《不等式》专题5 基本不等式-最值分析（基础）（Word版含答案）

1、不等式专题5-1 基本不等式最值分析（基础）（6套8页）知识点：基本不等式：若a，b都为正数，那么 (当且仅当ab时，等号成立)a2b22ab (当且仅当ab时，等号成立)一正二定三相等：一正： a，b为正数或零时不等式都可以成立；二定： 运用过程中式子要出现定值；三相等： 当且仅当ab时取“”号；常用变型: 型：“和定积最大，积定和最小” 这个不等式可以把平方和、和、积的关系联系起来，方便变型。典型例题：若，的最小值为 答案：，； ，此时x 。若，的最小值为 答案：； 若，的最大值为 答案：，； ，此时x 。若，函数的最小值为 答案：，； ，此时x 。随堂练习：若，的最小值为 答案：，； ，

2、此时x 。已知x，yR，且满足 eq f(x,3)eq f(y,4)1.则xy的最大值为_ 答案：3；解析：eq f(y,4)1eq f(x,3)，01eq f(x,3)1，0 x3.而xyx4(1eq f(x,3)eq f(4,3)(xeq f(3,2)23.当xeq f(3,2)，y2时，xy最大值为3._若，的最小值为 答案：； 若，函数的最大值为 答案：4； 若，函数的最小值为 答案：，； ，此时x 。典型例题2（一些简单变型、凑数）：已知x0，y0，2x3y6，则xy的最大值为 答案：eq f(3,2)；解析：因为x0，y0，2x3y6，所以xyeq f(1,6)(2x3y)eq f

3、(1,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2x3y,2)eq sup12(2)eq f(1,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(6,2)eq sup12(2)eq f(3,2).当且仅当2x3y，即xeq f(3,2)，y1时，xy取到最大值eq f(3,2)._已知x0，y0，且xy8，则 (1x)(1y)的最大值为( 解析：B)A16 B25 C9 D36设，则函数的最小值是 答案：9，1；提示： ，此时x .若，则的最小值是_ 答案：2；_若，的最小值为 答案：； （多选）设a1，b1且ab(ab)1，那么( 答案：AC；ab1(ab)(当且仅当ab1时取等号

4、)，即(ab)24(ab)40且ab2，解得ab22eq r(2)，ab有最小值22eq r(2)，知A正确；由ab(ab)1，得ab1ab2eq r(ab)(当且仅当ab1时取等号)，即ab2eq r(ab)10且ab1，解得ab32eq r(2)，ab有最小值32eq r(2)，知C正确)Aab有最小值22eq r(2) Bab有最大值22eq r(2)Cab有最小值32eq r(2) Dab有最大值1eq r(2)随堂练习2：已知，则的最大值为（ 【答案】D【解析】因为，所以有，当且仅当时取等号，故本题选D. ） A1BCD若x5，则x+4x+5的最小值为（ 【答案】A【解析】x+4x+

5、5=x+5+4x+55225=1，当且仅当x=3时等号成立，故选A. ）A-1 B3 C-3 D1若 在处取得最小值，则（ 【答案】B【解析】：当且仅当时,等号成立;所以,故选B. ）A B3 C D4设x0，则函数yxeq f(2,2x1)eq f(3,2)的最小值为( A 解析：选A.因为x0，所以xeq f(1,2)0，所以yxeq f(2,2x1)eq f(3,2)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq f(1,xf(1,2)22eq r(blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)f(1,xf(1,2)20，当且仅当xeq f(1,2)eq f(1,xf(

6、1,2)，即xeq f(1,2)时等号成立，所以函数的最小值为0.)A0 B.eq f(1,2) C1 D.eq f(3,2)若，的最小值为 答案：8； 若正实数x，y满足x2y2xy80，则x2y的最小值( 解析：B)A3 B4 Ceq f(9,2) Deq f(11,2)第一页答案：，；，； ，； 答：，；3； ； 4； ，； 第二页答案： eq f(3,2)；B； 9，1； 2； ；AC； 答：D； A；B；A；8；B；知识点：分式型凑数法： 记一下这个特殊的凑数方式，出现分式，多数用该法。典型例题：设为正数，则的最小值为_ 答案：4；_.已知，且满足，那么的最小值为（ 答案：B； ）

7、A B C D已知的最小值为 答案：9；_.随堂练习：已知x0，y0，且eq f(1,x)eq f(9,y)1，求xy的最小值 答案：解方法一eq f(1,x)eq f(9,y)1，xy(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(9,y)10eq f(y,x)eq f(9x,y).x0，y0，eq f(y,x)eq f(9x,y)2 eq r(f(y,x)f(9x,y)6.当且仅当eq f(y,x)eq f(9x,y)，即y3x时，取等号又eq f(1,x)eq f(9,y)1，x4，y12.当x4，y12时，xy取最小值16.方法二由eq f(1,x)eq f(9,y)

