1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题：二面角（中档）同步练习（Word版含解析）

1、空间向量专题121 二面角（中档）（8套，8页，含答案） 如图，在三棱台ABCDEF中，二面角BADC是直二面角，ABAC，AB3，（1）求证：AB平面ACFD；（2）求二面角FBED的平面角的余弦值 答案：；（1）连接，在等腰梯形中，过作交于点，因为，所以，所以，所以，即，2分又二面角是直二面角，平面，所以平面，4分又平面，所以，又因为，、平面，所以平面6分（2）如图，在平面内，过点作，由（1）可知，以为原点，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系则，7分所以，设是平面的一个法向量，则，所以，取，则，即，9分由（1）可知平面，所以是平面的一个法向量，10分所以，11分又二面角的平面角

2、为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为12分如图，在梯形ABCD中，AB/CD，ADDCCB2，ABC60，平面ACEF平面ABCD，四边形ACEF是菱形，CAF60（1）求证：BFAE；（2）求二面角BEFD的平面角的正切值（ 答案：；【解析】（1）依题意，在等腰梯形中，即，1分平面平面，平面，2分而平面，3分连接，四边形是菱形，4分平面，平面，6分（2）取的中点，连接，因为四边形是菱形，且所以由平面几何易知，平面平面，平面故此可以、分别为、轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：，7分设平面和平面的法向量分别为，由，令，则，9分同理，求得10分，故二面角的平面角的正切值为12分） 已知四棱锥

3、SABCD，SA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB/DC，DAB90，AB2DC，M是SB中点（1）求证：CM/平面SAD；（2）若直线DM与平面SAB所成角的正切值为，F是SC的中点，求二面角CAFD的余弦值（ 答案：；【解析】（1）证明：取中点，连接，在中，四边形为平行四边形2分，3分又平面，平面，平面4分（2）由已知得：，两两垂直，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系5分，平面，就是与平面所成的角在中，即，7分设，则，；中，为斜边中点，则，所以，设是平面的一个法向量，则，令，得9分设是平面的一个法向量，则，令，11分二面角的余弦值为12分）空间向量专题122

4、二面角（中档）在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB/CD，ABAD，O为AD中点，ADAB2CD2.求证：平面POB平面PAC；求二面角APCD的余弦值. 答案：；证明：由条件可知，.，且为中点，.，平面.又平面，.又，平面.平面，平面平面.解：以为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设为平面的一个法向量，由得，解得.令，则.同理可得，平面的一个法向量，二面角的平面角的余弦值.如图，在几何体ABCDEF中，底面CDEF是平行四边形，AB/CD，DB平面CDEF，CE与DF交于点O.（1）求证：OB/平面ACF；（2）若平面CAF与平面DAF所成的锐二面角余弦值为，求线

5、段DB的长度. 答案：或；解：()取中点，连接，在中，是的中点，是的中点，所以，又，所以所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，故平面.（）由，可得，所以，又平面，故以为坐标原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，所以，.设平面的一个法向量，则即，取得，设平面的一个法向量，则即，取得，设平面与平面所成的锐二面角为，则，整理得，解得或，所以或.空间向量专题123 二面角（中档）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABCD为直角梯形，AD/BC，ADAB，ACBDO，过O点作平面平行于平面PAB，平面与棱BC，AD，PD，PC分别相交于点E，F，G，H.(1)求

6、GH的长度；(2)求二面角BFHE的余弦值. 答案：，；解：（）【法一】（）因为平面，平面平面， ，平面平面，所以，同理，因为，所以，且，所以，同理，连接，则有，所以，所以，同理，过点作交于，则 【法二】因为平面，平面平面，平面平面，根据面面平行的性质定理，所以，同理，因为，所以，且，又因为，所以，同理，如图：作，所以，故四边形为矩形，即，在中，所以，所以. （）建立如图所示空间直角坐标系， 设平面的法向量为，令，得， 因为平面平面，所以平面的法向量 ，二面角的余弦值为.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB/CD，ABBCCC12CD，E为线段AB的中点，F是线段DD1上的动点（）求

