微积分下第九章课件

1、9.1 二重积分的概念与性质9.2 二重积分的计算法9.4 重积分的应用9.3 三重积分的概念及计算法第9章 重积分1定积分: 推广:被积函数积分范围二元函数平面区域二重积分三元函数空间区域三重积分一元函数被积函数积分范围区 间29.1 二重积分的概念与性质二、二重积分的概念一、问题的提出三、二重积分的性质四、小结3.求曲顶柱体的体积一、问题的提出曲顶柱体体积=特点D困难曲顶柱体以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以顶是曲面且在D上连续).?曲顶.顶是曲的.4平顶柱体体积=底面积高 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似代替、求和、取极限”的方法解决5(1)

2、分割相应地此曲顶柱体分为n个小曲顶柱体.(用 表示第i个子域的面积) .将域D任意分为n个子域(2)近似代替(3)求和(4)取极限步骤6.求平面薄片的质量设有一平面薄片,求平面薄片的质量M.将D分割成n个小块(2)近似代替(1) 分割(3)求和(4)取极限7二、二重积分的概念8这和式则称此零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于的极限存在,极限为函数二重积分,记为即(4)积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素91.对二重积分定义的说明：(1)2个任意性,(3)可积的必要条件:若f(x,y)在D上可积,则f(x,y)在D上有界.(4)可积的充分条件:若f(x,y)在D上连续,则f

3、(x,y)在D上可积.(5)若f(x,y)在D上可积,无界必不可积102.二重积分的几何意义11例 设D为圆域?二重积分=解 上述积分等于是上半球面,上半球体的体积：RD例12性质当 为常数时，性质（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质13性质对区域具有可加性性质若 为D的面积，特殊地性质若在D上则有(比较性质)14性质性质（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）15例的值= ( ).(A) 为正(B) 为负(C) 等于0(D) 不能确定为非正B16解17例 比较oxy 1 12C(2,1)的大小,则( )(D) 无法比较.18(1)设区域D关于x轴对称,如果函数 f(x, y)

4、关于坐标y为偶函数.oxyD1性质8则D1为D在第 一象限中的部分,坐标y为奇函数则设区域D关于x轴对称,如果函数 f (x, y)关于补充奇偶对称性结论:19这个性质的几何意义如图:OxyzOxyz 区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为偶函数 区域D关于x轴对称f(x,y)关于坐标y为奇函数20（2）若D关于y轴对称， D1为D在右半平面部分，则有：类似地,oxyD121设D为圆域(如图)0D1为上半圆域例22 解由性质得 例23 今后在计算重积分利用对称性简化计算时, 注意被积函数的奇偶性. 积分区域的对称性,要特别注意考虑两方面:24二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结25思考题1提示:B是有界闭区域D:上的连续函数,(A)(B)(C) (D)不存在.利用积分中值定理.26利用积分中值定理,解即得:由函数的连续性知,显然,其中点是圆域内的一点.27(A)(B)(C)(D)0.A为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,思考题228D1D2D3D4记 I=则I= I1+ I2, 其中I1=I2=而 I1 =D1