8、1，得xeq f(y,y9)，x0，y0，y9.xyeq f(y,y9)yyeq f(y99,y9)yeq f(9,y9)1(y9)eq f(9,y9)10.y9，y90，y9eq f(9,y9)102 eq r(y9f(9,y9)1016，当且仅当y9eq f(9,y9)，即y12时取等号又eq f(1,x)eq f(9,y)1，则x4，当x4，y12时，xy取最小值16.设为正数，则的最小值为 答案：； .若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是（ 答案：C； ）A. B. C.5 D.6应用题：将一根铁丝切割成三段做一个面积为45 m2的直角三角形框架，在下列四种长度的铁丝中，

9、选用最合理(够用且浪费最少)的是( 解析：C) A95 m B10 m C105 m D11 m某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_ 5；解析：设仓库与车站距离为x公里，由已知y1eq f(20,x)；y208x费用之和yy1y208xeq f(20,x)2eq r(0.8xf(20,x)8，当且仅当08xeq f(20,x)，即x5时“”成立_公里处宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形

10、，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为( 【答案】C【解析】由题意，p10，S8，此三角形面积的最大值为8故选：C )A B C D不等式专题5-2 基本不等式最值分析（基础）若x， y是正数，且，则xy有（ 答案：C；）最大值16 最小值 最小值16最大值若，的最小值为 答案：7，1； ，此时x 。若，的最大值为 答案：，； ，此时x 。若，函数的最小值为 答案：； 已 答案：当，时，最大值；解析：因为x 0，y0，且x 2y1 所以x y 当且仅当x 2y时上述不等式取“”号，由因

11、此，当，时，x y取得最大值知x0，y0且x2y1，求xy的最大值，及xy取最大值时的x、y的值已知正数a，b满足abab30，则ab的最小值是_ 答案：9；解析abab30，abab32eq r(ab)3.令eq r(ab)t，则t22t3.解得t3(t1舍)即eq r(ab)3.ab9.当且仅当ab3时，取等号_已知t0，则yeq f(t24t1,t)的最小值为( 解析：B) A1 B2 C2 D5若，则的最小值是 【答案】9 【解析】因为，即所以当且仅当即时取等号故第一空填9，第二空填_，此时_.若，的最小值为 答案：； 若m、n0，则的最小值为（ 答案：D； 因为，所以当且仅当时取等号

12、，此时，解得 ） A2B6C9D3 已知x0，y0，且eq f(1,y)eq f(3,x)1，则3x4y的最小值是 25；解析：因为x0，y0，eq f(1,y)eq f(3,x)1，所以3x4y(3x4y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,y)f(3,x)13eq f(3x,y)eq f(12y,x)1332eq r(f(x,y)f(4y,x)25(当且仅当x2y5时取等号)，所以(3x4y)min25_若x，yR，且2x8yxy0，则xy的最小值为( 答案：D；)A12 B14 C16 D18用一根长为的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳

13、光最充足，则框架的宽为_；高为 【答案】 3 【解析】设窗户的宽为，则其高为，要使阳光充足，只要面积最大，当且仅当时等号成立，这时高为.故答案为：(1). (2). 3用基本不等式求最值问题:已知，则：(1)如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值是 .(简记：积定和最小)(2)如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是.(简记：和定积最大)_.用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（ 【答案】矩形的长、宽都为时，所用篱笆最短，最短篱笆为.【解析】设矩形菜园的长为，宽为，则，篱笆的长为.由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，这个矩形的长

14、、宽都为时，所用篱笆最短，最短篱笆为.）不等式专题5-3 基本不等式最值分析（基础）若，的最小值为 答案：； 若x，y是正实数，则(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(4,y)的最小值为( 解析：B) A.6 B.9 C.12 D.15若，的最大值为 答案：，； ，此时x 。（多选）设，且，那么（ 答案：AD；解：由题已知得：,故有,解得或（舍）,即（当且仅当时取等号）,A正确;因为,所以,又因为, 有最小值,D正确.故选：AD ）A有最小值B有最大值C有最大值 D有最小值若实数x，y满足2x+y=1，则xy的最大值为( 【答案】C【解析】实数x，y满足2x+y=1

15、，y=12x，xy=x12x=2x2+x=2(x14)2+1818，当x=14，y=12时取等号，故选：C) A1B14C18D116已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是( 答案：B；解析8(x2y)2xyx(2y)(eq f(x2y,2)2.原式可化为(x2y)24(x2y)320.x0，y0，x2y4.当x2，y1时取等号)已知函数yx4eq f(9,x1)(x1)，当xa时，y取得最小值b，则ab( 解析：C)A3 B2 C3 D8已知，则的最小值是 【答案】3【解析】因为，所以，所以（当且仅当时，等号成立）._.若，函数的最小值为 答案：4； 已知，且，则的最小为 答案：

