等差数列及其前n项和

1、1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关 系，并能用相关知识解决相对应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.等差数列及其前n项和 自主体验 已知数列an满足2an1anan2(nN*)，它的前n项和为Sn，且a310，S672.若bn an30，求数列bn的前n项和的最小值.1.等差数列的单调性： 等差数列公差为d，若d0，则数列递增. 若d0，n21时，an0，n21时，an0，n20时，Sn最大.【答案】 B1.等差数列的单调性： 等差数列公差为d，若d0，则数列递增. 若d0，则数列递减. 若d0，则数列为常数列.2.

2、等差数列的简单性质： 已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和.(1)若mnpq，则amanapaq. 特别：若mn2p，则aman2ap.1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差 等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这 个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定 义的表达式为 .同一个常数an1and(nN*)2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项是a1，公差是d，那么通项公 式为an .a1(n1)d思考探究1 已知等差数列an的第m项为am，公差为d，则其第n项an能否用am与d表示？提示：可以.anam(nm)d.3.等差中项 如果三个数a，A，b

3、成等差数列，则三数的关系是 A .思考探究2 三数成等差数列时，一般设为ad，a，ad；四数成等差数列呢？提示：可设为a3d，ad，ad，a3d.4.等差数列的前n项和公式1.已知an是等差数列，a1010，其前10项和S1070， 则其公差d ( ) A. B. C. D.解析：a10a19d10，S1010a145d70，d .答案：D等差数列及其前n项和2.已知an为等差数列，a2a812，则a5等于 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7解析：an为等差数列，a2a82a512，则a56.答案：C3.设an是等差数列，若a23，a713，则数列 an前8 项的和为 ( ) A.128

4、B.80 C.64 D.56解析：由 解得a11，d2，S88a1 d64.答案：Ca1+d=3,a1+6d=13,等差数列及其前n项和4.已知等差数列共10项，其中奇数项之和为15，偶数项之 和为30，则其公差为 .解析：由题意知a1a3a5a7a915， a2a4a6a8a1030， ：5d15，d3.答案：35.数列an中，a115,3an13an2(nN*)，则该数列 中乘积是负值的相邻两项为 .解析：由已知得an1an ，a115，ana1(n1)d15 (n1) ，显然a230，a240.该数列中乘积是负值的相邻两项为a23与a24.答案：第23项与第24项1.证明一个数列an为等

5、差数列的基本方法有两种： (1)利用等差数列的定义证明，即证明an1and(nN*) (2)利用等差中项证明，即证明an2an2an1(nN*).2.解选择题、填空题时，可用通项或前n项和直接判断：(1)通项法：若数列an的通项公式为n的一次函数，即an AnB，则an是等差数列；(2)前n项和法：若数列an的前n项和Sn是SnAn2Bn的形 式(A，B是常数)，则an为等差数列.特别警示 若说明一个数列不是等差数列，则只需找到其中连续三项不是等差数列即可. 已知数列an中，a1 ，an2 (n2，nN*)，数列bn满足bn (nN*).(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大

6、项和最小项，并说明理由.思路点拨课堂笔记 (1)证明：an2 (n2，nN*)，bn .n2时，bnbn1 1.又b1 ，数列bn是以 为首项，以1为公差的等差数列.(2)由(1)知，bnn ，则an1 1 ，设函数f(x)1 ，易知f(x)在区间(， )和( ，)内为减函数，当n3时，an取得最小值1；当n4时，an取得最大值3.1.等差数列的通项公式ana1(n1)d及前n项和公式Sn na1 d，共涉及五个量a1，an， d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程 的思想解决问题.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换 作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它

7、们表示 已知和未知是常用方法.特别警示 因为 na1 ，故数列 是等差数列. (2009江苏高考)设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足 ，S77.(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；(2)试求所有的正整数m，使得 为数列an中的项.思路点拨课堂笔记 (1)设an通项公式ana1(n1)d，d0，则 .由性质得，3d(a4a3)d(a4a3)，因为d0，所以a4a30，即2a15d0. 又由S77得7a1 d7. 联立解得a15，d2.所以an的通项公式为an2n7，前n项和Snn26n.(2) .令2m3t， 6，因为t是奇数， N，所以t可取的值为1.当t1，m2时，t

8、 63，2573是数列an中的项；t1，m1时，t 615，数列an中的最小项是5不符合.所以满足条件的正整数m2.若将“ ，S77”改为“S1030，S2050”，求通项an和S30的值.解：由题意得解之得ana1(n1)d n ，S3030a1 d60.1.等差数列的单调性： 等差数列公差为d，若d0，则数列递增. 若d0，n21时，an0，n20时，Sn最大.【答案】B 自主体验 已知数列an满足2an1anan2(nN*)，它的前n项和为Sn，且a310，S672.若bn an30，求数列bn的前n项和的最小值.解：2an1anan2，an为等差数列，设an的首项为a1，公差为d，bn

9、前n项和为Tn.由a310，S672，得 an4n2，则bn an302n31.由 得 n .nN*，n15.bn前15项为负值，T15最小，可知b129，d2，T15225.1.(2009辽宁高考)an为等差数列，且a72a41，a3 0，则公差d ( ) A.2 B. C. D.2解析：因为a72a4a16d2(a13d)a11，则a11，又因为a3a12d12d0，解得d .答案：B2.设Sn是等差数列an的前n项和.已知a23，a611， 则S7等于 ( ) A.13 B.35 C.49 D.63 解析：由等差数列的性质得S7 49.答案：C3.已知等差数列an中，|a3|a9|，公差

10、d0，则使 前n项和Sn取得最大值的正整数n的值是 ( ) A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.8或9解析：法一：d0，|a3|a9|，a3a90，a15d0，a15d.Snna1 d n2 n (n )2 d.d0，当n5或6时，Sn最大.法二：d0，|a3|a9|，a30，a90，且a3a90，即2a60，a60，故数列an的前5项都大于0，从第7项开始各项都小于0.从而前5项或前6项的和最大.答案：B4.(2009山东高考)在等差数列an中，a37，a5a26， 则a6 .解析：an是等差数列，设公差为d，3da5a26，则a6a33d7613.答案：135.已知Sn为等差数列an的

11、前n项和，若a2a476， 则S7S3等于 .解析： 2.答案：216.(文)(2010惠州模拟)等差数列an前n项和为Sn，已知对 任意nN*，点(n，Sn)在二次函数f(x)x2c的图象上. (1)求c，an； (2)若kn ，求数列kn的前n项和Tn.解：(1)点(n，Sn)在二次函数f(x)x2c的图象上，Snn2ca1S11c，a2S2S1(4c)(1c)3，a3S3S25，又an为等差数列，6c6，c0，d312，an12(n1)2n1.(2)kn ，Tn 得 Tn(理)已知数列an满足an2an12n1(n2)，且a15.(1)若存有一个实数，使得数 列为等差数列，请求出的值；(2)在(1)的条件下，求出数列an的前n项和Sn.解：(1)假设存有实数符合题意，则 必为与n无关的常数， 要使 是与n无关的常数，则 0，得1.故存有实