max r k 1芮小(：4)32； =180MPaX3进行简化得(3)-1178.0972 0X2 -0.000027边界约束条件为设计变量的取值范围，即maxDmin W D Dmaxmax七 MATLAB编写目标函数m文件并以文件名fun保存在MATLAEB录下的文件夹中编写非线性约束函数m文件并以文件名mycon保存在 M

7、ATLAB目录下的文件夹中。最后在M文件命令窗口里编写主程序fx KO=(Or 03:0, 03:0, 031:辰【.b=n：J .beqr 1:lb=q. 3；a. O0：g 阳 1 ；ub=Q. 65.0. IL ;D. 16:【鬲 fval, ex1 ifl 92 】=fMin? on ur, x d* A, b, beL lb, ub, *KTCOn) xflz0L 03 ;D. 03:0. 03&；2:Aep:bg;1WO.3;O. D6:Q.Q9ub= D. 66:0. 1L: 0. 15;(3jCKtiflasI=fnunGonf猷5, kO, & b* Arq, bcq. Lb

8、,讪,local minimm found that MatiwfieM the canTtraintz,Optimzation confpleted because the objective funrt ion is nnn-decreasine infudsihLu dirurti口ns, to Tiihin the default vluc of the furtEtimn tmLuraii,and tojnatrsints tte satisfied to wiihin the efiult value of the 3*汛 油 iwt t ole rar.-鮎tappuiE cri

9、tgria dgtailmo. saoo0.0600a o&ou fTHl =e. 450S ntiflag =通过程序的运算最后得出在满足约束条件下轴长 l=300mm外径D=60mm外伸轴长a=90mm寸主轴自重最轻为 6.4508 Kg八总结上述主轴优化设计中是把阶梯轴简化成当量直径的等截面轴进行结构析的， 这只是一种近似分析方法，而其近似程度往往不能令人满意。尤其是对一些受力、 形状和支承都比较复杂的轴，不可能做出那样的简化，况且机床主轴的设计还对 其动力学性能提出一定的要求。因此，将主轴简化后用材料力学公式进行分析的 方法也不能满足工程设计的需要。图所示的机床主轴为三支承系统，受有力

10、和力矩的作用。对其进行重量最轻 结构优化设计时，不仅对伸出端点的挠度有要求，而且对主轴系统的第一阶段自 振频率也有要求。对于这样复杂的系统，材料力学分析方法已显得无能为力了。 这时常使用有限元法来计算系统的应力、变形、自振频率等。研究怎样以尽可能 少的有限元分析次数而获得优化结果，是结构优化设计研究中的一个重要课题。为期三周的工程数学问题建模，给我们留下了很深刻的印象，知识不仅要会， 还要会运用。开始觉得这种建模问题没有接触过， 或许会很难，但是当实际操作 时发现其实没有想象当中的那么难。这一过程也锻炼了我们解决问题、分析问题 的能力，受益匪浅。通过小组成员的合理分工，我们组有了优化设计的初步概念， 并进行了尝试，掌握了建立数学模型的方法，并能根据不同的数学模型合理选择 优化方法，最终能找到最优