7、证：EF平面BCC1B1（）若BCDC1CD60，且平面D1C1CD平面ABCD，求平面BCC1B1与DC1B1平面所成角（锐角）的余弦值 答案：；证明：（1）连结DE，D1E，ABCD，AB2CD，E是AB的中点，BECD，BECD， 四边形BCDE是平行四边形，DEBC，又DE平面BCC1B1，DE平面BCC1B1， 同理D1D平面BCC1B1，又D1DDED，平面DED1平面BCC1B1， EF平面DED1，EF平面BCC1B1 .6分方法一（2）ABBCCC12CD，BCDC1CD60，设CD1，则BC2，BD23 BDCD 同理：C1DCD，平面D1C1CD平面ABCD，平面D1C1

8、CD平面ABCDCD，C1D平面D1C1CD，C1D平面ABCD， C1DBCC1DB1C1在平面ABCD中，过D作DHBC，垂足为H，连结C1HBC平面C1DH，C1H平面C1DH，BCC1H， 所以，B1C1C1H，DC1H为平面BCC1B1与DC1B1平面所成的角在RtBCD中， C1D， 在RtC1DH，C1H，cosDC1H平面BCC1B1与DC1B1平面所成的角（锐角）的余弦值为 .12分方法二：可以建立空间坐标系解答，（略） 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1B145，ACBC，平面BB1C1C平面AA1B1B，E为CC1中点.（1）求证：BB1AC；（2）若直线A1C1

9、与平面ABB1A1所成角为45，求平面A1B1E与平面ABC所成锐二面角的余弦值 答案：；【证明】（1）过点做交于，因为面 ，所以，故，2分又因为，所以，故，因为，所以，又因为，所以面，故5分（2）以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标，设面的法向量为， 则令，得； 7分设面的法向量为，则令得；9分11分面与面所成锐二面角的余弦值为12分 空间向量专题124 二面角（中档）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADEBCF和一个四棱锥PABCD组合而成，其中.（1）证明：AD平面ABFE；（2）若四棱锥PABCD的高2，求二面角CAFP的余弦值. 答案：；（1）证明：直三棱柱中，平面，所以，

10、又，所以平面；（2）解：由（1）知平面，以为原点，方向为轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，设平面的一个法向量，则，取，则，所以.设平面的一个法向量，则，取，则.所以，所以，因为二面角的平面角是锐角，所以所求二面角的余弦值为.如图，三棱台ABCA1B1C1中，侧面A1B1BA与侧面A1C1CA是全等的梯形，若A1AAB，A1AA1C1，且AB2A1B14A1A（）若，证明：DE平面BCC1B1；（）若二面角C1AA1B为，求平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值 答案：；【解答】（）证明：连接AC1，BC1，在梯形A1C1CA中，AC2A1C1，AC1A1CD，又，DEBC

11、1，BC1平面BCC1B1，DE平面BCC1B1，DE平面BCC1B1 ；（）解：侧面A1C1CA是梯形，A1AA1C1，AA1AC，又A1AAB，BAC为二面角C1AA1B的平面角，则BAC，ABC，A1B1C1均为正三角形，在平面ABC内，过点A作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设AA11，则A1B1A1C12，ACAC4，故点A1（0，0，1），C（0，4，0），设平面A1B1BA的法向量为，则有，取，得；设平面C1B1BC的法向量为，则有，取，得，故平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值为空间向量专题125 二面角（中档）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有

12、棱长均2，D为棱BB1（不包括端点）上一动点，E是AB的中点（）若ADA1C，求BD的长；（）当D在棱BB1（不含端点）上运动时，求平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围 答案：（，；证明：（），由ACBC，AEBE，知CEAB，又平面ABC平面ABB1A1，所以CE平面ABB1A1而AD平面ABB1A1，ADCE，又ADA1C所以AD平面A1CE，所以ADA1E易知此时D为BB1的中点，故BD15分（）以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，过E作垂直于平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设BDt，则A（1，0，0），D（1，0，t），C1（0，2），（2，0，t），（1，2）