16、；_.已知正数x，y满足eq f(2,x)eq f(1,y)1，则x2y的最小值为( 解析：A) A8 B4C2 D0已知a0，b0，且2abab. (1)求ab的最小值； (2)求a2b的最小值（ 解：因为2abab，所以eq f(1,a)eq f(2,b)1； (1)因为a0，b0，所以1eq f(1,a)eq f(2,b)2eq r(f(2,ab)，当且仅当eq f(1,a)eq f(2,b)eq f(1,2)，即a2，b4时取等号，所以ab8，即ab的最小值为8；(2)a2b(a2b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(2,b)5eq f(2b,a)eq f(2a

17、,b)52eq r(f(2b,a)f(2a,b)9，当且仅当eq f(2b,a)eq f(2a,b)，即ab3时取等号，所以a2b的最小值为9）如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为 答案16解析如图所示，连接OC，设OBx(0 xeq f(ab,2) Dxeq f(ab,2)不等式专题5-4 基本不等式最值分析（基础）已知x，yR，且满足eq f(x,3)eq f(y,4)1，则xy的最大值为_ 答案：3；解析x0，y0且1eq f(x,3)eq f(y,4)2eq r(f(xy,

18、12)，xy3.当且仅当eq f(x,3)eq f(y,4)时取等号_若，的最小值为 答案：，； ，此时x 。若，的最大值为 答案：； 若，函数的最小值为 答案：； 若，且，则的最大值为 答案：； .已知，则的最小值是（ 答案：B； ）（A）3 （B）4 （C） （D）已知x0，则函数yeq f(x25x4,x)的最小值为( 解析：B) A9 Beq f(9,2) C3 Deq f(3r(2),2)若，则函数的最小值是 答案：； 。若，函数的最小值为 答案：2； 若，且的最小值是 【答案】9【解析】，,当且仅当 时“=”成立，故答案为9._.已知，且，则的最小值为 答案：9； 已知的最小值为

19、答案：9；_.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为eq f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( B 解析：设每件产品的平均费用为y元，由题意得yeq f(800,x)eq f(x,8)2eq r(f(800,x)f(x,8)20.当且仅当eq f(800,x)eq f(x,8)(x0)，即x80时“”成立，故选B.) A60件 B80件 C100件 D120件若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 答案：； .不等式专题5-5 基本不等式最值分析（基础）若，的最

20、小值为 答案：； 已知，则的最小值为（ 【答案】B【解析】因为，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立故选：B ） AB6CD若，的最大值为 答案：，； ，此时x 。已知abc，则eq r(abbc)与eq f(ac,2)的大小关系是 答案eq r(abbc)eq f(ac,2)解析abc，ab0，bc0.eq f(ac,2)eq f(abbc,2)eq r(abbc)，当且仅当abbc，即2bac时取等号_若正实数 满足， 则的最小值是 答案：18； 已知正实数满足，则的最小值为 【答案】6【解析】由题得,所以，所以，所以x+y6或x+y-2(舍去)，所以x+y的最小值为6.当且仅当x=y=3

21、时取等.故答案为：6_若，则的最小值是（ 答案：D； ） .2.3 若，则的最小值是 答案：； ；若，的最小值为 答案：； 已知实数x，y满足x0，y0，且eq f(2,x)eq f(1,y)1，则x2y的最小值为( D 解析：因为x0，y0，且eq f(2,x)eq f(1,y)1，所以x2y(x2y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,x)f(1,y)4eq f(4y,x)eq f(x,y)42eq r(f(4y,x)f(x,y)8，当且仅当eq f(4y,x)eq f(x,y)时等号成立故选D.)A2 B4 C6 D8若点A(2，1)在直线mxny10上，其中mn0，则eq

22、 f(1,m)eq f(2,n)的最小值为 8 解析：因为点A(2，1)在直线mxny10上，所以2mn1，所以eq f(1,m)eq f(2,n)eq f(2mn,m)eq f(2（2mn）,n)4eq blc(rc)(avs4alco1(f(n,m)f(4m,n)8._若x，yR，且2x8yxy0，则xy的最小值为( 答案：D；)A12 B14 C16 D18有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成面积相等的矩形,如图所示,则围成的矩形场地的最大面积为_ 【答案】2500【解析】设矩形场地的宽为x m,则矩形场地的长为(200-4x)m,则矩形场地的面积S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2500(0 x2)在