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文档简介

1、第四节 重积分的应用 一、曲面的面积 二、质心 三、转动惯量 四、引力 定积分的元素法推广到重积分中的使用方法. 若要计算的某个量U 对于闭区域 D 具有可加性(即当闭区域 D 分成许多小闭区域时, 所求量U 相应地分成许多部分量，且U 等于部分量之和)，并且在闭区域 D内任取一个直径很小的闭区域 时, 相应地部分量可近似地表示为 的形式,其中 在 内这个 称为所求量U 的元素，记为 ，所求量的积分表达式为设曲面的方程为：如图，一、曲面的面积 曲面S的面积元素曲面面积公式为：设曲面的方程为：一、曲面的面积 则曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可

2、得若光滑曲面方程为隐式则且球面的面积A为上半球面面积的两倍 解 方法1 利用直角坐标方程. 例1 求半径为R的球的表面积 于是解设球面方程为 球面面积元素为方法2 利用球坐标方程.解解方程组得两曲面的交线为圆周在 平面上的投影域为二、质心 当薄片是均匀的，重心称为形心.由元素法 类似地 设一物体占有空间闭区域 其密度(x y z)是闭区域上的连续函数 则该物体的质心坐标为例3 求位于两圆 和之间均匀薄片的重心. 解 利用对称性可知而三、转动惯量 薄片对于 轴的转动惯量薄片对于 轴的转动惯量设一物体占有空间闭区域 其密度(x y z)是上的连续函数 则该物体对于x、y、z轴的转动惯量为一般地,

3、若V 中的点( x , y , z )到转动轴 l 的距离为则转动惯量为例4 求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解 建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.设薄片的密度为，则 例5 求密度为的均匀球体对于过 球心的一条轴l的转动惯量 取球心为坐标原点 z轴与轴l重合 又设球的半径为a 解 球体所占空间闭区域可表示为 (x y z)| x2y2z2a2 所求转动惯量即球体对于z轴的转动惯量Iz 首页四、引力 设物体占有空间有界闭区域 其密度(x y z)为上的连续函数 求物体对于物体外一点P0(x0 y0 z0)处的单位质量的质点的引力设在内点P(x y z)处的体积元素为dv 则点P 对位

4、于点P0处的单位质量的质点的引力元素为dF(dFx dFy dFz) 其方向为r(xx0 yy0 zz0) r|r| 将dFx、dFy、dFz在上分别积分 即可得Fx、Fy、Fz 从而得F(Fx、Fy、Fz) 其中 例6 设半径为R的匀质球占有空间闭区域(x y z)|x2y2z2R2) 求它对位于M(0 0 a)(aR)处的单位质量的质点的引力 解 设球的密度为0 由球体的对称性及质量分布的 均匀性知FxFy0 因此只需求引力沿z轴的分量解由积分区域的对称性知所求引力为P175 1，3，6, 11求5 其中V 是由 1解过已知直线的平面束方程为由题设知由此解得代回平面束方程为2 设求提示: 利

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