13、，设平面ADC1的法向量（x，y，z），则，取x1，得，平面ABC的法向量（0，0，1），设平面ADC1与平面ABC的夹角为，cos由于t（0，2），故cos（，即平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围为（，12分菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB2，AC6，点E，F分别在AD，CD上，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF位置，.（1）证明：DH平面ABCD；（2）求二面角BDAC的正弦值. 答案：；解：(1)，四边形为菱形，；又，又，平面.（）建立如图所示的空间直角坐标系：，设平面的一个法向量为，由得，取，同理可得平面的法向量为，. 如图，在三棱锥PABC中，平面P

14、AB平面ABC，AB6，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD2DB，CE2EB，PDAC.（1）求证：PD平面ABC；（2）若PA与平面ABC所成的角为，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角. 答案：；（1）证明：连接，由题意知 ，则，.2分又因为，所以因为，都在平面内，所以平面 ；.4分（2）由（1）知两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系， 且与平面所成的角为，有，则因为由（1）知平面， 平面.8分为平面的一个法向量.设平面的法向量为，则，令，则，.10分为平面的一个法向量.故平面与平面的锐二面角的余弦值为，所以平面与平面的锐二面角为.12分空间向量专题126 二面角（中档）如图，四

15、棱锥的底面是平行四边形，.（1）求异面直线与所成的角；（2）若，求二面角的余弦值. 答案：90，；解：（1）取中点，连接，可证面，所以异面直线与所成的角为90（2）设，则，又，可得.由（1）知，从而平面，以为坐标原点，的方向分别为轴建立坐标系.则，所以，可求得平面的法向量，平面的法向量，所以又二面角为锐角，故二面角的余弦值为.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，为与的交点，为上任意一点.（1）证明：平面平面； （2）若平面，并且二面角的大小为，求的值. 答案：；解：（1）因为平面，又是菱形，故平面平面平面.（2）解：连结，因为平面，所以，所以平面，又是的中点，故此时为的中点，以为坐标原点，射线

16、分别为轴建立空间直角坐标系设，则，向量为平面的一个法向量设平面的一个法向量为，则且即且，取，则，则，解得故.空间向量专题127 二面角（中档）如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，（）求证：；（）求二面角的平面角的余弦值（ 答案：；解:（）(解法一)：由题意可知 ，解得 ，分在中， 分，又是的中点，. 分为圆的直径，.由已知知 ， . 分. 由可知：，. 6分（）由（）知： ，是二面角的平面角 . 8分， ， . . . 12分(解法二)：建立如图所示的直角坐标系，由题意可知.解得. 则， ，是的中点， 可求得. 3分（），. ，. 6分（）

17、由（）知， ， . ，.是平面的法向量. 8分设是平面的法向量，由，解得 10分.所以二面角的平面角的余弦值. 12分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组合而成，其中，（）证明：平面；（）若四棱锥的高2，求二面角的余弦值 答案：；（）证明：直三棱柱中，平面， 2分所以，又， 3分所以平面 4分（）由（）知平面，以为原点，方向为，轴建立空间直角坐标系（如图所示），则， 6分设平面的一个法向量，则取，则，所以 8分设平面的一个法向量，则取，则，所以 10分所以 11分因为二面角的平面角是锐角，所以所求二面角的余弦值为 12分 如图，直角梯形中，等腰梯形中，且平面平面（1）求证：平面；

18、（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值 答案：；解：（1）平面平面，平面平面，平面，又平面，又，且，平面；（2）设，四边形为等腰梯形，四边形为平行四边形，又平面，平面，为与平面所成的角，又，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，平面，平面的法向量为，设平面的一个法向量为，由得，令得，二面角的余弦值为空间向量专题128 二面角（中档）如图，在直角梯形中，且分别为的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的大小. 答案：；（1）证明：有题可得，则，又，且，所以平面，因为平面，所以平面平面，（2）解：过点作交于点，连接，则平面，.又，所以平面.易得，则，得.以为坐标原点，为